Duální mnohostěn
V geometrii existuje několik způsobů (geometrický, kombinatorický), jak dát mnohostěn do duality : obejdeme se bez geometrické podpory a definujeme pojem duality v čistě kombinačních pojmech, který se vztahuje i na mnohostěny a abstraktní polytopy. V každém případě je ke všem mnohostěnům přidružen mnohostěn, který se nazývá duál prvního, například:
- duální dvojitý mnohostěn je počáteční mnohostěn,
- tváře jedné jsou v souladu s vrcholy druhé, respektující vlastnosti sousednosti.
Nejjednodušší příklad duality se získá pro pravidelné konvexní mnohostěny spojením středů sousedních ploch (viz § Dualita platónských těles ).
Je také možné použít takzvanou níže uvedenou konstrukci Dorman Luke .
Obecněji je dualita definována uvažováním operace konjugace s ohledem na ohraničenou sféru .
Některé vlastnosti
- Duál konvexního mnohostěnu je také konvexní mnohostěn.
- Mnohostěn a jeho duální mají stejné možné symetrie (s ohledem na rovinu, přímku, bod).
Duální „klasická“ mnohostěna
Dualita platonických pevných látek
 |
|
| Duál krychle je osmistěn. | Duál osmistěnu je krychle. |
 |
|
| Duál dvanáctistěn je dvacetistěn. | Duálem dvacetistěnu je dvanáctistěn. |
| pevné pravidelné konvexní | duální pravidelné konvexní | ||
|---|---|---|---|
| čtyřstěn |
|
čtyřstěn |
|
| krychle |  |
osmistěn |
|
| osmistěn | |
krychle |
|
| dvacetistěnu |  |
pravidelný dvanáctistěn |
|
| pravidelný dvanáctistěn | |
dvacetistěnu |
|
Dualita pevných látek Kepler-Poinsot
Malý dvanáctistěn je duál velkého dvanáctistěn a velký dvanáctistěn je dvojník velkého dvacetistěnu.
(Viz článek Kepler-Poinsot Solid .)
| pevné pravidelné nekonvexní | běžný nekonvexní duální | ||
|---|---|---|---|
| malá hvězda dvanáctistěn |  |
velký dvanáctistěn |
|
| velký hvězdný dvanáctistěn |  |
velký dvacetistěn |
|
Duals of Archimedean pevných látek, hranolů a antiprismů
Duály archimédských pevných látek jsou katalánské pevné látky .
Duály hranolů jsou diamanty (nebo bipyramidy ).
K duals z antiprisms jsou antidiamonds (nebo trapezohedra ).
Duální geodetické mnohostěny
|
nejednotné konvexní těleso , ale všechny jeho vrcholy jsou stejného řádu (3) |
duální konvexní neizohedrální , ale všechny jeho tváře jsou stejného řádu (3) |
||
| voštinová geoda |  |
geode triangulací |
|
Stavba Dormana Luka
Pro jednotný mnohostěn lze tváře dvojitého mnohostěnu najít z vrcholných obrazců původního mnohostěnu pomocí konstrukce takzvaného Dormana Luka .
Jako příklad ukazuje níže uvedená ilustrace vrcholovou (červenou) postavu cuboctahedronu použitého k získání (modré) tváře kosočtverečného dodekahedronu .
Konstrukční detaily Dormana Luka:
- nakreslete vrcholovou hodnotu získanou vyznačením středů A, B, C, D každé hrany vyplývající z uvažovaného vrcholu; - nakreslete kruh ohraničený na mnohoúhelník ABCD ; - nakreslete tečny ke kružnici ohraničené u každého vrcholu A , B , C , D ; - označte body E , F , G , H, kde se každá tečna setkává se sousední tečnou; - polygon EFGH je tváří dvojitého mnohostěnu.V tomto příkladu je kruh ohraničený vrcholnou postavou na intersphere cuboctahedronu, který se také stává intersphere dvojitého kosočtverečného dodekaedru.
Konstrukci Dormana Luka lze použít pouze tehdy, když má mnohostěn takovou intersphere a vrchol je kruhový. Zejména jej lze použít na jednotné mnohostěny .
Podívejte se také
- Polární množina (zobecnění konceptu do euklidovského prostoru)
- Duální polytop
externí odkazy
- Dualita (s animacemi Java) na Procházce ve světě mnohostěnů
- Duální mnohostěn na MathCurve
Poznámky a odkazy
- „ dualita “ na maths.ac-noumea.nc (přístup 19. září 2020 )