Funktor

V matematice se functor je zobecnění do kategorií pojmu morfismu .

Definice

Funktor (nebo kovariantní funktor ) F : → od kategorie ke kategorii je v datech $\ mathcal C.$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C.$ $\ mathcal D$

z funkcí, kterou je, aby jakýkoli objekt X o , přidruží objekt F ( X ) z , $\ mathcal C.$ $\ mathcal D$
funkce, která k jakémukoli morfismu f : X → Y z , spojuje morfismus F ( f ): F ( X ) → F ( Y ) z , $\ mathcal C.$ $\ mathcal D$

SZO

respektování identity: pro jakýkoli objekt X ze dne , $\ mathcal C.$ ${\ displaystyle F (\ mathrm {Id} _ {X}) = \ mathrm {Id} _ {F (X)},}$
respektujte složení: pro všechny objekty X , Y a Z a morfismy f : X → Y a g : Y → Z z , $\ mathcal C.$ $F (g \ cirkulační f) = F (g) \ cirkulační F (f).$

Jinými slovy, funktor zachovává domény a codomainy morfismů, identit šipek a složení.

Kontravariantní funktor G z kategorie ke kategorii je kovariantní functor z opačné kategorie op (získaného od obrácením směru šipek v ) v . K libovolnému morfismu f : X → Y z , proto spojuje morfismus G ( f ): G ( Y ) → G ( X ) z , a máme „vztah kompatibility“ G ( g ∘ f ) = G ( f ) ∘ G ( g ). $\ mathcal C.$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C.$ $\ mathcal C.$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C.$ $\ mathcal D$

Příklady

Funktor identity kategorie , často označované 1 nebo id : → , která posílá každý objekt a morfismus na sebe. $\ mathcal C.$ $\ mathcal C.$ $\ mathcal C.$ $\ mathcal C.$ $\ mathcal C.$ $\ mathcal C.$
Zapomenutí funktorů, které posílají objekty z jedné kategorie na objekty z jiné kategorie, „zapomenutím“ určitých vlastností těchto objektů:
- funktor Ab v Grp, který sdružuje samotnou skupinu s abelianskou skupinou , ale v kategorii, která obsahuje také neabelianské skupiny („zapomněli jsme“ na skutečnost, že skupina je abelianská). Také jsme zapomínání functors z GRP v kategorii Mon z monoidů a v tom, že z H-prostor (en) , a Ab v kategorii komutativních monoidy;
- funktor Grp v Setu, který sdružuje jeho podkladovou množinu se skupinou („zapomněli jsme“ na strukturu skupiny).
Pro jakýkoli objekt X části místně malé kategorii , oba funktory Hom : → Set : Y ↦ Hom ( X , Y ) (covariant) a Y ↦ Hom ( Y , X ) (contravariant). $\ mathcal C.$ $\ mathcal C.$
Konstanta functor je funktor, který pošle všechny objekty výchozího kategorie na stejný předmět končící kategorie a který vysílá každou šipku výchozího kategorie se identity objektu obrazu. Je to koncový objekt kategorie funktorů.
Mezi dvěma monoidy (což jsou kategorie jednotlivých objektů ) jsou kovariantní funktory jednoduše morfismy monoidů.
Funktor definovaný z kategorie produktu do kategorie se často nazývá bifunktor . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ krát {\ mathcal {D}}}$ ${\ mathcal E}$

Vlastnosti funktorů

Loajální, plní, plně loajální funkcionáři

Říkáme, že funktor F : → je: $\ mathcal C.$ $\ mathcal D$

věrný, pokud jsou dva morfismy f , g : X → Y in stejné, jakmile jsou jejich obrazy F ( f ), F ( g ): F ( X ) → F ( Y ) in ; $\ mathcal C.$ $\ mathcal D$
plný, pokud jakýkoli morfismus F ( X ) → F ( Y ) se rovná F ( f );
plně věrný, pokud je věrný i plný.

Příklady

Morfismus monoidů (srov. Poslední příklad výše ) je věrný tehdy a jen tehdy, je-li injektivní , a plný, pokud a pouze pokud je surjektivní .
Zapomínající funktory Ab v Grp a Grp in Mon jsou plně věrní.
Funktor zapomínání Grp v Setu je věrný (ale ne plný); obecněji, pokud F je zahrnutí podkategorie do kategorie , pak je věrná. $\ mathcal C.$ $\ mathcal D$

Konzervativní funkce

Triviálně , jakýkoli funktor F : → zachovává izomorfismy , tj. Jestliže f je izomorfismus v, pak F ( f ) je izomorfismus v . $\ mathcal C.$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C.$ $\ mathcal D$

O funktoru F se říká, že je konzervativní, jestliže naopak , morfismus f in je izomorfismus, jakmile F ( f ) je jeden in . $\ mathcal C.$ $\ mathcal D$

Příklady

Morfizmus F z monoidů (viz konec § „příkladů“ výše), je konzervativní tehdy a jen tehdy, pokud některý předchůdce pomocí F o s nezvratné prvku nezvratné.
Každý plně věrný funktor je konzervativní.
Funktor zapomínání od Grp v Setu je konzervativní.

Pomocní úředníci

Nechť a dvě kategorie, F funktor o v a G z oblasti , tak, že pro objekt, a máme bijection , přírodní v X a Y , $\ mathcal C.$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C.$ $\ mathcal D$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C.$ ${\ displaystyle X \ v {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle Y \ v {\ mathcal {D}}}$

{{\ rm {Hom}}} _ {D} \ left (F \ left (X \ right), Y \ right) \ simeq {{\ rm {Hom}}} _ {C} \ left (X, G \ left (Y \ right) \ right).

Pak F je řekl náměstek vlevo G a G zástupce vpravo F .

Ekvivalence kategorie

Funktor F : → se nazývá ekvivalence kategorií, pokud existuje funktor G : → a přirozený izomorfismus funktorů mezi G ∘ F (resp. F ∘ G ) a identitou na (resp. ). Rovnocennost kategorií je obecnějším pojmem než izomorfismus kategorií . $\ mathcal C.$ $\ mathcal D$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C.$ $\ mathcal C.$ $\ mathcal D$

Poznámky

Funktory se někdy nazývají morfismy pro kategorii Cat malých kategorií.

Poznámky a odkazy

(in) Steve Awodey, teorie kategorií - druhé vydání , Oxford Logic Guides, str. 8, Def. 1.2
(in) OF Rydeheard a RM Burstall, teorie výpočetní kategorie , Prentice Hall,1988, str. Kapitola 3, oddíl 3.5, definice 3
(en) Horst Schubert (en) , Kategorie , Springer ,1972( číst online ) , s. 241.

Podívejte se také