Hypocykloid

Hypocykloidy je transcendentní rovinné křivky , trajektorie z bodu pevné do kruhu , který se odvaluje bez klouzání na jiný kruh s názvem ředitel a uvnitř tohoto jednoho. Jedná se tedy o speciální případ středového cykloidu , což je kategorie cykloidní křivky .

Etymologie a historie

Slovo je rozšířením cykloidu , které vytvořil v roce 1599 Galileo , a má stejnou etymologii: pochází z řeckého hupo (sub), kuklos (kruh, kolo) a eidos (tvar, „podobný“).

Samotnou křivku studovali Albrecht Dürer v roce 1525, Rømer v roce 1674 (který ji pojmenoval) a Daniel Bernoulli v roce 1725.

Matematická definice

Hypocykloid lze definovat pomocí následující parametrické rovnice:

{\ displaystyle x (\ theta) = (Rr) \ cos \ theta + r \ cos \ vlevo ({\ frac {Rr} {r}} \ theta \ vpravo) \, \ qquad (1)}

{\ displaystyle y (\ theta) = (Rr) \ sin \ theta -r \ sin \ left ({\ frac {Rr} {r}} \ theta \ right) \, \ qquad (2)}

kde je poloměr základní kružnice a poloměr kružnice. Pomocí této rovnice lze tedy také napsat: $R \,$ $r \,$ $q = {R \ nad r}$

{\ Displaystyle x (\ theta) = r \ left [(q-1) \ cos \ theta + \ cos ((q-1) \ theta) \ right] \,}

{\ Displaystyle y (\ theta) = r \ left [(q-1) \ sin \ theta - \ sin ((q-1) \ theta) \ right] \,}

Definice v komplexní rovině

Může být užitečné přepnout na složitou notaci a dostaneme následující rovnici: $z = x + iy$

z (\ theta) = (Rr) e ^ {{i \ theta}} + re ^ {{- {\ frac {Rr} {r}} i \ theta}} \,.

Pokud chceme také použít čas t k vyjádření rychlosti, kterou je pohyb popsán, musíme zavést dvě pulzace $\ omega _ {1} = {\ frac {\ theta} {t}} = {\ frac {r} {Rr}} \ omega _ {2} \,.$

Komplexní souřadnice středu malého kruhu je jednoduchá a souřadnice bodu malého kruhu vzhledem k jeho středu . Součet těchto dvou komplexních čísel pak dává komplexní souřadnici bodu na malém kruhu vzhledem ke středu velkého. $(Rr) e ^ {{i \ omega _ {1} t}}$ $re ^ {{- i \ omega _ {2} t}}$

Obecně tedy můžeme definovat hypocykloid podle jeho rovnice v komplexní rovině:

z (t) = r_ {1} e ^ {{i \ omega _ {1} t}} + r_ {2} e ^ {{- i \ omega _ {2} t}} \ qquad

s podmínkou

\ qquad r_ {1} \ omega _ {1} = r_ {2} \ omega _ {2} \ qquad \ qquad (3)

Podmínka skutečně vyjadřuje rovnost délek oblouků malých a velkých kruhů, které prošly v čase t bodem tření, a proto naznačuje, že malý kruh neklouzá ve své rotaci uvnitř velkého kruhu. Proto když bod malého kruhu, to znamená hypocykloidu, přijde do kontaktu s velkým kruhem, jeho rychlost je nulová, což odpovídá hrotu. $r_ {1} \ omega _ {1} t = r_ {2} \ omega _ {2} t$

Nakonec si všimněte, že definici rovnice (3) lze interpretovat geometricky jiným způsobem (vlastnost dvojité generace ) kvůli komutativitě součtu dvou vektorů a že hypocykloid je také součtem „malého kruhového pohybu k který je přidán velký kruhový pohyb v opačném směru . $r_2$ $r_1$

Vlastnosti

Křivka je tvořena izometrickými oblouky (nazývanými oblouky) oddělenými hroty. Pokud je q racionální (a lze jej tedy zapsat q = a / b, kde a a b jsou mezi nimi celá čísla), a představuje počet oblouků křivky. Můžeme také vidět tyto dvě veličiny takto:

a představuje počet otáček klouzavého kruhu potřebný k vrácení pohyblivého bodu zpět do výchozí polohy,
b představuje počet otáček základní kružnice požadovaný pro návrat klouzavého kruhu do výchozího bodu.

Vrcholy jsou získány pro . Délka oblouku je . Pokud je q celé číslo, je celková délka křivky násobkem délky základního kruhu a celková plocha je násobkem délky základního kruhu. $\ theta = {\ frac {2k \ pi} {q}}$ $8 {\ frac {q-1} {q ^ {2}}} R$
${\ displaystyle {4 \ over \ pi} \ left (1- {1 \ over q} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (1- {1 \ over q} \ right) \ left (1- {2 \ over q} \ right)}$

Věta o dvojí generaci dokazuje, že hypocykloid je také pericykloid , to znamená křivka popsaná bodem kruhu o poloměru r + R, který se valí, aniž by klouzal po tomto směrovém kruhu, zatímco jej obsahuje.

Malé oscilace Foucaultova kyvadla také tvoří hypocykloid.

Podívejte se také

Když není pohyblivý bod fixován na válcovací kružnici, ale na vnější nebo vnitřní straně tohoto, hovoří o hypotrochoidu , což je zvláštní případ trochoidu . Pokud křivky připomínají kresby vytvořené spirografem , je třeba poznamenat, že toto zařízení produkuje hypotrochoidy, nikoli hypocykloidy.
Když se mobilní kruh otočí mimo kružnici ředitele, takto nakreslená křivka se nazývá epicykloid .
Pokud R = 2r, je hypocykloid průměrem základní kružnice (viz La Hireova věta a operace Oldhamova kloubu ).
Pokud R = 3r, je hypocykloid deltoid . Obdobné číslo získáme, pokud R = 3/2 x r. V tomto případě je to také obálka průměru válcovacího kruhu.
Pokud R = 4r, hypocykloid je astroid . Obdobné číslo získáme, pokud R = 4/3 x r. V tomto případě je to také obálka segmentu s konstantní délkou R, jejíž konce popisují osy ortonormálního souřadného systému.

Bibliografie

Marcel Berger , Geometry [ detail vydání ]( Svazek 1)
Jean-Denis Eiden, Classical analytical geometry, Calvage & Mounet, 2009, ( ISBN 978-2-91-635208-4 )
Malá encyklopedie matematiky (Ed. Didier)
Moderní metody v geometrii Jean Fresnel

externí odkazy