Klubová sada

V nastaveném teorii , je část o limitní pořadové číslo se nazývá klub (od anglický uzavřen neomezená ), je-li uzavřen na topologii objednávky a není ohraničena . Kluby jsou v teorii množin důležitými kombinatorickými objekty.

Definice a příklady

Pořadový limit a jeho část . Říkáme, že je součástí klubu , nebo je znovu klubem , nebo je prostě klubem, pokud nejsou nejasnosti, pokud jsou splněny následující dvě podmínky: $\ alfa$ $VS$ $\ alfa$ $VS$ $\ alfa$ $\ alfa$

$VS$ je uzavřeno pro topologii řádu na , tj. pro všechno , pokud , pak . Jinými slovy: pokud se můžeme přiblížit zdola k ordinálu pomocí prvků , pak je v . $\ alfa$ ${\ displaystyle \ beta <\ alpha}$ ${\ displaystyle sup (C \ cap \ beta) = \ beta}$ ${\ displaystyle \ beta \ v C}$ $\beta$ $VS$ $\beta$ $VS$
$VS$ je neomezený, to znamená, že pro všechno existuje něco takového . ${\ displaystyle \ beta <\ alpha}$ ${\ displaystyle \ gamma \ v C}$ ${\ displaystyle \ beta <\ gamma}$

Zde jsou nějaké příklady :

Pokud je normální funkce, to znamená, že spojitá a striktně rostoucí , a pokud není z spočetného ko - konečnost , pak množina pevných bodů ze je klub. ${\ displaystyle f: \ alpha \ rightarrow \ alpha}$ $\ alfa$ $F$
Pokud je to normální funkce, pak je jeho obraz klubový. ${\ displaystyle f: \ alpha \ rightarrow \ alpha}$
$\ alfa$ je limitním kardinálem právě tehdy, je-li set kardinálů přísně menší než je počet klubů . $\ alfa$ $\ alfa$
sada započítatelných limitních ordinálů je klub . $\ omega _ {1}$

Můžeme definovat stejným způsobem jako klub pro třídu obyčejných lidí.

Klubový filtr

Buď ordinální limit spolufinancování nespočetný . Pokud a jestli jde o řadu klubů, pak je možné ukázat, že je to stále klub. $\ alfa$ $\ lambda$ ${\ displaystyle \ beta <\ lambda}$ ${\ displaystyle (C_ {i}) _ {i <\ beta}}$ ${\ displaystyle \ bigcap _ {i <\ beta} C_ {i}}$

Zejména, je-li pravidelný kardinál , pak jsou všechny části, které obsahují klub, filtr -kompletní na neprimární , tzv. Klubový filtr . Tento filtr je také uzavřen diagonálním průsečíkem, to znamená, že pokud jde o řadu holí, pak je diagonální křižovatka stále holí. $\ kappa$ $\ kappa$ $\ kappa$ $\ kappa$ ${\ displaystyle (C_ {i}) _ {i <\ kappa}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {i <\ kappa} C_ {i} = \ {\ beta <\ kappa | \ beta \ in \ bigcap _ {i <\ beta} C_ {i} \}}$

Naopak filtr, na kterém je -kompletní, jiný než hlavní a uzavřený diagonální křižovatkou nutně obsahuje všechny kluby. $\ kappa$ $\ kappa$

Protože klubové sady generují filtr, můžeme neformálně říci, že část, která obsahuje kyjak, je velká část, analogicky s filtrem míry 1 části pravděpodobnostního prostoru . Podobně část obsažená v doplňku klubu je malá část. Část, která není malá , jinými slovy část, jejíž průsečík s každou hůlkou je neprázdný, se nazývá stacionární set (in) .

Zdrojová bibliografie

Jech, Thomas , 2003. Teorie množin: Třetí vydání tisíciletí, revidováno a rozšířeno . Springer. ( ISBN 3-540-44085-2 )
Kenneth Kunen , 2011. Teorie množin . College Publications. ( ISBN 978-1-84890-050-9 )