Maltézský kříž (mechanismus)

Maltézský kříž je mechanické zařízení, které přeměňuje kontinuální rotační pohyb do trhavé otáčení. Jeho název je odvozen od podobnosti s maltským křížem (✠, symbol Řádu svatého Jana Jeruzalémského nebo Maltézského řádu ), ale s kruhovými stranami. V angličtině a španělštině tento mechanismus odvozuje svůj název od města Ženeva ( Ženevská cesta , Rueda de Ginebra ) - ale v angličtině se také používá termín maltský kříž .

Mechanické zařízení se skládá z vačky poháněné "sledovačem", což umožňuje indexování .

Historický

Vynálezce Jules Carpentier ve Francii, který pracoval s bratry Lumièrovými , a Oskar Messter , jeden z průkopníků německé kinematografie, patentovali maltská křížová zařízení již v roce 1896. Je to však maltský kříž pro čtyři pobočky Pierre-Victor Continsouza. který byl tehdy nejpoužívanější v kinematografických projekčních zařízeních.

Použití

Používá se zejména pro filmový film (nedigitální) v projektorech a zřídka v kamerách pro postup filmu: film se musí zastavit u každého obrazu před závěrkou (fotografování) nebo před lampou (projekce).

Tento mechanismus se nachází v mechanických počítačích (počet najetých kilometrů automobilů, spotřeba vody nebo plynu atd.), Kde zaručuje vyrovnání čísel a jejich naklonění při každém zadržení. Používá se také ve strojích provádějících přepravu produktu s potřebou čekací doby při zavedení (což systém ojnice s klikou neumožňuje). Například se nachází na základně pohybů používaných na balicích strojích: výrobky se zavádějí do potravinářského skladu podle předem definovaného množství (fáze zastavení), poté se během přenosu přemisťují (fáze pohybu).

Úkon

Fungování maltského příčného mechanismu je následující: válec, nazývaný klika nebo hnací kolo, se otáčí nepřetržitě pravidelnou rychlostí a nese prst. Prst vstoupí do drážky v maltském kříži (hnané kolo), což způsobí, že se otočí o 1 / n otáčky, kde n je počet drážek v kříži ( n = 4 na obrázku naproti, 6 v l animace výše).

Poté prst vyjde z drážky, válec motoru pokračuje ve svém pohybu, zatímco maltský kříž zůstává nehybný. Středový válec, částečně vyhloubený, je komplementární se zaoblením maltského kříže; to slouží ke stabilizaci polohy zařízení, když prst není v záběru s drážkou.

Počet drážek může nabývat sudých nebo lichých hodnot, obvykle mezi 4 a 10.

Varianty

Vnitřní maltézský kříž.
Provoz vnitřního maltského kříže.
Sférický maltézský kříž.

Existují dvě varianty: vnitřní maltézský kříž a sférický maltézský kříž „v tulipánu“ (systém se souběžnými osami).

V případě vnitřního maltského kříže je hřídel motoru (nesoucí hnací kolo) namontována na konzolovém hřídeli ( konzolový , je držen pouze na jedné straně). Hřídel je proto citlivější na ohyb, což může být při velkém zatížení problémem.

Kromě toho je doba jízdy delší než polovina periody: otočení hnaného kola trvá o více než půl otáčky hnací kolo. Délka tréninku (motorický čas) je proto na rozdíl od externího maltézského kříže delší než doba odpočinku. V důsledku toho je maximální zrychlení nižší, ale stále představuje nespojitosti na začátku a na konci pohybu.

V případě sférického maltézského kříže musí být strom také konzolový. Doba školení je půl období; doba tréninku se rovná době odpočinku.

Pocty

Někteří filmaři vzdali hold tomuto mechanismu, který je zásadní pro natáčení a projekci na film:

Wim Wenders ve filmu The American Friend (1977): dítě, syn Jonathana a Marianne Zimmermanna, si hraje s dřevěným maltézským křížem; a v Au fil du temps (1976) „kino by bez tohoto vynálezu neexistovalo“ podle Bruna Wintera, hlavního hrdiny, opraváře projektorů.
Martin Scorsese ve filmu Hugo Cabret (2011): když Georges Méliès dokončí svůj automat, poslední kousek, který zavede, je maltský kříž.

Maltézský kříž byl logem značky projektorů Cinemeccanica (it) . Současné logo i logo jeho značky CineCloud je stylizovaný maltský kříž (viz logo na oficiální stránce ).

Mechanická studie

Geometrická omezení

Kritickým bodem v provozu je, když prst vstoupí do drážky. To ukládá vztah mezi poloměrem kliky R, to znamená vzdáleností mezi středem prstu a středem hnacího kola, které jej podepírá, a středovou vzdáleností E, to znamená vzdáleností mezi středem hnacího kola a střed maltského kříže. Aby nedošlo k žádnému rázu, musí být vektor rychlosti v ose drážky.

Říkáme α polovina úhlu otáčení hnaného kola na otáčku hnacího kola

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ pi} {n}}}

v radiánech

Nechť $α = π / 4 = 45 °$ pro čtyři drážky a $α = π / 6 = 30 °$ pro šest drážek. Pak máme následující vztahy mezi středovou vzdáleností E, poloměrem hnacího kola R 1 a poloměrem hnaného kola R 2 :

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alfa}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {E} \ cos \ alfa}

Mezi 0 a $π / 4$ (0 a 90 °) se sinusová funkce zvyšuje a kosinová funkce klesá v α. Dedukujeme, že pro danou středovou vzdálenost platí, že čím více drážek máme (čím větší je n ), tím menší α je tedy menší R 1 a větší R 2 .

Demonstrace

Představme si systém, když prst vstupuje do drážky. Umístíme čáru spojující středy kol s vodorovnou rovinou. Drážka proto svírá s vodorovnou úhel α. Vektor rychlosti je kolmý na trajektorii; jak prst popisuje kružnici, čára nesoucí vektor rychlosti je proto tečná ke kružnici, to znamená kolmá k poloměru v tomto bodě. Máme tedy pravoúhlý trojúhelník s přeponou E, jejichž jeden z úhlů je $π / n$ a jehož strana protilehlá k úhlu má délku R 1 . Takže máme:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alfa}

Poloměr kruhu ohraničeného maltézským křížem je také délkou sousední strany pravého trojúhelníku, tj.

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} = \ mathrm {E} \ cos \ alfa.}

Kromě toho musí být jmenovitá šířka drážky rovna jmenovitému průměru 2 r prstu: menší, prst nemůže vstoupit, příliš velký, došlo by k otřesu. V praxi se jedná o vůli: drážka musí být o něco širší než prst, aby umožňovala pohyb. K omezení otřesů můžeme použít takzvané „posuvné bez vůle“ nastavení, nebo přesněji „přesné vedení“, označené H7 / g6, ale dosažení tohoto cíle je nákladné.

Konec větví musí mít nenulovou šířku. Ve skutečnosti je nutné uložit minimální šířku e 1 , která závisí na požadovaném odporu. To znamená maximální poloměr pro válec imobilizéru. Kontakt musí být navíc efektivní, proto existuje minimální poloměr, a to:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} \ vlevo ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ vpravo) <\ mathrm {R } _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

rozměr e 1 je tloušťka, kterou je žádoucí udržovat na konci větve, aby měla dostatečnou pevnost.

Demonstrace

Máme nominální šance (za předpokladu nulové vůle):

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {R} _ {3} + r + e_ {1}}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3} = \ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

Z důvodu potřebné vůle je to ve skutečnosti nutné

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

rozdíl (R 1 - r - e 1 ) - R 3 je hra.

Kontakt musí být efektivní, takže nutně také máme:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {2}}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {R} _ {1} \ vlevo ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alfa }} \ right) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}}}

Minimální délka drážky L se získá zvážením polohy, ve které je prst nejvíce zasunut. Pak máme orientací délek doleva:

{\ displaystyle \ mathrm {L} _ {\ min} = \ mathrm {R} _ {1} - \ mathrm {E} + \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {R} _ {1} \ left (1 - {\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ right) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {\ cos \ alpha + \ sin \ alpha -1} {\ sin \ alpha}}.}

Maximální délka je ta, která ponechává dostatek materiálu pro maltský kříž, aby odolal stresu. Pokud říkáme r a poloměr hřídele maltézského kříže a e 2 minimální tloušťku materiálu, kterou chceme, pak máme:

{\ displaystyle \ mathrm {L} _ {\ max} = \ mathrm {R} _ {2} -r_ {a} -e_ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} - r_ {a} -e_ {2}.}

Kinematická studie

Předpokládá se, že hnací kolo (klika) se otáčí s konstantní úhlovou rychlostí ω (rovnoměrný rotační pohyb). Následující obrázek představuje fungující mechanismus. Pokud si všimneme jako dříve

n počet drážek v maltském kříži (hnané kolo);
α = 2π / n úhel mezi dvěma drážkami

a že představíme zprávu

{\ displaystyle k = {\ frac {\ mathrm {E}} {\ mathrm {R} _ {1}}} = {\ frac {1} {\ sin \ alfa}}}

pak si všimneme, že:

maximální úhlová rychlost hnaného kola je ;
${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}}$
maximální úhlové zrychlení stojí v závislosti na počtu drážek:
- n = 4: α 0 ≃ 3,82 × ω 2 ,
- n = 6: α 0 ≃ 0,375 × ω 2 ,
- n = 8: α 0 ≃ 0,268 × ω 2 ;
počáteční a konečné úhlové zrychlení nejsou nulové, což znamená, že hnané kolo je vystaveno nárazům nekonečného úhlového ( diracsu ), což je v praxi omezeno pružností a třením systému.

Tyto trhané špičky nepředstavují problém, pokud člověk zůstane v nízkých rychlostech a setrvačnostech. Na druhou stranu se stávají prohibitivní pro systémy s vysokou rychlostí a vysokým zatížením.

Demonstrace

Říkáme vstupní úhel a označujeme θ e , úhel vytvořený paprskem procházejícím prstem s osou x a který charakterizuje orientaci hnacího kola. Říkáme výstupní úhel a označujeme θ s , úhel vytvořený osou drážky vzhledem k ose x , který charakterizuje orientaci hnaného kola.

Studium přerušovanosti

Vstupní úhel θ e změní rovnoměrně

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {e}} = \ omega}

úhlová rychlost ω je ve výkresu záporná. Hodinová rovnice vstupního úhlu je proto zapsána

{\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {e}} = \ omega t + \ varphi}

kde $φ$ je úhel při t = 0, zvolený libovolně. Pro grafické znázornění zvolíme $φ$ tak, aby prst vstoupil do drážky při t = 0, tj.

{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {\ pi} {2}} - \ alfa}

Délka tréninku $τ$ odpovídá rotaci hnacího kola z úhlu $φ$ na symetrický úhel - $φ$ , tj.

{\ displaystyle \ omega \ tau = (- \ varphi) - \ varphi = -2 \ varphi = 2 \ alpha - \ pi.}

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {2 \ alpha - \ pi} {\ omega}}.}

Celková doba se rovná $T = -2π / ω$ , takže tréninková fáze představuje zlomek celkové hodnoty období

{\ displaystyle {\ frac {\ tau} {T}} = {\ frac {- (2 \ alpha - \ pi)} {2 \ pi}} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {n}}.}

Následně se pro jednoduchost určíme θ to jako funkce t Vstup e spíše než t .

Studium úhlových vztahů

Vstupní úhel souvisí s výstupním úhlem tím, že dva pravé trojúhelníky mají stejnou opačnou stranu h :

{\ displaystyle h = \ mathrm {R} _ {1} \ sin \ theta _ {e} = \ mathrm {R} _ {3} \ tan \ theta _ {s}.}

Takže máme

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {3}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {1}}} \ krát {\ frac {1} {\ mathrm {E} / \ mathrm {R} _ {1} - \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}}}

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} }

{\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {s}} = \ operatorname {arctan} \ left ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} \ vpravo)}

Zákony pohybu

Předběžně vypočítáme následující deriváty:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ cos (\ omega t )} {\ mathrm {d} t}} = - \ omega \ sin (\ omega t) = - \ omega \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}}

a stejným způsobem

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = \ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}

Úhlová rychlost hnaného kola se získá derivací. Vezměme si znovu výraz tan θ s . Pokud odvodíme levou končetinu, máme

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left (1+ \ tan ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {s}} \ right) = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} \ left (1 + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} \ vpravo)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left ({\ frac {k ^ {2} -2 \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2 }}} \ že jo)}

a odvozením pravé strany:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} \ right) = {\ frac {\ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} (k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) - \ omega \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega} {( k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)}

Napsáním rovnosti dvou členů dostaneme

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}}}

Odvozením lze určit úhlové zrychlení:

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ theta _ {\ mathrm {e} }} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}}}

Poznamenáváme, že toto zrychlení mizí pro θ e = 0, takže rychlost je v tomto bodě maximální, a

{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}}

Na počátku máme θ e = φ a tedy

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} (0) = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ varphi} {(k ^ {2} -2k \ cos \ varphi +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2 } -2k \ sin \ alpha +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2} -1 ) ^ {2}}} \ neq 0}

je tedy nekonečné trhnutí původem. Symetrií je na konci pohybu nekonečné trhnutí.

Odvozením zrychlení získáme během pohybu trhnutí :

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {3} \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t ^ {3}}} \ & = { \ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}} \ vlevo (\ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} - {\ frac {4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}} \ vpravo) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (- 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1 )} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k) \ end {zarovnáno}}}

Zrychlení je maximální, když je trhnutí zrušeno, což se rovná řešení:

{\ displaystyle 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k = 0}

tj. nastavením x = cos θ e

{\ displaystyle 2kx ^ {2} + (k ^ {2} +1) x-4k = 0 {\ text {; }} \ sin \ alpha \ leqslant | x | \ leqslant 1}

což je kvadratická rovnice přísně pozitivního diskriminátoru

{\ displaystyle \ Delta = (k ^ {2} +1) ^ {2} + 32k ^ {2} = k ^ {4} + 34k ^ {2} +1> 0}

Rovnice proto připouští dvě skutečná řešení

{\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {- (k ^ {2} +1) \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} {4k}}}

Získáváme pro některé hodnoty n :

ne	k	x 1	x 2	θ e	Př. max.
4	√2	0,980	1.33	-0,200 rad (-11,5 °)	3,82 × ω 2
6	2	0,921	1.17	-0,400 rad (-22,9 °)	0,675 × ω 2
8	2.61	0,851	1,04	-0,552 rad (-31,6 °)	0,268 × ω 2

Digitální aplikace

Zvažte kinoprojektor se čtyřdrážkovým maltským křížem. Takže máme:

hnací kolo frekvence otáčení N = 24 Hz (24 snímků za sekundu) nebo ω = 2π N ≃ 151 rad / s ;
poměr $k = 1 / sin (π / 4) = \sqrt 2 ≃ 1,41$ ;

a tak

ω 0 ≃ 364 rad / s ; N 0 = 57,9 min ;
α 0 ≃ 8,69 × 10 4 rad / s 2 .

Poznámky a odkazy

„ Maltézský kříž “ , na projector.mip.free.fr (přístup k 30. červnu 2016 )

Podívejte se také

Bibliografie

(en) John H. Bickford , Mechanismy pro přerušovaný pohyb , New York, Industrial Press Inc.,1972, 264 s. ( ISBN 0-8311-1091-0 , číst online ) , kap. 9 („Ženevské mechanismy“) , s. 9 127-138

Související články

externí odkazy

Maltézský kříž na místě University of Nantes ( Java kid animation )
Maltézský kříž : stránky týkající se počátků historie kinematografie viděné v dobových knihách