Vektorový prostor

V matematice , přesněji v lineární algebře , je vektorový prostor množinou objektů nazývaných vektory , které můžeme sčítat a které můžeme vynásobit skalárem (roztáhnout je nebo zmenšit, otočit atd.). Jinými slovy, jedná se o sadu opatřenou strukturou, která umožňuje provádět lineární kombinace . Skaláry jsou obecně reálná čísla nebo komplexní čísla , nebo převzata z jakéhokoli pole .

Vzhledem k tomu, pole K , vektorový prostor E nad K je komutativní skupina (jejíž právo je označen +) obdařen „kompatibilní“ akce K (ve smyslu definice níže).

Vektorový prostor

Definice

Nechť K je komutativní pole, stejně jako komutativním pole ℚ z racionálních , vyplývá, že ℝ, z reálných čísel či ono, ℂ, z komplexů (budeme hovořit v těchto případech racionální, reálné nebo komplexní vektorový prostor).

Vektorový prostor na K , nebo K-vektorový prostor , je množina E , jejíž prvky se nazývají vektory (nebo - vzácněji - body) opatřené dvěma zákony:

zákon vnitřní kompozice „+“: E 2 → E , tzv přidání nebo vektorový součet ,
zákon složení vnější vlevo „•“: K × E → E , zvaného násobení skalární ,

tak, aby byly ověřeny následující vlastnosti.

1. ( E , +) je abelianská skupina , jinými slovy:

zákon „+“ je komutativní ,
je asociativní ,
připouští neutrální prvek , který lze označit 0 nebo 0 E , který se nazývá nulový vektor a
každý vektor v má opak , označený - v .

To znamená, že pro všechny vektory u , proti a w z E :

u + v	=	v + u	u + ( v + w )	=	( u + v ) + w
0 E + v	=	proti	u + (- u )	=	0 E.

2. Zákon „•“ ověřuje následující vlastnosti:

je distribuční vlevo s ohledem na zákon „+“ E a vpravo s ohledem na přidání pole K ,
ověřuje smíšenou asociativitu (ve srovnání s násobením v K ),
multiplikativní neutrální prvek pole K , uvedený 1, je ponechán neutrální pro •.

To znamená, že pro všechny vektory u , v z E a všechny skaláry lambda, μ:

λ • ( u + v )	=	(λ • u ) + (λ • v )	(λ + µ) • u	=	(λ • u ) + (µ • u )
(λμ) • u	=	λ • (µ • u )	1 • u	=	u

Tyto axiomy naznačují, že E je neprázdný a pro každý vektor u části E a jakékoliv skalární lambda:

λ • u = 0 E

⇔

(λ = 0 K nebo u = 0 E )

(–Λ) • u = - (λ • u ) = λ • (- u )

Demonstrace

Z axiomu 1 vyplývá, že E je nutně neprázdné. Vskutku : 0 E patří E .
Axiomy 1 a 2 znamenají, že 0 E je „správně pohlcující“ pro zákon • ( tj. Součin 0 E jakýmkoli skalárem se rovná 0 E ) a že součin libovolného vektoru E skalárním 0 K (přísada identita prvek tělesa k ) je také 0 E . Vskutku :
- λ • 0 E = λ • (0 E + 0 E ) = λ • 0 E + λ • 0 E , což je podle axiomu 1 ekvivalentní 0 E = λ • 0 E ;
- podobně 0 K • u = (0 K + 0 K ) • u = 0 K • u + 0 K • u tedy 0 E = 0 K • u .
Naopak, pokud λ • u = 0 E a λ ≠ 0 K , pak u = 1 • u = (λ −1 λ) • u = λ −1 • (λ • u) = λ −1 • 0 E = 0 E .
Nakonec jsou součin vektoru u skalárním –λ a součin - u λ rovny - (λ • u ) (opak λ • u ). Předchozí bod 2 a axiom 2 ve skutečnosti dávají:
- λ • u + λ • (- u ) = λ • ( u - u ) = 0 E ;
- Podobně, λ • u + (-λ) • u = (λ - λ) • u = 0 E .

Vektory (prvky E ) zde byly psány latinskými kurzívami, ale někteří autoři je zaznamenávají tučnými písmeny nebo je překonávají šipkou.

Příklady

Zde je několik příkladů vektorových prostorů, které se používají mimo jiné v analýze nebo geometrii:

Volný prostor je vektorový prostor z tělesa K , která má jediný prvek, který je nutně nulový vektor. Nulová prostor je původní objekt a konečný objekt v kategorii vektorových prostorů (v) na K .
Libovolné pole K je prezentováno jako K- vektorový prostor. Sčítání a násobení K zajišťují sčítání vektorů a násobení skalárem.
Obecněji řečeno, sada n -uples prvků K , opatřená obvyklými zákony, tvoří vektorový prostor K n .
Tyto matrice s n řadami a p sloupců s koeficienty v K vytvoření prostoru M n , p ( K ) .
Jestliže K je komutativní, všechna pole rozšíření z K , to znamená, že každá zakotvení K v těle L , dotovat L vektorového prostoru struktury na K .
Sada C 0 ( X ) reálných nebo komplexních spojitých funkcí definovaných na topologickém prostoru X je vektorový prostor (skutečný nebo komplexní).
Sada (semen) řešení homogenní lineární diferenciální rovnice je vektorový prostor (skutečný nebo komplexní).
Sada digitálních sekvencí vyhovujících vztahu lineární rekurence je skutečný vektorový prostor.

Vektorové prostory na nekomutativním poli

Výše uvedená definice je to, že z vektoru prostory vlevo na K . Tyto vektorové prostory přímo na K jsou vektorové prostory vlevo na v těle naproti na K . Pokud je pole K komutativní, pojmy vektorových prostorů vlevo a vpravo se shodují, a pak si můžeme všimnout nalevo nebo napravo (podle potřeby) násobení skalárem.

Pojmy teorie vektorových prostorů, které jsou platné, s obvyklými definicemi, pouze když je pole komutativní, jsou zejména ty, které souvisejí s multilinearitou ( determinant , stopa , tenzorové produkty , externí algebra , algebra nad komutativním polem ) nebo s polynomem funkce . I když člověk tyto pojmy nepoužívá, musí věnovat pozornost různým detailům, pokud se nepředpokládá komutativní základní pole. Například dilatace existují (jako lineární mapy ), pouze pokud je skalární faktor v poli centrální a skalární násobení musí být napsáno na opačné straně lineárních map (takže se skalárem vpravo, pokud jsou mapy lineární označeny jako nalevo od jejich argumentů).

Lineární kombinace

Dvě operace ve vektorovém prostoru umožňují definovat lineární kombinace , to znamená konečné součty vektorů ovlivněných koeficienty (skaláry). Lineární kombinace rodiny ( v i ) i ∈ I vektorů majících koeficienty ( $λ$ i ) i ∈ I je vektor ∑ i ∈ I $λ$ i v i . Když indexování nastavení I je nekonečný , je nutno předpokládat, že rodina ( $λ$ i ) i ∈ I má konečný podpory , to znamená, že je jen konečná množina indexů i pro které $Á$ i nenulová.

Vektorový podprostor

Podprostor vektoru E je část není prázdný F z E stabilní lineární kombinace. Vybavený indukovanými zákony, F je pak vektorový prostor. Průsečík nonempty (konečný nebo nekonečný) rodina vektorových podprostorů je vektorový podprostor ale svaz , ani konečný , není obecně.

Vektorová rodina a dimenze

Lineární nezávislost

Rodina ( v i ) i ∈ I vektorů E se říká, že je volná (na K ), nebo že vektory této rodiny jsou lineárně nezávislé , pokud je jedinou lineární kombinací v i rovnou nulovému vektoru z nichž jsou všechny koeficienty nulové. V opačném případě je rodina řekl, aby byl spojen a v i se říká, že je lineárně závislá.

Rodina složená z jediného vektoru je volná právě tehdy, pokud tento vektor není nula. Dvojice vektorů je spojena právě tehdy, pokud jsou dva vektory kolineární . Pokud ( u , v ) je dvojice lineárně nezávislých vektorů, pak ( u , v ), ( u + v , v ) a ( u , u + v ) jsou také páry nekolineárních vektorů, ale rodina ( u , v , u + v ) je vždy propojeno.

Generovaný vektorový podprostor

Vektorový podprostor generovaný rodinou ( v i ) i ∈ I vektorů, označený $Vect$ (( v i ) i ∈ I ), je nejmenší podprostor (ve smyslu zahrnutí) obsahující všechny vektory této rodiny. Ekvivalentně se jedná o množinu lineárních kombinací vektorů v i . Rodina generuje E nebo je také generátorem , pokud je podprostor, který generuje, zcela E.

Rodina B vektor E je základna z E , pokud je volný a generátor, nebo, což je ekvivalentní, pokud některý vektor E je jednoznačně vyjádřen jako lineární kombinace prvků B . Existence základu pro jakýkoli K- vektorový prostor E je odvozena z věty o neúplné základně .

Definice dimenze

Vzhledem k tomu, vektorový prostor E přes pole K , všechny základy I mají stejnou mohutnost , nazvaný rozměr E .

Rozměr prostoru K n je n .
Libovolný jednorozměrný vektorový prostor se nazývá vektorová čára . Libovolný prostor dimenze 2 se nazývá vektorová rovina .

Dva vektorové prostory na K jsou izomorfní (tj. Spojené izomorfismem ) právě tehdy, pokud mají stejnou dimenzi.

Lineární aplikace

Nechť E a F dva vektorové prostory přes stejné tělesné K . Mapa $f$ od E až F se říká, že lineární , je-li přísada a dojíždí k násobení skaláry: ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ forall x, y \ in E & f (x + y) & = & f (x) + f (y), \\\ forall x \ in E \ quad \ forall \ lambda \ v K & f (\ lambda x) & = & \ lambda f (x). \ End {matrix}}}$ Jinými slovy $f$ zachovává lineární kombinace .

Sada lineárních map od E do F je často označována L ( E , F ). Jestliže K je komutativní, L ( E , F ), je lineární podprostor prostoru funkcí E v F . Libovolná kompozice lineárních map je lineární. Sada L ( E , E ) endomorfismů E je označena L ( E ). Izomorfismus vektorových prostorů je lineární bijective . Automorphism je bijective endomorphism. Sada automorfismů E je lineární skupina GL ( E ).

Jádro a image

Pro libovolnou lineární mapu f od E do F ,

vektory x z E tak, že f ( x ) = 0, tvoří vektor podprostor E , která se nazývá jádro z f i označován ker ( f );
vektory f ( x ), pro x v E tvoří vektor podprostor F , která se nazývá obraz z f i označován Im ( f );
f je
- injective if and only if Ker ( f ) = {0 E },
- surjektivní právě tehdy, když Im ( f ) = F ;
rozměr Im ( f ), která se nazývá hodnost z f je menší než nebo stejné jako E a F . Souvisí to s těmi E a Ker ( f ) podle věty o hodnosti: $\ dim (E) = \ dim \ {\ rm {Ker}} (f)$ + $\ dim \ {\ rm {Im}} (f).$

Graf z f je vektor podprostor E x F , jejichž průsečík se E x {0} je Ker ( f ) x {0}.

Lineární forma

Lineární forma na K -vector prostor E je lineární mapování E v K . Jestliže K je komutativní, lineární formy na E tvoří K -vector prostor nazývá dvojí prostor na E a označený E *. Jádra nenulových lineárních forem na E jsou nadrovin z E .

Produkty a přímé částky

Součet F + G o dva vektorové podprostorů F a G , definovaná $\ F + G = \ left \ {x + y \ mid (x, y) \ v F \ krát G \ right \},$ se shoduje s dílčí vektorovém prostoru rozložené podle F ⋃ G . Tato konstrukce zobecňuje jakoukoli (neprázdnou) rodinu vektorových podprostorů.

Vzorec Grassmann spojuje rozměry F a G , jako jsou jejich součtu a jejich průniku:

\ dim (F + G) + \ dim (F \ cap G) = \ dim F + \ dim G.

O dvou podprostorech F a G z E se říká, že jsou „ v přímém součtu “, když je rozklad libovolného vektoru jejich součtu F + G na součet dvou vektorů, jeden patřící do F a druhý do G , jedinečný (je k tomu stačí, aby rozklad 0 E byl jedinečný, to znamená, že F ∩ G = {0 E }). Tato definice zobecňuje na součet libovolné (neprázdné) rodiny ( F i ) i ∈ I podprostorů. Pokud je tento součet přímý, pak F i mají nulový průnik dva po druhém, ale konverzace je nepravdivá.

Částka F + G , když je přímá, je označena F ⊕ G . Podprostory F a G se nazývají další (k sobě) v E , pokud jsou v přímém součtu a navíc tento součet roven E . Neúplné základní věta zaručuje, že každý vektor podprostor má alespoň jeden další.

Dovolit být rodina ( E i ) i ∈ I of K -vector prostory. Kartézský produkt Π i ∈ I e i přirozeně se dědí z strukturou K -vector prostoru, tzv produkt vektorový prostor .

Rodiny s konečnou podporou tvoří vektorový podprostor ∏ i ∈ I E i , který se nazývá přímý součet prostorů E i a označuje se ⊕ i ∈ I E i .

Když jsou všechny E i rovny K , tento součin a tento součet se označují K I (prostor funkcí z I v K ) a K ( I ) (podprostor funkcí s konečnou podporou, jehož rozměr se rovná mohutnost I ). Pro I = N tedy konstruujeme prostor K N sekvencí v K a podprostor K ( N ) sekvencí s konečnou podporou.

Kvocientový vektorový prostor

Nechť F být subspace vektor E . Prostor kvocientu E / F (to znamená, že soubor ekvivalence tříd E pro vztah „ u ~ V případě, a to pouze v případě, U - V patří do F “, za předpokladu, s operacemi definovanými přirozeně na třídě) je vektorový prostor tak, aby se výstupek E → E / F (která sdružuje logiky U jeho rovnocennost třída) je lineární jádro F .

Všechny podprostory další z F do E jsou isomorphic k E / F . Jejich společný rozměr, když skončil, se nazývá codimension z F do E .

Vlastnosti konečných dimenzionálních vektorových prostorů

Nechť E je vektorový prostor generovaný konečným počtem m prvků.

Rozměr n o E je konečný, méně než nebo rovno m .
Každá volná rodina E má maximálně n vektorů a každá generující rodina má alespoň n . Aby rodina přesně n vektorů byla základem, stačí, aby byla volná nebo generátor: je to pak obojí.
Jediným podprostor S má rozměr n je E .
Pokud je K komutativní, má duální prostor E * z E také rozměr n , podle věty o dvojí bázi .
Pokud je K komutativní a pokud n ≠ 0, množina střídajících se n- lineárních forem na E je vektorový prostor dimenze 1. Tento výsledek je základem teorie determinantu .
Odvodíme z hodnosti věty, že pro každé lineární mapa f části E v prostoru stejného rozměru n ,f je surjective ⇔ f je injective ⇔ f je bijective.
Jestliže K je komutativní, pak se mapa M m , n ( K ) v L ( K n , K m ), které se na každém matice A , přidruží lineární mapu X ↦ AX , je izomorfismus vektorových prostorů. Obecněji lze jakoukoli lineární mapu mezi dvěma mezerami, z nichž každý má konečnou základnu, představovat matice .

Související struktury

Relativní struktury

Dvojice vektorových prostorů jsou údaje z vektorového prostoru a její podprostoru.
Obecněji lze vektorový prostor filtrovat podle dat o rostoucí nebo klesající posloupnosti podprostorů.
Vlajka na vektorovém prostoru E konečný rozměr je striktně rostoucí posloupnost dílčích prostorů je prázdný prostor v E .
Skutečný vektorový prostor konečné dimenze lze orientovat výběrem orientace na jeho základnách.
Absolvoval vektorový prostor je rodina vektorových prostorů, obecně s indexem ℕ, ℤ nebo ℤ / 2ℤ. Morfismus mezi dvěma takovými odstupňovanými vektorovými prostory je potom rodina lineárních map, která respektuje odstupňování.

Algebraické struktury

Modul M kruh je přísada skupina opatřen vnějším zákona o M s koeficienty v A , v souladu s přídavkem M a operacemi na A . Obecně nemá základnu ani žádné další. Vektorový prostor je jednoduše modul nad tělem.
Algebry je vektorový prostor opatřen distributivní násobení vzhledem k přidání a slučitelná s právem vnější kompozice.
Lie algebry je vektorový prostor opatřen Lie konzolou kompatibilní s právem vnější kompozice.

Afinní prostor je soubor opatřen volným a tranzitivní působení vektorového prostoru.
Vektor prostor je skutečný vektorový prostor konečné dimenze s skalární součin .
O reálném nebo komplexním vektorovém prostoru se říká, že je normalizován, pokud je opatřen normou . Například Banachovy prostory , včetně Hilbertových prostorů, které zobecňují pojem euklidovského vektorového prostoru, jsou normalizované vektorové prostory.
Pokud K je pole obdařené topologií, topologický vektorový prostor na K je K -vektorový prostor obdařený kompatibilní topologií, tj. Sčítání a násobení skalárem musí být spojité. To je mimo jiné případ standardizovaných vektorových prostorů a Fréchetových prostorů.
Vektor svazek je surjekce z jednoho topologického prostoru na druhé, tak, že preimage každého bodu je opatřen prostorovou strukturou vektoru, který je trvale v souladu s strukturách nalezení multivzorů sousedních bodů.

Historický

Pojem vektorový prostor se rodí koncepčně z afinní geometrie se zavedením souřadnic v odkazu na rovinu nebo obvyklý prostor. Kolem roku 1636 dali Descartes a Fermat základy analytické geometrie spojením rozlišení rovnice se dvěma neznámými ke grafickému určení křivky roviny.

Aby bylo dosaženo geometrického rozlišení bez použití pojmu souřadnic, zavedl Bolzano v roce 1804 operace na body, čáry a roviny, které jsou prekurzory vektorů. Tato práce najde ozvěna v pojetí barycentrický souřadnic od Möbiovi v roce 1827. Založení etapa definice vektorů byla definice podle Bellavitis z bipoint, který je orientovaný segment (jeden konec je počátek a druhý cíl. ). Vztah ekvipolence, díky kterému jsou dva bipointy ekvivalentní, když určují rovnoběžník, tak dokončuje definici vektorů.

Pojem vektoru se vyjme s prezentací komplexních čísel od argandických a Hamilton , pak to čtveřic od druhé, jak prvky příslušných prostorů ℝ 2 a ℝ 4 . Léčba lineární kombinací se nachází v systémech lineárních rovnic , které definoval Laguerre již v roce 1867.

V roce 1857 Cayley představil maticovou notaci , která harmonizovala notace a zjednodušila psaní lineárních mapování mezi vektorovými prostory. Také nastínil operace s těmito objekty.

Přibližně ve stejnou dobu Grassmann obnovil barycentrický výpočet zahájený Möbiem zvážením sad abstraktních objektů vybavených operacemi. Jeho práce šla nad rámec vektorových prostorů, protože definováním násobení skončil s představou algebry . Nacházíme zde nicméně pojmy dimenze a lineární nezávislosti , stejně jako skalární součin, který se objevil v roce 1844. Nadřazenost těchto objevů je v Cauchy zpochybněna vydáním Sur les clefs algebrique v Comptes Rendus .

Peano , významný příspěvek byl přísné koncepce axiomatization stávající - včetně výstavby konvenčních sestav - byl jedním z prvních, dát současnou definici pojmu vektorového prostoru na konci XIX th století.

Důležitý vývoj tohoto konceptu je kvůli stavbě prostorů funkcí od Lebesgueův , stavba byla formována během XX tého století Hilbert a Banach , ve své disertační práci v roce 1920.

Právě v této době se projevila interakce mezi rodící se funkční analýzou a algebrou , zejména zavedením klíčových konceptů, jako jsou prostory p -integrovatelných funkcí nebo dokonce Hilbertovy prostory . V této době se objevily první studie o nekonečných dimenzionálních vektorových prostorech.

Překlady

Bez nutnosti definici vektorových prostorů, je možný přístup k planimetrie je založen na studii s afinní rovině Desargues P . Obsahuje body a čáry s členským vztahem zvaným incidence, jehož vlastnosti dávají smysl zarovnání bodů a rovnoběžnosti čar. Homothety-translation nazýváme jakákoli transformace P, která zachovává zarovnání a odesílá jakoukoli linku na paralelní linii. Kromě identity (považované za homothety i překlad) taková transformace opravuje nanejvýš jeden bod; nazývá se homothety, pokud fixuje bod O, který je pak jeho středem; jinak se tomu říká překlad . Sada homotetií s pevným středem O tvoří abelianskou skupinu podle zákona složení, nezávisle na O izomorfismu blízko , označená K *. Je možné přidat 0 prvek pro vytvoření tělesa K , je přidání zákon je stanovena z P . Libovolný nenulový skalár odpovídá jedinečné homothety se středem O a my říkáme, že to je jeho poměr. Sada překladů P tvoří K- vektorový prostor, jehož zákony jsou následující: $\ lambda$ $\ lambda$

Vektorový součet dvou překladů t a t ' je jejich složený, což je překlad; $t \ circ t '= t' \ circ t$
Násobení překladu t o skalární nenulové $lambda$ o K je konjugace t o stejnolehlost h jakéhokoliv centra a poměr $lambda$ , jinými slovy transformace , který je překlad. $hth ^ {{- 1}}$

Nulový vektor je identita. Opakem vektoru představovaného překladem t je vektor definovaný t −1 .

To vše zobecňuje na afinní výskyt (nebo syntetické) prostory dimenzí (konečných nebo nekonečných) větších nebo rovných 3 (jsou pak z Desargues). Ale v tomto případě, pokud je počet prvků řádků roven 2, musí být do definice afinních prostorů zahrnut vztah rovnoběžnosti mezi řádky. Takže skutečně existuje „základní“ vektorový prostor pro jakoukoli afinní Desarguesovu rovinu a jakýkoli afinní dopadový prostor.

Tyto úvahy umožňují vytvořit spojení mezi moderním přístupem k geometrii založeným na lineární algebře a axiomatickým přístupem.

Poznámky a odkazy

Poznámky

Hypotéza komutativity „+“ je ve skutečnosti nadbytečná: je odvozena z ostatních vlastností vývojem dvěma různými způsoby (1 + 1) • ( u + v ): srov. podobné poznámky v článcích „ Unit ring “ a „ Modulus on a ring “.
Tato podmínka je nutná, jak ukazuje následující protiklad. Vezmeme-li například E = K a vnější právo je definována jako vždy nulový provoz (λ • u = 0 pro všechna lambda z K a všechny u části E ), pak všechny ostatní axiomy jsou splněny, kromě tohoto jednoho. Tento .

Reference

(en) Serge Lang, Algebra ,1965[ detail vydání ] : pole definované v kapitole II, vektorový prostor v kapitole III. Teorie těles je předmětem kapitol VII až XII, další pojmy algebry jsou uvedeny v kapitolách XIII až XVIII.
Roger Godement , Cours d'Algebre , 1966: Kapitola 8 pojednává o prstencích a tělech a kapitola 10 o modulech a vektorových prostorech.
(in) Michael Artin , Algebra [ podrobnosti publikace ] : Kapitola 3, věnovaná vektorovým prostorům, nejprve představuje vektorové prostory before n před definicí struktury těla.
Dieudonné 1964 , s. 31.
Serge Lang , Linear Algebra , sv. 1, Přechody, kap. 1 a 2.
Stéphane Balac a Frédéric Sturm, Algebra a analýza: kurz matematiky prvního ročníku s opravenými cvičeními , PPUR ,2003( číst online ) , s. 302, prop. 8.1.3.
Lang 1965 , str. 85.
(De) B. Bolzano, Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie , 1804.
(od) A. Möbius, Der barycentrische Calcül , 1827.
(De) H. Grassmann, Die Ausdehnungslehre .
(It) G. Peano, Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann předchozí práce dalle operazioni della logica deduttiva , 1888.

Podívejte se také

Bibliografie

(de) Helmut Boseck, Einführung in die Theorie der linearen Vektorräume , 1967
Jean Dieudonné , lineární algebra a elementární geometrie , Hermann ,1964
(en) Leon Mirsky (en) , An Introduction to Linear Algebra , 1955, reed. 1990 [ číst online ]

Externí odkaz

(en) John J. O'Connor a Edmund F. Robertson , „Abstract linear spaces“ , v archivu MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews ( číst online ).

Související články

Redukce endomorfismu a diagonalizace (metodika pro stanovení normálních tvarů operátorů)
Tensor (užitečný objekt v geometrii a fyzice)