Injekce (matematika)

Mapa f se říká, že injective nebo je vstřikování , pokud některý prvek svého příjezdu sady má nejvýše o předchůdce pomocí F , což znamená tím, že dva různé body jejího výchozího souboru nemůže mít stejný obraz o f .

Když se počáteční i koncová množina f rovnají skutečné linii ℝ, je f injektivní právě tehdy, když její graf protíná libovolnou vodorovnou čáru maximálně v jednom bodě.

Pokud je injekční žádost také surjektivní , říká se o bijektivní .

Formální definice

Mapa f  : X → Y je injektivní, pokud pro všechna y ∈ Y existuje nanejvýš jedno x ∈ X takové, že f ( x ) = y , které je zapsáno:

∀X∈X∀X′∈X(F(X)=F(X′)⇒X=X′){\ displaystyle \ forall x \ in X \ quad \ forall x '\ in X \ quad \ left (f (x) = f (x') \ Rightarrow x = x '\ right)}.

Předchozí implikace je ekvivalentní s její kontrapozicí  :

∀X∈X∀X′∈X(X≠X′⇒F(X)≠F(X′)){\ displaystyle \ forall x \ in X \ quad \ forall x '\ in X \ quad \ left (x \ neq x' \ Rightarrow f (x) \ neq f (x ') \ right)}.

Konkrétní příklad

Vezměte například rekreační středisko, kde má být skupina turistů ubytována v hotelu. Každý způsob distribuce těchto turistů v pokojích hotelu může být reprezentován aplikací sady turistů, X , na všechny pokoje, Y (každý turista je spojen s místností).

• Hoteliér chce, aby aplikace byla surjektivní , to znamená, že každý pokoj je obsazený . To je možné pouze v případě, že je alespoň tolik turistů, kolik je pokojů.
• Turisté chtějí, aby aplikace byla injektivní, to znamená, že každý z nich má svůj vlastní pokoj . To je možné pouze v případě, že počet turistů nepřekročí počet pokojů.
• Tato omezení jsou kompatibilní, pouze pokud se počet turistů rovná počtu pokojů. V tomto případě bude možné rozdělit turisty tak, aby na každou místnost připadal pouze jeden a aby byly všechny pokoje obsazené: aplikace bude poté injektivní i surjektivní; řekneme, že je to bijektivní .

Příklady a protiklady

Uvažujme mapu f  : ℝ → ℝ definovanou f ( x ) = 2 x  + 1. Tato mapa je injektivní (a dokonce bijektivní), protože pro všechna libovolná reálná čísla x a x ′ , pokud 2 x  + 1 = 2 x ′  + 1 pak 2 x  = 2 x ′ , to znamená x  =  x ′ .

Na druhé straně je mapa g  : ℝ → ℝ definován g ( x ) = x 2 je ne injective, protože (například), g (1) = 1 = g (-1).

Na druhou stranu, pokud budeme definovat mapy h  : ℝ +  → ℝ podle stejného poměru jako g , ale s souborem definic omezené na množině kladných reálných čísel , pak je mapa h je injective. Jedno vysvětlení je, že pro dané libovolné kladné reálné oblasti x a x ′ , pokud x 2  =  x ′ 2 , pak | x | = | x ′ |, takže x  = x ′ .

Vlastnosti

• Nechť f aplikační X v Y .
  • f je injective (if and) only if X is the empty set or if there there a map g  :  Y  →  X such that g ∘ f is equal to the map identity on X , i.e. právě tehdy, když X je prázdné nebo f je ponecháno invertibilní .
  • f je injektivní, pokud (a pouze pokud) je zjednodušené vlevo , tj. že pro všechna zobrazení g , h  :  Z  →  X , f ∘ g = f ∘ h znamená g  = h . Jinými slovy, injektivní mapy jsou přesně monomorphisms této kategorii souborů .
  • Pro jakoukoli mapu g od Y do Z  :
    1. je-li složená mapa g ∘ f injektivní, pak f je injektivní;
    2. pokud jsou f a g injektivní, pak je g ∘ f injektivní;
    3. je-li f surjektivní a je-li g ∘ f injektivní, pak je g injektivní.
  • Následující čtyři vlastnosti jsou ekvivalentní:
    • f je injekční;
    • jakákoli část A z X je inverzní obraz jejího přímého obrazu  : f −1 ( f ( A )) = A  ;
    • pro všechny části A a B z X , máme f (  ∩  B ) = f ( ) ∩  f ( B );
    • pro jakoukoli část A z X , přímý obraz komplementu z A je součástí komplementu přímého obrazu A , tj. f ( X \ A ) ⊂ Y \ f ( A ).
• Libovolná mapa h  :  Z  →  Y může být rozložena jako h  = f ∘ g pro vhodnou injekci f a surjekci g . Tento rozklad je unikátní kromě jediného izomorfismem a F mohou být zvoleny rovná kanonické vstřikování , z obrazu h ( Z ) z h , do příjezdu množiny Y z h .
• Pokud je f  :  X  →  Y injektivní, pak Y má alespoň tolik prvků jako X , ve smyslu kardinálů .
• Označíme-li E ≤ F vlastnost „existuje injekce množiny E do množiny F  “, pak ≤ je „  předobjednávka  “ (v širším smyslu, tj. Na správné třídě : všech množinách), která vyvolává „  řád  “ u třídy kardinálů. Reflexivita a tranzitivita byly zpracovány v předchozích příkladech, a antisymetrie je předmětem věty Cantor-Bernstein . Skutečnost, že tento řád je celkový , to znamená, že pro dvě množiny E a F máme alespoň jeden ze vztahů E ≤ F nebo F ≤ E , dokazuje Zornovo lemma , c 'je hlavní teorém srovnatelnosti . Tento výsledek je dokonce ekvivalentní axiomu volby .
• Morfismus ze skupiny X na skupinu Y je injective tehdy, pokud je jeho jádro redukuje na dílčí triviální skupiny ve skupině X .

Příběh

Termín „injekce“ vytvořil MacLane v roce 1950, zatímco adjektivum „injekční“ se objevilo o dva roky později, v roce 1952, v Eilenbergově a Steenrodově publikaci Foundations of Algebraic Topology .

Poznámky a odkazy

1. Viz například opravená cvičení kapitoly „Injekce, surjekce, bijekce“ na Wikiversity .
2. (in) Jeff Miller „  Nejstarší známá použití některých slov matematiky (I)  “ .