Deltoid (zakřivený)

Deltoid není nic jiného než hypocykloidy se třemi cípy . Jeho tvar vypadá trochu jako velké řecké písmeno delta , odtud i jeho název. Tento příklad rulety poprvé studoval Leonhard Euler v roce 1745.

Parametrické rovnice

Napsáním polohy bodu kružnice s poloměrem valení bez klouzání uvnitř kruhu s poloměrem získáme následující parametrickou rovnici: $na$ $3a$

x = 2a \ cos (t) + a \ cos (2t) \,

y = 2a \ sin (t) -a \ sin (2t) \,

Kartézská rovnice má tvar:

(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} +18 (x ^ {2} + y ^ {2}) = 8x ^ {3} -24y ^ {2} x + 27

což ukazuje, že tato křivka je algebraická pro stupeň 4. Má tři singulární body (tři vrcholy) a je rodu nula.

Geometrické vlastnosti

Délka deltového svalu je 16 a . Plocha domény ohraničená deltoidem je . ${\ displaystyle 2 \ pi a ^ {2}}$
Pravítko, jehož dva konce jsou nuceny klouzat po deltoidu, se dotýká deltoidu ve třetím bodě: bod tečnosti popisuje deltoid dvakrát, když jej konce popisují pouze jednou.
Obálka z Simson linií trojúhelníku je trojúhelníkovitá (tzv deltový Steiner , tato věta je kvůli Jakob Steiner ).
Involute deltového svalu má kartézský rovnici

x ^ {3} -x ^ {2} - (3x + 1) y ^ {2} = 0,

Má dvojitý bod v počátku, který lze ověřit provedením imaginární rotace y → iy, která vede k rovnici:

x ^ {3} -x ^ {2} + (3x + 1) y ^ {2} = 0

křivka, která má dvojitý bod na počátku v .

\ mathbb {R} ^ {2}

Louh z deltového svalu, přičemž zdroj světla je v nekonečnu, je astroid , bez ohledu na směr zdroje.

Bibliografie

Jacques Hadamard , O tříhlavém hypocykloidu , Mathematical Gazette, sv. 29 (1945), str. 66-67

Reference

A. Bouvier , M. George, F. Le Lionnais , slovník matematiky , PUF (1979)
(in) Jeffrey A. Boyle, „ Použití válcovacích kruhů ke generování žíravého výsledku a obálek z odraženého světla “ , Amer. Matematika. Měsíčně , sv. 122, n o 5,Květen 2015, str. 452-466 ( číst online )

Podívejte se také