Zakřivení oblouku

V metrické studii křivek v rovině a prostoru , zakřivení opatření, jak daleko křivka, nebo geometrický oblouk, lokálně se pohybuje pryč od přímky. Vyhodnocuje poměr mezi změnou směru tečny ke křivce a posunem nekonečně dlouhé délky na této: čím více je tento poměr důležitý, tím důležitější je zakřivení. V obrazovém jazyce zakřivení udává, o kolik musí být volantem automobilu otočeno, aby mohl vstoupit do zatáčky (volant se mírně otáčí pro slabé zakřivení a ostře pro silné zakřivení).

Přesněji řečeno, pokud Γ je pravidelná křivka třídy C k s k ≥ 2 - tj. Křivka parametrizovaná alespoň dvakrát diferencovatelnou funkcí, jejíž první derivace není nikdy nulová a jejíž derivace druhá je spojitá - víme, že Γ má lokálně a normální parametrizace, to znamená, že v okolí bodu M existuje funkce g parametrizující Γ a taková, že || g '|| = 1 . Pokud g ( s ) = M , zakřivení Γ v bodě M je: y=||G„(s)||{\ displaystyle \ gamma = || g '' s}}

Pokud je zakřivení v bodě M nenulové, jeho inverzní hodnota dává poloměr oscilační kružnice , tj. Poloměr kružnice nejblíže ke křivce v bodě M.

V případě křivky orientované roviny můžeme v orientované rovině definovat algebraické zakřivení , které udává nejen intenzitu zakřivení, ale také jeho směr. Chcete-li obnovit obraz silnice, v rovině orientované v trigonometrickém směru pozitivní algebraické zakřivení naznačuje, že je nutné otočit volantem doleva, abyste se dostali do zatáčky. Algebraické zakřivení souvisí s orientací křivky, to znamená s jejím směrem jízdy: pokud je u řidiče nutné zabočit doleva, aby se přiblížil k zatáčce, u automobilů jedoucích v opačném směru, je nutné zahnout doprava vstoupit do stejné zatáčky.

Pokud g je normální parametrizace Γ , pro všechna s existuje jednotkový vektor n ( s ) takový, že ( g '( s ), n ( s )) je přímý ortonormální základ roviny a existuje skutečný funkce γ taková, že pro všechna s , g "(s) = γ ( s ) n ( s ) . Hodnota γ ( s ) je algebraické zakřivení oblouku orientovaného v bodě M = g ( s )

Absolutní hodnota algebraického zakřivení udává geometrické zakřivení.

V případě levé křivky (tj. Ne roviny) není možné definovat algebraické zakřivení.

Přístup elementární geometrie

Během pohybu mobilního bodu je možné sledovat vývoj tečny pomocí úhlu α vytvořeného touto tečnou s pevným směrem. Zakřivení měří změnu úhlu α vzhledem k ujeté délce. Příklad kruhu, který lze ošetřit argumentem elementární geometrie, slouží jako model k zavedení zakřivení složitějšího pohybu, grafu nebo parametrického oblouku.

Kruhové pouzdro

Během jakéhokoli pohybu po kružnici o poloměru R je ujetá délka Δ S , změna směru tečen se měří úhlem Δ α mezi tečnami ve výchozím a v koncovém bodě. Tento úhel je úhel ve středu mezi koncovým bodem a počátečním bodem. Máme tedy vztah: Δ α =Δ S/R Hlášení Δ α/Δ Sje konstantní a rovná se 1 / R. Je nezávislý na počátečních a koncových bodech, ale také na režimu trasy ( jednotný pohyb nebo ne). Tomu se říká zakřivení kruhu. Čím větší je poloměr, tím menší je toto zakřivení.

Myšlenkou je lokálně uvažovat o křivce jako o kružnici a najít hranici předchozího poměru pro nekonečně malý posun na křivce.

Případ grafu funkce

Uvažujme rovinu opatřenou ortonormálním souřadným systémem (0, x , y ) a oblouk definovaný jako graf funkce ƒ, tj. Definovaný rovnicí y = ƒ ( x ).

Pokud je tento oblouk „dostatečně plynulý“, připouští v kterémkoli bodě x tečnu a sklon tečny je v tomto bodě derivací , ƒ '( x ).

Pokud je tímto obloukem přímka, tečna je všude stejná, ƒ 'je konstantní. Pokud má tento oblouk nenulové zakřivení, je to proto, že se odchyluje od pojmu přímky: jeho derivace se mění. Intuitivně vidíme, že čím více je oblouk zakřivený, tím více se derivace „rychle mění“.

Můžeme tedy spojit zakřivení s variací derivace, a tedy s druhou derivací .

Pokud se někdo snaží kvantifikovat toto zakřivení, musí se zajímat o nekonečně malé variace úhlu tečen a délky oblouku. Tečna ke křivce vytváří s osou x úhel α ( x ) = arctan ( f '( x )) . Pro nekonečně malou variaci d x získáme

• dα(X)=F„(X)1+F′2(X)dX{\ displaystyle \ mathrm {d} \ alpha (x) = {\ frac {f '' (x)} {1 + f '^ {2} (x)}} \ mathrm {d} x}
• ds(X)=1+F′2(X)dX{\ displaystyle \ mathrm {d} s (x) = {\ sqrt {1 + f '^ {2} (x)}} \ mathrm {d} x}

Algebraické zakřivení je pak dáno poměrem těchto dvou variací

• y(X)=F„(X)(1+F′2(X))3/2{\ displaystyle \ gamma (x) = {\ frac {f '(x)} {(1 + f' ^ {2} (x)) ^ {3/2}}}}

Pojem „dostatečně hladký“ je zavádějící. Zvažte spodní křivku naproti. Jeho derivací je střední křivka, pilovitá křivka. Jeho druhou derivací je horní křivka, čtvercová vlna . Vidíme, že na místní úrovni - v x = 1, x = 2, ... - nemůžeme definovat druhou derivaci, protože to stojí -1 na jedné straně a +1 na druhé straně bodu. Lokálně má oblouk tedy neurčité zakřivení.

Algebraické zakřivení oblouku orientované roviny

Vezměme si parametrizovaný oblouk třídy v orientované euklidovské rovině , který se považuje za pravidelný (s derivačním vektorem, který není nikdy nula). Můžeme zvolit počátek a jako parametr vzít příslušnou křivočarou úsečku . Toto je normální nastavení (rychlost je stálého standardu rovna 1), což umožňuje snadno definovat souřadnicový systém Frenet  : VS2{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}} s{\ displaystyle s}M→(s){\ displaystyle {\ vec {M}} (y)}

• původ: bod M→(s){\ displaystyle {\ vec {M}} (y)}
• první vektor: vektor tečny jednotky ,T→(s)=dM→ds(s){\ displaystyle {\ vec {T}} (s) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {M}}} {\ mathrm {d} s}} (s)}
• normální jednotka druhé jednotky, dokončení první v přímém ortonormálním základěNE→(s){\ displaystyle {\ vec {N}} (s)}

Zakřivení způsobené zrychlením

Jednotkový tangensový vektor, který má konstantní normu, dokazuje, že jeho derivace je k němu vždy kolmá:

∀s∈Já, ‖T→(s)‖2 = 1⇒∀s∈Já, dT→ds(s) ⋅ T→(s) = 0.{\ displaystyle \ forall s \ in I, \ \ | {\ vec {T}} (s) \ | ^ {2} \ = \ 1 \ quad \ Rightarrow \ quad \ forall s \ in I, \ {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}}} {\ mathrm {d} s}} (s) \ \ cdot \ {\ vec {T}} (s) \ = \ 0.}

Existuje tedy funkce γ, nazvaný algebraický zakřivení , tak, že

dT→(s)ds = y(s) NE→(s)=d2M→ds2(s).{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}} (s)} {\ mathrm {d} s}} \ = \ \ gamma (s) \ {\ vec {N}} (s ) = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {M}}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} (s).}

Při normální parametrizaci je proto vektor zrychlení normální (kolineární s jednotkovým normálním vektorem) a zakřivení je jeho souřadnicí podle jednotkového normálního vektoru.

Znaménko zakřivení informuje o konkávnosti křivky, to znamená polorovině ohraničení tečny a lokálně obsahující křivku. Pokud je zakřivení přísně kladné, druhý vektor základny Frenetu směřuje ke konkávitě křivky, pokud je zakřivení přísně záporné, jedná se o opak druhého vektoru, který směřuje ke konkávitě křivky.

Případ jakéhokoli nastavení

V libovolném nastavení lze křivku získat také z rychlosti a zrychlení podle vzorce

y(t)=det(dM→dt(t),d2M→dt2(t))‖dM→dt(t)‖3{\ displaystyle \ gamma (t) = {\ frac {\ det \ vlevo ({\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {M}}} {\ mathrm {d} t}} (t), {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {M}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} (t) \ right)} {\ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {M}}} {\ mathrm {d} t}} (t) \ doprava \ | ^ {3}}}}

(kde det označuje směsný produkt ).

Tento vzorec ukazuje, že bod je biregulární, pokud je zakřivení v tomto bodě nenulové.

Zakřivení vnímané jako rychlost otáčení referenčního rámce Frenet

K úplnému určení vektorů Frenetovy báze postačuje úhlový parametr α, což je formálnější úhlové ložisko a které lze vždy definovat pro dostatečně pravidelnou křivku, která udává úhel mezi T a prvním vektorem pevné základny ( vektor úsečky)

α=(i,T)^neboT=(cos⁡αhřích⁡α)NE=(-hřích⁡αcos⁡α){\ displaystyle \ alpha = {\ widehat {(i, T)}} \ qquad {\ hbox {nebo znovu}} \ qquad T = {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha \\\ sin \ alpha \ end { pmatrix}} \ qquad N = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ alpha \\\ cos \ alpha \ end {pmatrix}}}

Tento parametr α je proto interpretován jako úhel tvořený Frenetovou základnou s pevným směrem.

Pak je rozumné vzít úhel α pro parametr a odvodit prvky souřadnicového systému Frénet ve srovnání s α. Alespoň v matematice je nutné tuto operaci ověřit. Ukážeme, že je-li oblouk biregulární (tj. První a druhý derivační vektor nejsou nikdy kolineární), je možné provést úhel α pravidelnou funkcí, která oblouk reparametizuje , a tak rozlišovat vzhledem k α. Odpovídající diskusi lze nalézt v článku o zdvihací větě .

V tomto nastavení se vektor N získá buď provedením rotace (čtvrtina otáčky v přímém směru), nebo přidáním k α, nebo dokonce diferenciací vzhledem k α π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}

NE=(-hřích⁡αcos⁡α)=dTdαT=-dNEdα{\ displaystyle N = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ alpha \\\ cos \ alpha \ end {pmatrix}} = {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} \ alpha}} \ qquad T = - {\ frac {\ mathrm {d} N} {\ mathrm {d} \ alpha}}}

Derivační vzorce vektorů T a N s ohledem na α jsou striktně identické s derivačními vzorci mobilní základny v polárních souřadnicích , protože jde o přesně stejnou situaci.

Zakřivení γ je tedy

y=dαds{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {\ mathrm {d} \ alpha} {\ mathrm {d} s}}}

Jde tedy o rychlost otáčení základny Frenetu ve srovnání s pevným směrem (opět v normálním nastavení parametrů).

Geometrický úvod

Tyto trojrozměrné Analýza ukazuje, že pro kinematický problém, γ je homogenní na inverzní délky. Proto se často zavést poloměr zakřivení (algebraická)

R=1y=dsdα{\ displaystyle R = {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} \ alpha}}}

Abychom pochopili význam této veličiny, je zajímavé prozkoumat konkrétní případ kruhu

{X(t)=rcos⁡ty(t)=rhřích⁡t{\ displaystyle {\ begin {cases} x (t) = r \ cos t \\ y (t) = r \ sin t \ end {cases}}}

Použitím vzorce pro výpočet zakřivení dostaneme R = r .

Obecněji se pro jakýkoli biregulární oblouk v bodě P křivočarých úseček s ukazuje, že existuje jeden kruh, který „odpovídá  této křivce co nejlépe  “ v sousedství P  : kruh oscilační . Je tečna ke křivce v P a její poloměr se rovná absolutní hodnotě poloměru zakřivení. VS2{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}

Vinutí popisuje zakřivení několika oblouků spojených s inflexní body .

Zpět na kladné zakřivení

Podle dříve zvolené konvence je zakřivení a poloměr zakřivení algebraické veličiny. Vezmeme-li následující konvence:

• poloměr zakřivení je poloměr oscilační kružnice, je vždy kladný
• zakřivení je jeho inverzní, je vždy kladné
• vektor je jednotkový vektor kolmý ke křivce v bodě , orientovaný ke středu oscilační kružnice.NE→(s){\ displaystyle {\ vec {N}} (s)}M{\ displaystyle M}

Pokud je algebraické zakřivení kladné, upadneme přesně na předchozí konvence. Jinak jsou zakřivení a poloměr zakřivení absolutními hodnotami algebraických konvencí a jednotkový normální vektor je opakem algebraické konvence. Postavená základna již nemusí být nutně přímou základnou. Našli jsme však vzorec

dT→ds=yNE→{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}}} {\ mathrm {d} s}} = \ gamma {\ vec {N}}}

S touto konvencí udává jednotkový normální vektor směr, ve kterém je konkávnost křivky otočena. Tato konvence má smysl, pouze pokud je zakřivení nenulové. Jinak není jednotkový normální vektor definován.

Vzorce

Definiční režim	Parametr a identifikace bodu M	Funkce algebraického zakřivení
Graf	(X,F(X)){\ displaystyle (x, f (x)) \,}	F„(1+F′2)3/2{\ displaystyle {\ frac {f ''} {\ doleva (1 + f '^ {2} \ doprava) ^ {3/2}}}}
Parametrické	(X(t),y(t)){\ displaystyle (x (t), y (t)) \,}	X′y„-y′X„(X′2+y′2)3/2{\ displaystyle {\ frac {x'y '' - y'x ''} {\ left (x '^ {2} + y' ^ {2} \ right) ^ {3/2}}}}
Parametrizovaná polární	[ρ(t);θ(t)]{\ displaystyle [\ rho (t); \ theta (t)] \,}	ρρ′θ„+2ρ′2θ′-ρρ„θ′+ρ2θ′3(ρ′2+ρ2θ′2)3/2{\ displaystyle {\ frac {\ rho \ rho '\ theta' '+2 \ rho' ^ {2} \ theta '- \ rho \ rho' '\ theta' + \ rho ^ {2} \ theta '^ { 3}} {\ left (\ rho '^ {2} + \ rho ^ {2} \ theta' ^ {2} \ right) ^ {3/2}}}}
Polární	[ρ(θ);θ]{\ displaystyle [\ rho (\ theta); \ theta] \,}	2ρ′2+ρ2-ρρ„(ρ′2+ρ2)3/2{\ displaystyle {\ frac {2 \ rho '^ {2} + \ rho ^ {2} - \ rho \ rho' '} {\ left (\ rho' ^ {2} + \ rho ^ {2} \ right ) ^ {3/2}}}}
Implicitní	F(X,y)=0{\ displaystyle F (x, y) = 0 \,}	∇→⋅(∇→F‖∇→F‖){\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ frac {{\ vec {\ nabla}} F} {\ | {\ vec {\ nabla}} F \ |}} \ vpravo)}( Divergence z normalizovaného gradientu )

Zakřivení levého oblouku

Obecná definice

Vezměme si parametrizovaný oblouk třídy v orientovaném euklidovském prostoru , který se považuje za pravidelný  ; jeden může znovu brát pro parametr křivočarou úsečku a v bodě lze definovat jednotkový tečný vektor . Ve vesmíru však existuje nekonečné množství jednotkových vektorů kolmých na vektor tečné jednotky. Myšlenkou je zvolit ten, který má stejný směr jako vektor, o kterém člověk ví, že je kolmý k prvnímu a který bude stačit rozdělit podle jeho normy, aby byl jednotný. VS2{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}M→(s){\ displaystyle {\ vec {M}} (y)}T→(s)=dM→ds(s){\ displaystyle {\ vec {T}} (s) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {M}}} {\ mathrm {d} s}} (s)}dT→(s)ds{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}} (s)} {\ mathrm {d} s}}}

Definujeme zakřivení v bodě jakoM→(s){\ displaystyle {\ vec {M}} (y)}y(s)=‖dT→(s)ds‖=‖d2M→ds2(s)‖{\ displaystyle \ gamma (s) = \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}} (s)} {\ mathrm {d} s}} \ right \ | = \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {M}}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} (s) \ right \ |}

Pokud je křivka bi-pravidelná, je křivka nenulová. Potom můžeme definovat druhý vektor Frenetovy báze jako: NE→(s)=1y(s)dT→(s)ds{\ displaystyle {\ vec {N}} (s) = {\ frac {1} {\ gamma (y)}} {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}} (s)} {\ mathrm {d} s}}}

Poloměr zakřivení se potom rovná inverzní hodnotě zakřivení.

Výpočet pro jakékoli nastavení

V praxi vezmeme-li v úvahu parametrizovanou křivku , zakřivení je normou vektoru , kde je křivková úsečka definovaná pomocí , kde označujeme a . r(t){\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}d2rds2{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}}}s{\ displaystyle s}s(t)≜∫τ=t0τ=t‖r˙(τ)‖dτ{\ displaystyle s (t) \ triangleq \ int _ {\ tau = t_ {0}} ^ {\ tau = t} \ left \ | {\ dot {\ mathbf {r}}} (\ tau) \ right \ | \ mathrm {d} \ tau}r˙(t)≜drdt(t){\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ triangleq {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} (t)}r¨(t)≜d2rdt2(t){\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} (t) \ triangleq {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t ^ {2}} } (t)}

Problém tedy spočívá ve výpočtu : d2rds2{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}}}

d2rds2=1‖r˙(t)‖2(r¨(t)-r˙(t)‖r˙(t)‖d‖r˙(t)‖dt){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ vlevo \ | {\ tečka {\ mathbf {r}}} (t) \ vpravo \ | ^ {2}}} \ vlevo ({\ ddot {\ mathbf {r}}} (t) - {\ frac {{\ dot {\ mathbf { r}}} (t)} {\ left \ | {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ right \ |}} {\ frac {\ mathrm {d} \ left \ | {\ dot { \ mathbf {r}}} (t) \ right \ |} {\ mathrm {d} t}} \ right)}

Tento vzorec můžeme také napsat následovně:

d2rds2(t)=1‖r˙(t)‖2(r¨(t)-⟨r˙(t)∣r¨(t)⟩‖r˙(t)‖2r(t)˙){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} (t) = {\ frac {1} {\ vlevo \ | {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ right \ | ^ {2}}} \ left ({\ ddot {\ mathbf {r}}} (t) - {\ frac {\ langle {\ tečka {\ mathbf {r}}} (t) \ mid {\ ddot {\ mathbf {r}}} (t) \ rangle} {\ left \ | {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ right \ | ^ {2}}} {\ dot {\ mathbf {r} (t)}} \ right)}

kde označuje tečkový součin mezi vektorem a vektorem . ⟨na∣b⟩{\ displaystyle \ langle \ mathbf {a} \ mid \ mathbf {b} \ rangle}na{\ displaystyle \ mathbf {a}}b{\ displaystyle \ mathbf {b}}

Pokud si všimneme

• PROTI→m=1‖r˙(t)‖2r¨(t){\ displaystyle {\ vec {V}} _ {m} = {\ frac {1} {\ left \ | {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ right \ | ^ {2}}} {\ ddot {\ mathbf {r}}} (t)}
• T→m=1‖r˙(t)‖r˙(t){\ displaystyle {\ vec {T}} _ {m} = {\ frac {1} {\ left \ | {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ right \ |}} {\ dot { \ mathbf {r}}} (t)} (jednotkový vektor tečny)

Vzorec je napsán: d2rds2=PROTI→m-⟨PROTI→m∣T→m⟩T→m.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} = {\ vec {V}} _ {m} - \ langle {\ vec {V}} _ {m} \ mid {\ vec {T}} _ {m} \ rangle {\ vec {T}} _ {m}.}

Tím je ortogonální projekce v nadrovině kolmá na vektor . d2rds2{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}}}PROTI→m{\ displaystyle {\ vec {V}} _ {m}}T→m{\ displaystyle {\ vec {T}} _ {m}}

Pythagorova věta pak umožňuje určit zakřivení: ym=PROTI→m2-⟨PROTI→m∣T→m⟩2=r¨2(t)r˙2(t)-⟨r¨(t)∣r˙(t)⟩2‖r˙(t)‖3.{\ displaystyle \ gamma _ {m} = {\ sqrt {{\ vec {V}} _ {m} ^ {2} - \ langle {\ vec {V}} _ {m} \ mid {\ vec {T }} _ {m} \ rangle ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {{\ ddot {\ mathbf {r}}} ^ {2} (t) {\ dot {\ mathbf {r}} } ^ {2} (t) - \ langle {\ ddot {\ mathbf {r}}} (t) \ mid {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ rangle ^ {2}}} { \ left \ | {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ right \ | ^ {3}}}.}V dimenzi tři lze zakřivení vyjádřit následujícím vzorcem:

ym=‖r¨(t)∧r˙(t)‖‖r˙(t)‖3{\ displaystyle \ gamma _ {m} = {\ frac {\ levý \ | {\ ddot {r}} (t) \ klín {\ dot {r}} (t) \ pravý \ |} {\ levý \ | {\ dot {r}} (t) \ doprava \ | ^ {3}}}}

Případ křivky nakreslené na povrchu

V libovolném bodě M normálního parametrizovaného povrchu Σ lze v orientovaném prostoru definovat normální vektor k povrchu . Pro třídu a pravidelný parametrický oblouk zahrnutý v ploše Σ; můžeme znovu vzít pro parametr křivočarou úsečku a v bodě můžeme definovat ne→m{\ displaystyle {\ vec {n}} _ {m}}VS2{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}M(s){\ displaystyle {M}

• normální vektor na povrchu: ne→(s){\ displaystyle {\ vec {n}} (y)}
• jednotkový vektor tečna: .T→(s)=dM→ds(s){\ displaystyle {\ vec {T}} (s) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {M}}} {\ mathrm {d} s}} (s)}
• vektor třetí jednotky tvořící spolu se dvěma dalšími přímý ortonormální základ: G→(s)=ne→(s)∧T→(s){\ displaystyle {\ vec {g}} (s) = {\ vec {n}} (s) \ klín {\ vec {T}} (s)}

Souřadnicový systém je Darbouxův souřadnicový systém křivky v bodě M (s). (M(s);T→(s),G→(s),ne→(s)){\ displaystyle (M (s); {\ vec {T}} (s), {\ vec {g}} (s), {\ vec {n}} (s))}

Vektor , kolmý na , je pak lineární kombinací a . Proto existují dvě funkce γ g a γ n , v tomto pořadí s názvem geodetické zakřivení a normální zakřivení tak, že dT→(s)ds{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}} (s)} {\ mathrm {d} s}}}T→(s){\ displaystyle {\ vec {T}} (y)}G→(s){\ displaystyle {\ vec {g}} (y)}ne→(s){\ displaystyle {\ vec {n}} (y)}

dT→(s)ds = yG(s) G→(s)+ yne(s) ne→(s){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}} (s)} {\ mathrm {d} s}} \ = \ \ gamma _ {g} (s) \ {\ vec {g }} (s) + \ \ gamma _ {n} (s) \ {\ vec {n}} (s)}

Zakřivení oblouku v bodě M je pak dáno vztahem: y(s)=yG2(s)+yne2(s){\ displaystyle \ gamma (s) = {\ sqrt {\ gamma _ {g} ^ {2} (s) + \ gamma _ {n} ^ {2} (s)}}}

Kromě geometrického zakřivení poskytuje souřadnicový systém Darboux také dvě algebraické zakřivení: jedno ve směru kolmém k povrchu, druhé ve směru umístěném v rovině tečné k povrchu a kolmé k tečně ke křivce. Abychom si vzali příklad silnice sledované v horách na povrchu Země orientovaného vektorem opačným k přitažlivosti Země, definuje geodetické zakřivení γ g amplitudu zakřivení v rovině tečné k povrchu, c 'to je „Amplituda, při které se volant otáčí, jeho značka nadále označuje, kterým směrem se má volant otáčet (vlevo pro kladné znaménko).

Poznámky a odkazy

1. Johann Colombano, „  Vizualizace zakřivení. Od poloměru zakřivení po Riemannův tenzor  “, images.math.cnrs.fr ,14. června 2017( číst online )
2. Patrice Tauvel, Geometry: Aggregation. 2 th cyklus / Master , Paris, Dunod, coll.  "Sup Sciences",2005, 532  s. ( ISBN  2-10-049413-9 ), str.  359 .
3. Pierre Lecomte, Křivky a povrchy , University of Lutych, Katedra matematiky, s. 1  36
4. Pierre Lecomte, Křivky a povrchy , University of Liège, Katedra matematiky, s. 1  35
5. Tauvel 2005 , s.  360
6. Jacqueline Lelong-Ferrand a Jean-Marie Arnaudiès , Geometry and Kinematics , Paris, Dunod,1977( ISBN  2-04-003080-8 ) p.  330
7. Lelong-Ferrand a Arnaudiès 1977 , s.  331
8. Tauvel 2005 , str.  354
9. Laurent Bessières, kurz N1MA6011: Diferenciální geometrie , Matematický ústav v Bordeaux, rok 2013/2014, s. 1  10 .
10. Pierre-Antoine Guihéneuf, Metrické studie křivek , Paris Sud University, str. 3