Obecná teorie relativity je teorie relativity z gravitace , to znamená, že popisuje vliv na přítomnost materiálu a obecněji energie, pohybu hvězd zohledňující principy speciální relativity . Obecné relativity zahrnuje a nahrazuje teorie univerzální gravitace z Isaaca Newtona , který reprezentuje limit při nízkých rychlostech (ve srovnání s rychlostí světla ) a slabých gravitačních polích.
Je to hlavně dílo Alberta Einsteina , který ji vyvinul v letech 1907 až 1915 a je považován za jeho hlavní úspěch. The25. listopadu 1915, předložil svůj rukopis teorie obecné relativity do sekce matematiky a fyziky Královské pruské akademie věd , která jej publikovala na2. prosince.
S ním jsou také spojena jména Marcela Grossmanna a Davida Hilberta , přičemž první pomohl Einsteinovi seznámit se s matematickými nástroji nezbytnými pro pochopení teorie ( diferenciální geometrie ), druhý společně s Einsteinem přijal poslední etapy vedoucí k finalizace teorie poté, co mu v průběhu roku 1915 předložila obecné myšlenky.
Obecná relativita je založena na konceptech radikálně odlišných od konceptů newtonovské gravitace. Uvádí zejména, že gravitace není síla, ale projevem zakřivení prostoru (ve skutečnosti časoprostoru ), zakřivení sám produkován distribuci energie , ve formě hmoty nebo kinetickou energii , která se liší podle na referenční rámec pozorovatele. Tato relativistická teorie gravitace předpovídá účinky, které chybí v newtonovské teorii, ale jsou ověřené, jako je rozpínání vesmíru , gravitační vlny a černé díry . Neumožňuje určit určité konstanty nebo určité aspekty vesmíru (zejména jeho vývoj, ať už je konečný nebo ne, atd.): Pozorování jsou nezbytná ke specifikaci parametrů nebo k volbě mezi několika možnostmi, které teorie zanechává .
Žádný z mnoha provedených experimentálních testů jej nemohl pokazit. Otázky však zůstávají nezodpovězeny: hlavně na teoretické úrovni, jak lze spojit obecnou relativitu a kvantovou fyziku a vytvořit úplnou a soudržnou teorii kvantové gravitace ; a pokud jde o astronomická pozorování nebo kosmologická, jak sladit určitá opatření s předpovědi teorie ( temná hmota , temná energie ).
Analogie umožňující vizualizaci relativity spočívá v tom, což představuje časoprostor ve třech rozměrech jako roztaženém listu deformačním pod tíhou cílů, které postaví tam. Pokud je ubrus dobře natažený a bez těla, lehká koule, která se přes něj převalí, prochází v přímce. Pokud umístíme těžkou kouli do středu, síť se zdeformuje a světelná koule již nepřesahuje přímku a může dokonce spadnout směrem k těžké kouli, což vytváří iluzi, že lehká koule je přitahována těžkou koulí, zatímco tato přitažlivost je nepřímým výsledkem tvaru „listu“, který platí pro hmoty všude v něm.
Zdá se, že tato analogie předpokládá vnější zdroj gravitace (který by přidal váhu kulce deformující ubrus), ale musíme spíše vzít v úvahu, že gravitace vyvíjená samotnou koulí deformuje časoprostor kolem ní. , dokonce tím, že na něj přenáší část své dynamiky (rychlost pohybu, rotace sama o sobě).
Časoprostor není trojrozměrná ale čtyři (tři z prostoru a jeden z času ) a všechny čtyři jsou zkreslena přítomností hmoty.
Teorie univerzální gravitace navrhovaná Newton na konci XVII th století byl založen na konceptu síly v akci na dálku, to znamená, že síla, kterou působí na těle (například Slunce ) na jinou (na Zemi ) je určena jejich relativní polohou v daném okamžiku, a to bez ohledu na vzdálenost mezi nimi, a tato síla vyvíjená okamžitým způsobem. Tato okamžitost je neslučitelná s principy speciální relativity, podle nichž se žádná informace nemůže šířit rychleji, než je rychlost světla ve vakuu. To vede Einsteina z roku 1907 k přemýšlení o gravitační teorii, která je kompatibilní se speciální relativitou. Výsledkem jeho hledání je teorie obecné relativity.
Na XVI th století, Galileo říká (včetně dohadovat o pohybu plavidel), že fyzikální zákony jsou stejné v úložištích v překladu přímočarého a uniformě s sebou. Toto je princip galileovské relativity .
Využije také aditivitu rychlostí, jejímž důsledkem je, že lze dosáhnout jakékoli rychlosti, přičemž celá je pouze otázkou prostředků. Pokud míč jede rychlostí 10 km / h ve vlaku (a ve směru jízdy), který sám jede 100 km / h nad zemí, pak střela jede rychlostí 110 km / h nad zemí.
Ve svých mechaniků , Isaac Newton předpokládal, že těla byla obdařena absolutní rychlost, jinými slovy, že byli buď „opravdu“ v klidu nebo „opravdu“ v pohybu. Všiml si také, že tyto absolutní rychlosti nebyly měřitelné jinak než ve vztahu k rychlostem jiných těles (stejným způsobem byla poloha těla měřitelná pouze ve srovnání s pozicí jiného těla atd.). V důsledku toho musely všechny zákony newtonovské mechaniky fungovat stejně, bez ohledu na to, jaké tělo uvažovalo a jaký byl jeho pohyb.
Newton však věřil, že jeho teorie nemůže být smysluplná bez existence absolutního pevného referenčního rámce, ve kterém by bylo možné měřit rychlost jakéhokoli tělesa, i když by nebylo možné jej zjistit.
Ve skutečnosti je možné v praxi vybudovat newtonovskou mechaniku bez tohoto předpokladu: výsledná teorie (nazývaná také Galileanova relativita ) nemá žádný zvláštní operační zájem a neměla by být zaměňována s Einsteinovou relativitou, což znamená větší konzistenci rychlosti světla v všechna úložiště a v menší Galileově hypotéze, že jsou přidány relativní rychlosti (tyto dva postuláty jsou vzájemně nekompatibilní účinek).
V XIX th století, skotský fyzik James Clerk Maxwell formuloval soustavy rovnic, že rovnice elektromagnetického pole , což vede k predikci elektromagnetické rychlost šíření vln v elektrostatickém prostředí konstanty a magnetostatického konstantou . Tato fenomenálně vysoká rychlost, dokonce i ve vzácném médiu, jako je vzduch, měla stejnou hodnotu jako rychlost šíření světla. Navrhl, aby světlo nebylo nic jiného než elektromagnetická vlna.
Korpuskulární teorie světla se zdály slučitelné s Galileovým principem relativity, stejně jako s Maxwellovou teorií, která upřednostňovala existenci luminiferního etheru předpokládaného Huygensem . Měření rychlosti sluneční soustavy s ohledem na toto elastické médium bylo předmětem interferometrických experimentů prováděných Michelsonem a Morleyem . Jejich experimenty ukázaly, že zdánlivý etherový vítr byl nulový, bez ohledu na roční období. Předpokládat, že éter byl neustále připoután k Zemi, by bylo příliš vážným zpochybňováním Galileova principu relativity . Na druhou stranu měl ether tu nevýhodu, že byl jak nehmotný, tak velmi tuhý, protože dokázal šířit vlny fenomenální rychlostí.
Teprve Albert Einstein v roce 1905 radikálně zpochybnil představu éteru, posunul Galileův princip relativity na nejvyšší úroveň tím, že postuloval, že se Maxwellovy rovnice samy řídí tímto principem, a z toho vyvodit revoluční důsledky v článku, který zůstal slavný: O elektrodynamice pohybujících se těles .
Toto je zrod speciální relativity :
Napsáním výrazu kinetické energie hmotného tělesa nejjednodušším způsobem respektujícím princip relativity odhalil Einstein energii v klidu: E (0) = m (0) .c 2, která bude následně měřena v jevech jaderná fúze a štěpení (ale která se také projevuje chemickými reakcemi i jakoukoli výměnou energie, i když to ještě není přímo detekovatelné).
Speciální teorie relativity ( 1905 ) změnil rovnice použité pro porovnání délky a trvání měření provedených v různých referenčních rámců pohybující se vzhledem k sobě navzájem. Výsledkem bylo, že fyzika už nemohla zacházet s časem a prostorem samostatně, ale pouze jako s čtyřrozměrným prostorem, který se nazývá Minkowského časoprostor .
Ve skutečnosti se během pohybů nezanedbatelnými rychlostmi vpředu (rychlost světla ve vakuu) čas a prostor mění propojeným způsobem, podobně jako dvě souřadnice bodu v analytické geometrii se mění propojeným způsobem. osy souřadnicového systému se otáčejí.
Například v obvyklé euklidovské geometrii je vzdálenost mezi dvěma souřadnicovými body a ověřuje se (s atd.), Ale v Minkowského prostoru jsou dva body označeny souřadnicemi a , kde a jsou souřadnice času, a „vzdálenost“ pak zaznamenaná mezi těmito body splňuje: . Tento výpočet dává nulovou „vzdálenost“ mezi dvěma body na dráze světelného paprsku. Poskytuje také všechna měření délek materiálu, časových intervalů, rychlostí ve speciální relativitě , která vždy vzbudí úžas.
Vzhledem k tomu, že Minkowského časoprostor má nulové zakřivení (tj. Ploché), nazývá se pseudoeuklidovský prostor .
Takový měl být pro Einsteina prostor bez gravitace (a bez zrychlení pro pozorovatele). Newtonova gravitace, která se šíří okamžitě, není kompatibilní s existencí omezující rychlosti: Einstein se proto vydal hledat novou teorii gravitace .
Připustil rovnost mezi gravitační hmotou a setrvačnou hmotou jako předpoklad, slavný vzorec pak povolil použít celkovou energii těla místo jeho hmotnosti. To bude provedeno pomocí matematického nástroje zvaného tenzor energie.
Odborník na myšlenkové experimenty si představil rotující disk. Vzhledem k tomu, že Huygens víme, že z toho vyplývá, že na úrovni obvodu existuje odstředivá síla, vnímaná jako gravitační síla (protože gravitační hmotnost a inertní hmotnost jsou předpokládané stejné). Navíc tím, že chce zůstat v rámci speciální relativity, dochází k závěru, že pozorovatel na obvodu a ve spojení s diskem zaznamenává zvětšení obvodu disku, ale ne v jeho poloměru (kontrakce míry rovnoběžné s pohybem, ale ne ten, který je kolmý): v rovném prostoru to není možné. Závěr: gravitace zavazuje použít neeuklidovskou geometrii .
Einstein si představoval experimentátora uzamčeného v neprůhledných zdech výtahu, který prochází stoupáním s neustálým zrychlením: Einsteinův výtah, ve kterém je nemožné, aby člověk věděl, zda existuje konstantní zrychlení nebo konstantní gravitační tah (protože gravitační hmotnost a inertní hmotnost jsou stejné předpoklad). Závěr: lokální ekvivalence mezi zrychleným pohybem a gravitací, kterou jsme našli v diferenciálních rovnicích nové teorie. Toto je jeho princip ekvivalence .
Nakonec Einstein chtěl najít výraz přírodních zákonů (v té době: dynamika, gravitace a elektromagnetismus), který se nezmění bez ohledu na referenční rámec (zrychlený nebo Galilean atd.): Je to Galilean relativita zobecněná na všechny měřítka (tomu se říká kovariance ).
Vzhledem k tomu, že bylo obtížné dát tyto principy do matematické podoby, diskutoval o nich s Davidem Hilbertem, který mu zpočátku pochyboval o tom, že mu téměř ukradl show tím, že našel teorii ve stejné době jako on (viz: Kontroverze o autorství relativity ).
Obecná teorie relativity přidán do speciální relativity, že přítomnost látek by místně deformují časoprostor samotný (a ne jen cesty), takže tzv trajektorie geodetické - to znamená, intuitivně minimální délky - přes časoprostor mají vlastnosti zakřivení v prostoru a čase. Výpočet „vzdálenosti“ v tomto zakřiveném časoprostoru je složitější než ve speciální relativitě, ve skutečnosti je vzorec „vzdálenosti“ vytvořen vzorcem zakřivení a naopak.
Geodetika jsou trajektorie ověřující princip nejmenší akce , následované testovanými částicemi (tj. Jejichž vliv na gravitační pole, ve kterém se pohybují, je zanedbatelný, což je například případ „ umělého satelitu kolem Země nebo foton procházející vedle Slunce , ale ani jedna hvězda obíhající další z rychle oscilujícího dvojkové soustavě ), takže mají-li velký praktický význam pro intuitivní chápání zakřiveného prostoru.
Světlo sleduje geodetiku (časoprostorové čáry), které jsou deformovány na okraji masivního tělesa působením gravitace. V důsledku toho a na rozdíl od newtonovských předpovědí lze trajektorii světla silně ohýbat v přítomnosti masivního tělesa (například zvláště hmotné planety). Dva paprsky ze stejného těla přítomného na jedné straně hmotné hvězdy a směrované různými směry se mohou setkat na opačné straně hvězdy a vytvořit rozdělený obraz, jakýsi fatamorgánový přelud gravitačního původu.
Takové jevy byly pozorovány po mnoho let a mohly by být použity k detekci temné hmoty ve vesmíru .
Černá díraPo objevení Schwarzschildovy metriky (1916) se v rovnicích objevilo, že pro jakoukoli sférickou hmotu existuje vzdálenost do středu ( poloměr Schwarzschildova ), kde se vyskytují určité jevy, pokud je hmota nižší paprsek: pro pozorovatele trochu vzdálená, těla blížící se k tomuto paprsku se zdají být znehybněna, jejich hodiny se zastaví a to na věčnost; kromě toho, kromě gravitačních jevů, se zdá, že z této centrální hmoty nemůže pocházet žádná informace, ani světlo, a samotnou centrální hmotu lze detekovat pouze jejími gravitačními účinky.
Nicméně, toto Schwarzschildův ray se objevil nejprve jen jako možný topologické singularity o časoprostoru , o absurditě která znamenala limit teorie, který nesplňoval Einstein. Mezi lety 1938 ( Georges Lemaître ) a 1939 ( Robert Oppenheimer ) se uvádí hypotéza, že se jednalo o realistický fenomén zvaný gravitační kolaps . V 60. letech byla objasněna podstata tohoto jevu: bylo zřejmé, že Schwarzschildův poloměr není singularita časoprostoru, ale pouze singularita použité metriky v důsledku zakřivení prostoru, zatímco metrika je konstruována jako kdyby prostor byl plochý. Fenomény popsané Schwarzschildovou metrikou zůstávají v platnosti pro vzdáleného pozorovatele, Kruskal-Szekeresova metrika (1960) umožnila pochopit, jak prochází Schwarzschildův paprsek pro cestujícího.
Od té doby byly identifikovány různé typy černých děr (s nebo bez náboje , nebo hybnosti ), jejich dynamika byly studovány podrobně, hypotéza jejich odpařování byla přesně formulována, a pojem, velmi hypotetickém otvor šnek má byl pokročilý. Pozorování a zjišťování černých děr je stále předmětem intenzivní práce, ale mnoho černých děr ( hvězdné , meziproduktů a supermasivní byly zjištěny) nade vší pochybnost. V roce 2019 byla zveřejněna první skutečná fotografie černé díry.
Gravitační vlnyDetekce gravitačních vln vyzařovaných (velkými) masami ve zrychleném pohybu je předmětem intenzivního mezinárodního výzkumu, avšak vzhledem k malému množství zapojených energií je obtížné je vnímat. První detekce byly nepřímé: v roce 1974 byla pozorována ztráta energie v binárním pulsaru ( PSR 1913 + 16 ) a byla interpretována jako důsledek emise gravitačních vln; četná přesnější pozorování následně pouze potvrdila teoretický model; podrobnější popis těchto pozorování lze nalézt v odpovídající části článku Binary Pulsar .
The 14. září 2015„ Výzkumníci LIGO detekovali gravitační vlny události GW150914 : koalescence dvou černých děr . Bylo oznámeno dne11. února 2016na konferenci National Science Foundation ve Washingtonu. Výsledek je zveřejněn ve stejný den v časopise Physical Review Letters . Byl by to také „první přímý důkaz existence černých děr“ , potvrzuje Thibault Damour , francouzský teoretický fyzik.
Kvantové fyziky umožňuje formulaci hypotéz, že tato vlna má spojený částice odpovědné za gravitační interakci: na graviton , z hmotnosti nulové, protože pohybující se rychlostí světla ve vakuu.
Matematické podrobnostiVzhledem k nízké gravitační pole, metrickou odchyluje málo od metrický z Minkowski prostoru : . S podmínkou maličkosti a přidáním podmínky měřidla může mít Ricciho tenzor jednoduchou formu , kde je d'Alembertian .
Ve vakuu je napsána Einsteinova rovnice , což je vlnová rovnice . Gravitace může proto za těchto okolností, být považováno jako vlna.
Můžeme také považovat gravitaci za poruchu vln s ohledem na jakoukoli nerušenou metriku , to znamená v zakřiveném a stacionárním časoprostoru, a můžeme také uvažovat gravitační vlny silné intenzity a studovat energetické záření těchto vln (pomocí energie hybnost tensor ).
Vesmírné modelyPředpoklad homogenity a izotropie, který představuje kosmologický princip a který je v souladu s pozorováními ve velkém měřítku, znamená, že je možné zvolit univerzální čas tak, aby metrika prostoru byla po celou dobu sudá, pro všechny body a ve všech směrech, což je kompatibilní s teorií velkého třesku, která v současné době převládá.
Z Einsteinových rovnic je možných několik modelů vesmíru . V roce 1915 Einstein koncipoval Vesmír jako stacionární , což bylo v rozporu s kosmologickými pozorováními. Alexandre Friedmann a Georges Lemaître později navrhli nestacionární modely: metrika Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker ukazuje, že jsou možné tři homogenní a izotropní modely vesmíru v závislosti na hodnotě parametru v metrice: plochý prostor (v průměru) , s kladným zakřivením (tzv. uzavřený vesmír : konečného objemu) nebo se záporným zakřivením (řečený otevřený vesmír : nekonečného objemu). Jiné , exotičtější , kosmologické modely jsou kompatibilní s rovnicemi obecné relativity. Například: Vesmír de Sitter odpovídá ve fyzice homogennímu vesmíru, izotropní, bez hmoty a s pozitivní kosmologickou konstantou ; Mixmaster vesmíru , který je vesmír vyprázdnit z hmoty, homogenní ale anizotropní, jehož rychlost expanze se liší ve třech směrech prostoru; Vesmír Gödel , který nerespektuje princip kauzality .
Prostorový test principu ekvivalenceMicroscope micro-satelit o hmotnosti 300 kg, která byla zahájena vdubna 2016, nese dvě hmoty v platině a titanu, které dosáhly ekvivalentu poklesu o 85 milionů km. Mise, naplánovaná do konce roku 2018, potvrzujelistopadu 2017platnost zásady rovnocennosti .
Chování hustých předmětů při volném páduV roce 2018 bylo pozorováno trajektorie pulsaru a bílého trpaslíka , velmi rozdílných hustot, obíhajících kolem třetího bílého trpaslíka ve vzdálenosti 4 200 světelných let od Země; relativní rozdíl mezi zrychleními, kterými obě těla prošla, byl měřen méně než , což je v souladu s obecnou relativitou, která předpovídá, stejně jako předchozí teorie, že zrychlení, kterému objekt prošel, nezávisí na jeho hustotě.
Pohyb zkušební hmoty (velmi malé) vystavené pouze gravitaci okolních hmot je ve skutečnosti setrvačným pohybem v časoprostoru zakřiveném těmito hmotami (pozorované zakřivení také závisí na referenčním rámci pozorovatele). Vesmíru linie byly v tomto zakřiveném časoprostoru je geodetické pro metrický poslouchat Einstein nelineárních rovnic , které spojují zakřivení časoprostoru (při pohledu od zvoleného referenčního rámce) a přítomnost hmot.
Ústřední myšlenkou relativity je, že nemůžeme mluvit o veličinách, jako je rychlost nebo zrychlení, aniž bychom předtím vybrali referenční rámec, referenční rámec . Jakýkoli pohyb, jakákoli událost je poté popsána ve vztahu k referenčnímu rámci tohoto pozorovatele .
Speciální teorie relativity předpokládá, že tento referenční rámec musí být setrvačný a lze jej v prostoru a čase rozšířit na neurčito.
Aby se neupřednostňoval žádný typ referenčního rámce, zejména při psaní přírodních zákonů ( obecný princip kovariance ), obecná relativita se zabývá také neinerciálními referenčními rámci, tj. Tělem bez jakýchkoli omezení nesleduje přímočarý a jednotný pohyb . Proto je jakýkoli souřadnicový systém a priori přípustný a jeho limity jsou obecně odhaleny při použití.
V klasické fyzice je příkladem neinerciálního referenčního rámce vozidlo, ve kterém je umístěn a který následuje ohyb: odstředivá síla, kterou člověk cítí, maří setrvačný pohyb těles vzhledem k vozidlu. Dalším příkladem je referenční rámec spojený se zemí, který díky zemské rotaci vidí projevenou Coriolisovu sílu , dobře zvýrazněnou Foucaultovým kyvadlem . O odstředivé síle se říká, že je fiktivní, protože se jedná pouze o projev setrvačnosti (Newtonův první princip), a nikoli o použití síly .
Obecně se dá říci, že relativní rámec můžeme definovat pouze lokálně a v konečném období. Toto omezení je nutné, protože je nezbytné v několika případech:
Vzhledem k tomu, že nikdy nebylo možno prokázat žádný rozdíl mezi hmotností ze setrvačnosti (odpor a zrychlení tělesa) a těžké hmoty (která určuje jeho hmotnost v gravitačním poli) na zásadu rovnocennosti obecně relativity předpokládá, že není třeba, aby lokálně odlišit pohyb volného pádu v konstantním gravitačním poli od rovnoměrně zrychleného pohybu v nepřítomnosti gravitačního pole: gravitace je (lokálně) ekvivalentní volbě zrychleného referenčního rámce pro pozorovatele ( konstantní nebo proměnné zrychlení ) s vzhledem k setrvačnému referenčnímu rámci ; jedná se tedy lokálně pouze o relativistický efekt.
Tento výsledek je pouze místní , to znamená platný pro omezený, „malý“ prostor. Ve větším objemu as citlivými akcelerometry budeme naopak velmi jasně rozlišovat gravitační pole (souběžné síly), jednoduché zrychlení (paralelní síly) a odstředivý účinek (divergentní síly). Ale v kvazi-přesném objemu nemůže rozlišovat žádné opatření.
Tato ekvivalence se používá v rámci výcviku astronautů : stoupají v letadlech provádějících parabolický let , čímž simulují o něco více než patnáct sekund „volný pád“ obíhajícího těla (ale u druhého může volný pád poslední neurčitě, protože jeho trajektorie je smyčka).
Existence setrvačné referenční soustavy v každém boděV každém bodě časoprostoru je lokálně setrvačný referenční rámec: rámec ve volném pádu (v gravitačním poli, pokud existuje), ve kterém všechna tělesa padají současně do referenčního rámce, takže Zdá se, že s ohledem na tento referenční rámec podstoupily jakoukoli gravitaci. Hypotézou takový referenční rámec popisuje lokálně Minkowského prostor . Volba referenčního rámce tedy lokálně eliminuje účinky gravitace, jinak je vytváří; ale tyto účinky jsou pouze lokální.
Gravitace je určena metrikouV každém bodě časoprostoru lze gravitaci popsat jako volbu pozorovatele neinerciálního referenčního rámce v rovinném prostoru. Metriky v této vztažné je metrika v inerciální vztažné soustavě na stejném místě, ale vyjádřena souřadnicemi neinerciální vztažné soustavě (které je možné pracné vzorce). Koeficienty tohoto výrazu kvantifikují rozdíl mezi setrvačným referenčním rámcem a pozorovatelským referenčním rámcem: obsahují všechny informace potřebné k přechodu z jednoho referenčního rámce do druhého, takže gravitace závisí pouze na metrice referenčního rámce. pozorovatele.
Správný čas inerciálního referenčního rámce (Minkowskien) poskytuje svým metrické a ověřuje , kde jsou souřadnice v rámu pozorovatele referenční a souřadnice v inerciální vztažné soustavě na stejném místě. Pózováním , s Einsteinovou konvencí , můžeme psát .
GeodetikaPrincip ekvivalence umožňující potvrdit, že lokálně je gravitační pole ekvivalentní volbě referenčního rámce a že lze zrušit (vždy lokálně a na okamžik) účinky gravitace výběrem setrvačného referenčního rámce . Geodetika sledovaná tělesem je v této teorii obzvláště jednoduchá: je to křivka, po které toto těleso postupuje, když se pohybuje po přímce takového setrvačného referenčního rámce, ale je vidět z referenčního rámce pozorovatele . Obecně platí, že v každém okamžiku pohybu je třeba předefinovat lokální setrvačný referenční rámec, a proto je zde i geodetická složitost: geodetika jsou řešením diferenciálních rovnic definovaných v referenčním rámci pozorovatele.
Stejně jako v případě plochého prostoru, kde se referenční rámec pozorovatele otáčí kolem osy, vzhledem k inerciálnímu referenčnímu rámci pozorovatel vnímá jako zakřivené rovnoměrné přímočaré pohyby inerciálního referenčního rámce.
Je nutné dávat pozor na to, že v každém okamžiku lze použít nový setrvačný referenční rámec a že je vzácné, že jeden doprovází pohybující se tělo v rámci pozorovatele: k tomu dochází pouze u situací čistě akademický. I v takovém případě by se nemělo věřit, že pokud dva mobily sledují stejnou přímku v setrvačném referenčním rámci, bude se zdát, že následují jeden druhého v neinerciálním referenčním rámci: pokud je referenční rámec pozorovatele ne setrvačné, dvě tělesa s různými počátečními rychlostmi se pohybují po různých geodetikách.
Kovovariantní derivátKovarianční derivací, která je derivací podél geodetiky, považovanou za tečnu k trajektorii, chápeme, že zde je nezávislá na referenčním rámci pozorovatele a že její výpočty jsou trochu pracné, protože zahrnují změnu referenčního rámce pro pohyb od pozorovatele k setrvačnému referenčnímu rámci, který je v každém okamžiku jiný, protože referenční rámec je pouze lokálně a dočasně setrvačný. Kovarianční derivace kvadri-vektoru je derivace podél geodetické, která spojuje dvě po sobě jdoucí (a nekonečně blízké) polohy tohoto vektoru.
Zaznamená se kovariantní derivace kvad vektoru v libovolném referenčním rámci , kde je přirozený čas vztahující se ke kvad vektoru. Princip korespondence pak spočívá v tom, za to, že tam, kde je rovnost typu , v klasické fyzice , nebo ve speciální teorii relativity , můžeme psát v obecné teorie relativity, za předpokladu, že pravá strana rovnosti má také ekvivalent v této teorie. To je možné, protože v konečném důsledku je to totéž vyjádřeno různými způsoby: derivace podél přímých os setrvačných referenčních rámců.
V případě, že ve srovnání s inerciálním referenčním rámcem je kvadri-vektor konstantní během správného času ( inerciální pohyb ), máme .
DynamickýPředpokládejme, že v jakémkoli referenčním rámci je na pozorované těleso vyvíjena relativistická síla ve formě kvadri-vektoru . Změnou referenčního rámce lze uvažovat tuto sílu v lokálním referenčním rámci setrvačnosti pomocí kvadri-vektoru .
Ze základního principu dynamiky , v klasické fyzice čerpáme podle principu korespondence ve speciální relativitě, a nakonec , rovnice relativistické dynamiky v přítomnosti gravitačního pole.
Einsteinova rovnice je matematickým vyjádřením obecné relativity a obecněji celé gravitační fyziky . Toto je základní vzorec, který nelze odvodit ze základní teorie.
Jeho obecná forma znamená:
Tato rovnice vyjadřuje a koncentruje hlavní myšlenky Einsteina, které řídí obecnou relativitu: princip ekvivalence nás vede k potvrzení, že gravitace není skutečná síla . Pokud neexistuje síla, která by odklonila nebo zrychlila trajektorii objektů, je to proto, že je zde deformován samotný časoprostor a teorie gravitace se musí projevit ve formě zakřivení časoprostoru. Objekty se řídí geodetikou , kterou lze pro tento zakřivený časoprostor považovat za ekvivalent přímek. Použití tenzorového formalismu činí výraz tohoto zákona nezávislým na referenčních rámcích, a proto odpovídá principu relativity .
Tato rovnice je lokální: označuje způsob, jakým křivky časoprostoru v bodě v časoprostoru jako funkce hustoty hmoty v ní a naopak uspořádání nebo vývoj hmoty v bodě jako funkce zakřivení v tom bodě. Časoprostor působí na hmotu, která sama působí na časoprostor. Tato zpětná vazba má za následek nelinearitu Einsteinových rovnic, které je proto extrémně obtížné přesně vyřešit. Místní charakter rovnice má za následek, že podle obecné relativity neexistuje okamžitá akce na dálku: hmota lokálně zakřivuje časoprostor, což narušuje časoprostor o něco dále atd. Gravitační poruchy se tak šíří rychlostí světla .
Tato rovnice vede komplexního souboru diferenciálních rovnic jednoho metrického tenzoru . Nicméně výraz této rovnice zůstává stručný a elegantní a mnozí fyzici ho považují za jeden z nejdůležitějších a nejkrásnějších vzorců ve fyzice.
Jeho řešení, kterými jsou časoprostorové metriky , umožňují definovat kosmologické modely formalizující rozsáhlou evoluci vesmíru, modelovat vlastnosti astronomických objektů, jako jsou černé díry , nebo předpovídat existenci gravitačních vln . Přirozeně zahrnuje Newtonův univerzální gravitační zákon jako aproximaci v případě slabého gravitačního pole.
Přesněji řečeno, Einsteinova rovnice je vyjádřena v následující globální podobě:
s kým je Einsteinův tenzor, který představuje zakřivení časoprostoru v bodě, a který je tenzorem energie a hybnosti představujícím příspěvek veškeré hmoty (a energie) k hustotě energie v tomto bodě gravitačního pole. Ale tento tenzor nebere v úvahu energii, která je možná přítomna v samotném gravitačním poli.
je jednoduchý dimenzionální faktor, který umožňuje vyjádřit rovnici v obvyklých jednotkách a zajistit, aby rovnice odpovídala fyzikální realitě a pozorované hodnotě gravitační konstanty .
Nejpřirozenějším způsobem, jak reprezentovat zakřivení tenzorem, by bylo použití Riemannova tenzoru , což je nejběžnější způsob vyjádření zakřivení Riemannovských variet , přičemž časoprostor je dokonale zastoupen pseudomateriálem . Ale tento tenzor je řádu 4 (se 4 indexy), zatímco tenzor energie-hybnosti je řádu 2: 2 indexy jsou skutečně dostatečné k popisu všech dynamických vlastností energie a hmoty a ke konstrukci tenzoru energie-hybnosti 4. řádu nebude mít žádný fyzický význam.
Je proto nutné zkonstruovat speciální tenzor představující zakřivení, který má fyzikální význam a který lze identifikovat tenzorem energie-hybnosti. To je veškerá práce, kterou Einstein dělá v letech 1913 až 1915, aby přišel s Einsteinovým tenzorem a přesnou formulací Einsteinovy rovnice.
Tenzor energetických impulsůTenzor energetické hybnosti představuje příspěvek veškeré hmoty (a všech negravitačních polí ) k hustotě energie v bodě.
Tenzor energie-hybnosti má nulovou kovariantní derivaci a kovariantní derivace je „derivací podél geodetiky“, to znamená, že objekt sledující geodetiku si svou energii uchovává.
Nulová kovariantní derivace tenzoru energetické hybnosti však neodráží zachování energetické hybnosti těla v přítomnosti gravitace, ani „zachování čehokoli“, což se chápe tím, že se v referenčním rámci inerciální těleso zpočátku v klidu může nabývat rychlosti bez změny hmotnosti , což odpovídá získávání kinetické energie : zákon zachování energie tělesa zůstává platný pouze v inerciálních referenčních soustavách .
Tento tenzor nebere v úvahu energii pravděpodobně přítomnou v samotném gravitačním poli, když je toto dynamické (například přítomnost gravitačních vln), tento výraz nepředstavuje globální zachování energie. Zachování energie v přítomnosti dynamického gravitačního pole je choulostivé téma a dosud není zcela vyřešeno v obecné relativitě.
Einsteinův tenzorEinsteinův tenzor je tedy tenzor, který v Einsteinově rovnici představuje zakřivení a má fyzikální význam, tj. Řádu 2, symetrický, s nulovou kovariantní derivací a který umožňuje najít Newtonův gravitační zákon jako aproximaci se slabými gravitačními poli a rychlostmi ve hře mnohem nižšími než světelné.
Existuje způsob, jak sestavit tenzor řádu 2 z tenzoru řádu 4: provést kontrakci tenzoru podle dvou indexů. Taková kontrakce Riemannova tenzoru dává tenzor známý jako Ricciho tenzor , jak je uvedeno .
Pro sestavení fyzikální rovnice má Ricciho tenzor zajímavou vlastnost: umožňuje najít zrychlení z klidového stavu koule částic obklopujících hmotu bodu. V newtonovské mechanice se stejné zrychlení počítá z Poissonovy rovnice , což je gravitační potenciál a hmotnostní hustota. Ricciho tenzor a levý člen Poissonovy rovnice, které oba mají druhé derivace metriky a mají stejný fyzikální význam, by bylo přirozené představovat:
je tenzor představující hmotnostní hustotu a tuto rovnici navrhl Einstein v roce 1913. Tento tenzor je skutečně řádu 2 a symetrický, ale ukazuje se, že jeho kovariantní derivace není nula. Ve skutečnosti pomocí Bianchiho identit na Riemannově tenzoru zjistíme, že je to tenzor, který má nulovou kovariantní derivaci. Einstein neznal totožnost Bianchiho a po dvou letech intenzivního úsilí zjistil Einsteinův tenzor, kterému pomohl matematik Marcel Grossmann :
je skalární zakřivení , které je samo o sobě kontrakcí Ricciho tenzoru a je metrickým tenzorem , řešením Einsteinových rovnic. Pokud Riemannův tenzor udává zakřivení potrubí v bodě podél roviny definované několika vektory, Ricciho tenzor představuje průměr zakřivení ve všech rovinách obsahujících daný vektor, zatímco Einsteinův tenzor představuje průměr křivek podle všech rovin kolmých na tento vektor.
Ukázalo se, že Einsteinův tenzor je jediný tenzor, který lze matematicky zkonstruovat a který má všechny požadované vlastnosti: řád 2, který má druhé derivace metriky, s nulovou kovariantní derivací a který zmizí v plochém prostoru (což umožňuje najít Newtona)
David Hilbert tuto rovnici také ospravedlnil principem nejmenší akce již v roce 1915.
Úplné vyjádření Einsteinovy rovniceVzhledem k Einsteinovu tenzoru následuje úplná a přesná formulace Einsteinovy rovnice přímo:
s , a (i, j) od 1 do 4 (pro 4 dimenze časoprostoru).
Tento tenzorový výraz, rozložený do diferenciálních rovnic , má za následek deset nelineárních parciálních diferenciálních rovnic . Z těchto deseti rovnic čtyři závisí na volbě referenčního rámce, který ponechává šest rovnic k vyřešení za účelem stanovení metriky.
Kosmologická konstantaJe důležité si uvědomit, že přidání „konstanty“ k Einsteinovu tenzoru nemění jeho fyzikální vlastnosti: jeho kovarianční derivace zůstává nulová a Newtonovy zákony jsou vždy na hranici. Polní rovnice proto může obsahovat „další“ parametr zvaný kosmologická konstanta, který byl původně zaveden Einsteinem pro statický vesmír (tj. Vesmír, který se ani neroztahuje , ani kontrakce), je řešením jeho rovnice.
Einsteinovy rovnice jsou pak psány:
Toto úsilí skončilo neúspěchem ze dvou důvodů: z teoretického hlediska je statický vesmír popsaný touto teorií nestabilní; a navíc pozorování astronoma Edwina Hubbla o deset let později ukázala, že se vesmír ve skutečnosti rozpíná. Bylo tedy upuštěno, ale v poslední době astronomické techniky ukázaly, že nenulová hodnota tohoto parametru může vysvětlit určitá pozorování, zejména temnou energii . (Byl to astrofyzik Jim Peebles v 80. letech, kdo znovu zavede kosmologickou konstantu).
Einsteinova rovnice ve vakuu. Weylův tenzorJe možné přeformulovat Einsteinovy rovnice důsledně ekvivalentním způsobem k izolaci Ricciho tenzoru:
Ve vakuu, kde není energie ani hmota . Poté je zřejmé, že Einsteinova rovnice se scvrkává na:
když je kosmologická konstanta nula. Prázdný prostor, jehož Ricciho tenzor mizí, se nazývá „Ricci-plochý“ prostor. To neznamená, že časoprostor je plochý při absenci jakékoli hmoty nebo energie : zakřivení prostoru je reprezentováno Riemannovým tenzorem, nikoli Ricciho tenzorem.
Skutečnost, že Ricciho tenzor představuje průměrné zakřivení, znamená, že ve vakuu (v místě, kde se provádí měření: absence energie ohýbající prostor), je prostor v průměru plochý (nulové průměrné zakřivení), ale zakřivený v každém směr, vzhledem k tomu, že více či méně daleko, přítomnost energií (pohybujících se hmot) ohýbá prostor tím, že jej napíná, trochu jako ubrus vytažený v jeho rozích. Kromě toho celkový tvar vesmíru ukládá zakřivení v různých směrech, i když ve vakuu zůstává průměrné zakřivení nulové: různé tvary vesmíru jsou možné, žádný není jistý dodnes.
Pokud vezmeme v úvahu Ricciho tenzor jako zdroj gravitačního pole, samotné gravitační pole je reprezentováno Riemannovým tenzorem, od kterého odečteme Ricciho tenzor a ponecháme pouze stupně volnosti, které nepocházejí ze samotného zdroje. Tensor získaná je Weyl tensor , který má stejné vlastnosti jako Riemann tensor, ale ve skutečnosti představuje gravitační pole : . Právě zrušení tohoto tenzoru je podmínkou konformní plochosti časoprostoru.
Weylův tenzor představuje slapové síly způsobené gravitací. Koule částic vystavených Weylovmu tenzoru, vlivem hmoty vně koule, prochází deformací, která nemění svůj objem , na rozdíl od vlivu Ricciho tenzoru. Tyto gravitační vlny jsou popsány ve vakuu, které tenzoru Weyl.
Aktivní gravitační hmotaTenzor hustoty a hybnosti vede k definování pojmu hmotnosti v obecné relativitě trochu jiným způsobem než v případě newtonovských zákonů. Vezmeme-li výraz Einsteinovy rovnice, která izoluje Ricciho tenzor :, a jeho identifikací s počátečním zrychlením as Poissonovou rovnicí najdeme ekvivalentní aktivní gravitační hmotu:
místo v newtonovském případě. Hodnoty jsou hodnoty tlaku na tři ortogonální prostorové osy a gravitační konstanta přispívá k aktivní gravitační hmotě.
Za normálních podmínek je příspěvek tlaku k aktivní gravitační hmotě velmi malý a kosmologická konstanta zanedbatelná. Tlak však může hrát v extrémních podmínkách významnou roli, zejména během gravitačního kolapsu hmotných hvězd, kde tlak - namísto odporu proti gravitačnímu kolapsu, jak by se dalo očekávat - zvyšuje tendenci ke kolapsu zvýšením aktivní gravitační hmoty.
Úspora energie a energie gravitačního poleExistují fyzické situace, kdy lze energii vyměňovat mezi gravitačními a negravitačními systémy. Například když obrovské těleso obíhá kolem jiného hmotného těla, dochází k emisi gravitačních vln, které přenášejí část energie ze systému. Tato ztráta je v klasických řádech absolutně zanedbatelná (například energie uvolněná za jednotku času ve formě gravitačních vln oběžnou dráhou Jupitera kolem Slunce odpovídá 40 wattům). Ale za okolností, kdy jsou řády velmi vysoké, jako u binárního pulsaru PSR B1913 + 16 , má přenášená energie důležité a měřitelné účinky, které také umožňují úspěšně ověřit teorii obecné relativity.
Teorie obecné relativity neposkytuje okamžité a zjevné vyjádření tohoto jevu. Tenzor energetické hybnosti dává pouze energii tělesa nebo negravitačního pole v bodě, aniž by zohledňoval energii gravitačního pole v daném bodě. Energie gravitačních vln tedy není představována tímto tenzorem a její nulová kovariantní derivace nepředstavuje globální zachování energie. Aby reprezentoval konzervační energii systému „gravitačního pole těla“, Einstein vyjádřil energii pole „ pseudo-tenzorem (in) “, který ruší volbu rámce volným pádem (setrvačností) v uvažovaném bodě : energie gravitačního pole existuje pouze jako funkce zvoleného referenčního rámce. Tento „pseudotenzor“, převzatý z Ricciho tenzoru, také vyjadřuje autokorelaci pole na sobě, což vysvětluje jeho poměrně komplikovanou formulaci. Zejména energie vyzařovaná ve formě gravitačních vln je vyjádřena pomocí tohoto „pseudotenzoru“.
Tyto výměny byly také studovány a modelovány Hermannem Bondim a Rainerem Sachsem pro konkrétní typ časoprostoru, časoprostor asymptoticky plochý (in) , což představuje gravitační systémy považované za izolované od zbytku vesmíru, což je přibližně platí pro systémy jako binární pulsary.
Pochopení globálního zachování energie za přítomnosti dynamického gravitačního pole však zůstává choulostivým předmětem a dosud není zcela vyřešeno v obecné relativitě.
Zohlednění obecné relativity je nezbytné pro přesnost geolokace pomocí satelitu .
Obecná relativita umožňuje měřit gravitaci - a tedy nadmořskou výšku - pomocí dostatečně přesných atomových hodin .
Přístupné na vysokoškolské úrovni.