Připojení Levi-Civita
V Riemannian geometrii se spojení Levi-Civita je Koszul spojení přirozeně definován na každém Riemannově potrubí nebo rozšíření na každém pseudo-Riemannian potrubí. Jeho vlastnosti charakterizují odrůdu Riemannian. Zejména geodetika , křivky lokálně minimalizující Riemannovu vzdálenost, jsou přesně křivkami, pro které je vektor rychlosti rovnoběžný . Z tohoto spojení je navíc definováno zakřivení potrubí; podmínky zakřivení ukládají topologická omezení na potrubí.
Spojení Levi-Civita je pojmenováno po italském matematikovi Tullio Levi-Civita ( 1873 - 1941 ), který představil koncepty paralelního transportu pro účely obecné relativity .
Příklad parametrizovaných povrchů
Zohlednění parametrizovaných povrchů umožňuje pochopit cestu, která vede k definici spojení Levi-Civita. Dovolit být parametrizovaný povrch ponořený do prostoru dimenze 3 a dvě vektorová pole tečná k tomuto povrchu. Tečná rovina připouští jako místní základ vektory a . Označujeme a komponenty této základny a totéž pro .
(u,proti)↦M(u,proti){\ displaystyle (u, v) \ mapsto M (u, v)}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}Eu=∂M∂u{\ displaystyle e_ {u} = {\ frac {\ částečné M} {\ částečné u}}}Eproti=∂M∂proti{\ displaystyle e_ {v} = {\ frac {\ částečné M} {\ částečné v}}}Xu{\ displaystyle X_ {u}}Xproti{\ displaystyle X_ {vb}}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}
Chceme-li popsat vývoj na poli , když po siločáry z , a zejména definovat derivaci ve směru . Za tímto účelem se postavme do bodu na povrchu a zvažte posunutí . Tento bod nutně nepatří k povrchu, promítneme jej tedy ortogonálně k bodu na povrchu. Můžeme uvažovat o definování derivace ve směru v bodě jako stejné . Vyjádření tohoto limitu má ale dvě části. První, rovný , je lineární kombinace dvou vektorů lokální základny roviny tečné k povrchu v bodě . Druhá je symetrická bilineární forma a která zahrnuje druhé derivace funkce . Všimněte si to . Chcete-li získat limit, který je prvkem tečné roviny, promítne tato druhá část kolmo na tečnou rovinu. Poté získáme výraz , součet první části a symetrické bilineární formy a vyjádřený z koeficientů první základní formy a jejich derivací. Pokud pro všechny a rovno nebo , představujeme , pak:
Y{\ displaystyle Y}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}X{\ displaystyle X}M{\ displaystyle M}t↦M+tX(M){\ displaystyle t \ mapsto M + tX (M)}NE{\ displaystyle N}Y{\ displaystyle Y}X{\ displaystyle X}M{\ displaystyle M}limt→0Y(NE)-Y(M)t{\ displaystyle \ lim _ {t \ až 0} {\ frac {Y (N) -Y (M)} {t}}}(Xu∂Yu∂u+Xproti∂Yu∂proti)Eu+(Xu∂Yproti∂u+Xproti∂Yproti∂proti)Eproti{\ displaystyle \ left (X_ {u} {\ frac {\ částečné Y_ {u}} {\ částečné u}} + X_ {v} {\ frac {\ částečné Y_ {u}} {\ částečné v}} \ vpravo) e_ {u} + \ vlevo (X_ {u} {\ frac {\ částečné Y_ {v}} {\ částečné u}} + X_ {v} {\ frac {\ částečné Y_ {v}} {\ částečné v}} \ vpravo) e_ {v}}M{\ displaystyle M}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}M{\ displaystyle M}dM2(X,Y){\ displaystyle \ mathrm {d} M ^ {2} (X, Y)}∇XY{\ displaystyle \ nabla _ {X} Y}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y} G{\ displaystyle g}i{\ displaystyle i}j{\ displaystyle j}u{\ displaystyle u}proti{\ displaystyle v}∇EiEj=ΓijuEu+ΓijprotiEproti{\ displaystyle \ nabla _ {e_ {i}} e_ {j} = \ gama _ {ij} ^ {u} e_ {u} + \ gama _ {ij} ^ {v} e_ {v}}
∇XY=(Xu∂Yu∂u+Xproti∂Yu∂proti+∑ijXiYjΓiju)Eu+(Xu∂Yproti∂u+Xproti∂Yproti∂proti+∑ijXiYjΓijproti)Eproti{\ displaystyle \ nabla _ {X} Y = \ left (X_ {u} {\ frac {\ částečné Y_ {u}} {\ částečné u}} + X_ {v} {\ frac {\ částečné Y_ {u} } {\ částečné v}} + \ součet _ {ij} X_ {i} Y_ {j} \ gama _ {ij} ^ {u} \ doprava) e_ {u} + \ doleva (X_ {u} {\ frac {\ částečné Y_ {v}} {\ částečné u}} + X_ {v} {\ frac {\ částečné Y_ {v}} {\ částečné v}} + \ součet _ {ij} X_ {i} Y_ {j } \ Gamma _ {ij} ^ {v} \ vpravo) e_ {v}}.
Koeficienty se nazývají Christoffelovy symboly . Kromě toho můžeme zkontrolovat, že operátor kontroluje následující vlastnosti:
Γijk{\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k}}∇{\ displaystyle \ nabla}
-
∇FXY=F∇XY{\ displaystyle \ nabla _ {fX} Y = f \ nabla _ {X} Y}pro jakoukoli funkci ;F{\ displaystyle f}
-
∇X(FY)=dF(X)Y+F∇XY{\ displaystyle \ nabla _ {X} (fY) = df (X) Y + f \ nabla _ {X} Y} ;
-
∇XY-∇YX=[X,Y]{\ displaystyle \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X = [X, Y]}kde [,] označuje Lieovu závorku ;
-
Z⋅G(X,Y)=G(∇ZX,Y)+G(X,∇ZY){\ displaystyle Z \ cdot g (X, Y) = g (\ nabla _ {Z} X, Y) + g (X, \ nabla _ {Z} Y)}pro každé pole , , .X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}Z{\ displaystyle Z}
Tyto vlastnosti budou sloužit jako axiomy k definování spojení Levi-Civita v obecném případě Riemannova potrubí .
Axiomatická definice
Pseudo-Riemannian metrický třídy na diferenciální potrubí je datový rodiny symetrických bilineární formy nejsou degenerovanými na tečné mezery , takže pro všechny oblasti vektorů a třídy , funkce je třídy . Podpis je místně konstantní . Metrika je považována za Riemannovu, pokud je forma ve všech bodech (jednoznačná) pozitivní.
G{\ displaystyle g}VSk{\ displaystyle C ^ {k}}M{\ displaystyle M}GX{\ displaystyle g_ {x}}TXM{\ displaystyle T_ {x} M}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}VSk{\ displaystyle C ^ {k}}G(X,Y){\ displaystyle g (X, Y)}VSk{\ displaystyle C ^ {k}}G{\ displaystyle g}U{\ displaystyle U}G{\ displaystyle g}X{\ displaystyle x}GX{\ displaystyle g_ {x}}
V této souvislosti je možno uvést základní teorém Riemannian geometrie : existuje jedinečná spojení Koszul na zvané Levi-Civita spojení splňující dvě podmínky:
∇{\ displaystyle \ nabla}TXM{\ displaystyle T_ {x} M}
-
∇{\ displaystyle \ nabla}není torzní : pro všechna vektorová pole a ,X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}
∇XY-∇YX=[X,Y]{\ displaystyle \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X = [X, Y]} ;
-
G{\ displaystyle g}je rovnoběžná: pro všechny vektorových polí , a máme:X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}Z{\ displaystyle Z}
Z⋅G(X,Y)=G(∇ZX,Y)+G(X,∇ZY){\ displaystyle Z \ cdot g (X, Y) = g (\ nabla _ {Z} X, Y) + g (X, \ nabla _ {Z} Y)}.
Můžeme sledovat proces syntézy a analýzy, abychom vytvořili jedinečnost a poté existenci. Předpokladem existence spojení vedou jednoduché algebraické manipulace ke vztahu
2G(∇XY,Z)=X⋅G(Y,Z)+Y⋅G(Z,X)-Z⋅G(X,Y)+G([X,Y],Z)+G([Z,X],Y)-G([Y,Z],X){\ displaystyle 2g (\ nabla _ {X} Y, Z) = X \ cdot g (Y, Z) + Y \ cdot g (Z, X) -Z \ cdot g (X, Y) + g ([X , Y], Z) + g ([Z, X], Y) -g ([Y, Z], X)}.
Nedegenerací g je spojení ∇ určeno pouze touto rovností. To dokazuje jedinečnost, která existuje. Tento výpočet má také praktický význam: níže jej znovu nalezneme pokusem vyjádřit spojení v místním souřadnicovém systému . Autoři však často poukazují na to, že takový výraz je ve skutečnosti méně užitečný než charakteristické vlastnosti uvedené v samotné větě.
Potom dokážeme existenci tím, že ospravedlníme, že zavedením tohoto vzorce pro všechna pole X a Y máme přesně definovaný výraz, který je spojením bez kroucení a je paralelní.
∇XY{\ displaystyle \ nabla _ {X} Y}G{\ displaystyle g}
Místní souřadnice
Zvažte lokální mapu souřadnic v bodě Riemannova potrubí a nechte být lokálním základem odpovídajícím derivacím s ohledem na . Dovolit být komponenty metrického tenzoru g v místní základně. Axiomatické vlastnosti spojení umožňují určit Christoffelovy symboly, jako například (v Einsteinově notaci ):
(Xi){\ displaystyle (x_ {i})}(Ei){\ displaystyle (e_ {i})}Xi{\ displaystyle x_ {i}}Gij=G(Ei,Ej){\ displaystyle g_ {ij} = g (e_ {i}, e_ {j})} Γijk{\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k}}
∇EiEj=ΓijkEk{\ displaystyle \ nabla _ {e_ {i}} e_ {j} = \ gama _ {ij} ^ {k} e_ {k}}Ve skutečnosti dokazujeme, že (v Einsteinově notaci):
Γijk=12Gkm(∂Gmi∂Xj+∂Gmj∂Xi-∂Gij∂Xm){\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} = {\ frac {1} {2}} g ^ {km} \ vlevo ({\ frac {\ částečné g_ {mi}} {\ částečné x ^ {j }}} + {\ frac {\ částečný g_ {mj}} {\ částečný x ^ {i}}} - {\ frac {\ částečný g_ {ij}} {\ částečný x ^ {m}}} \ vpravo) }kde tenzor je inverzní k tenzoru .
Gkm{\ displaystyle g ^ {km}}Gij{\ displaystyle g_ {ij}}
Naopak, nechť X a Y jsou dvě vektorová pole příslušných komponent a v místní základně. Můžeme se rekonstituovat z Christoffelových koeficientů. Opravdu (v Einsteinově notaci):
Xi{\ displaystyle X ^ {i}}Yi{\ displaystyle Y ^ {i}}∇XY{\ displaystyle \ nabla _ {X} Y}
∇XY=Xi∂Yj∂XiEj+XiYjΓijkEk{\ displaystyle \ nabla _ {X} Y = X ^ {i} {\ frac {\ částečné Y ^ {j}} {\ částečné x ^ {i}}} e_ {j} + X ^ {i} Y ^ {j} \ Gamma _ {ij} ^ {k} e_ {k}}že můžeme také napsat:
∇XY=Xi∂Yj∂XiEj+Yj∇XEj{\ displaystyle \ nabla _ {X} Y = X ^ {i} {\ frac {\ částečné Y ^ {j}} {\ částečné x ^ {i}}} e_ {j} + Y ^ {j} \ nabla _ {X} e_ {j}}Tento výraz je analogický se složením rychlostí , jaké lze pozorovat při změnách referenčních snímků ve fyzice. Předpokládejme, že X označuje rychlost, s níž jeden prochází parametrizovaným obloukem diferenciálního potrubí. Můžeme to pak interpretovat jako absolutní rychlost, s jakou se Y pohybuje při pohybu po oblouku. Veličina představuje relativní rychlost, s jakou se Y mění v základně . Kvantita je rychlost tréninku, rychlost, při které by se Y lišilo, kdyby byly jeho komponenty v základně konstantní. Tato druhá rychlost je způsobena pouze způsobem, jakým se základní vektory během pohybu mění. Když jsou nuly, říkáme, že základna je transportována rovnoběžně s procházejícím obloukem. Variace Y jsou pak způsobeny pouze variacemi těchto komponent v uvedené základně.
∇XY{\ displaystyle \ nabla _ {X} Y}Xi∂Yj∂XiEj{\ displaystyle X ^ {i} {\ frac {\ částečné Y ^ {j}} {\ částečné x ^ {i}}} e_ {j}}(Ej){\ displaystyle (e_ {j})}Yj∇XEj{\ displaystyle Y ^ {j} \ nabla _ {X} e_ {j}}(Ej){\ displaystyle (e_ {j})}∇XEj{\ displaystyle \ nabla _ {X} e_ {j}}(Ej){\ displaystyle (e_ {j})}
Zakřivení
Příklady
Indukované metriky
Nechť M je potrubí a N dílčí potrubí obdařené metrikou vyvolanou M. Pak je spojení Levi-Civita získáno z M tím, že jej promítneme ortogonálně na prostor tangentu k N. Jinak řečeno, pro jakýkoli vektor V a W tečna k N, je ortogonální projekce prostoru tečna k N z .
∇NE{\ displaystyle \ nabla ^ {N}}∇PROTINEŽ{\ displaystyle \ nabla _ {V} ^ {N} Z}∇PROTIMŽ{\ displaystyle \ nabla _ {V} ^ {M} W}
Vyhovující metriky
Dvě metriky g a g 'se považují za konformní, pokud jsou v každém bodě potrubí vzájemně úměrné. Koeficient proporcionality, který je přísně pozitivní a závisí na uvažovaném bodě, existuje funkce f taková, že g ' = e 2 f . g . Spojení Levi-Civita g ' je pak dáno:
∇X′Y=∇XY+dF(X)Y+dF(Y)X-G(X,Y)Grnad(F){\ displaystyle \ nabla '_ {X} Y = \ nabla _ {X} Y + \ mathrm {d} f (X) Y + \ mathrm {d} f (Y) Xg (X, Y) \ mathrm {grad } (f)}
kde sklon o f je vzat relativně na metrický g .
Podívejte se také
Reference
-
Jacques Lafontaine, Úvod do diferenciálních odrůd [ detail vydání ], 2010, s. 133 .
-
(in) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin a Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [ podrobnosti publikace ] p. 68
-
Pierre Pansu, spojení Levi-Civita , str.10
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">