Schur-konvexní funkce

V matematice, Schurova-konvexní (nebo konvexní ve smyslu Schur) funkce, také nazývaný S-konvexní , izotonický funkce nebo funkce, aby se zachováním je funkce taková, že zachovává vztahy pořadí: pro všechny takové, že $x$ je ohraničen od $y$ , $f$ splňuje $f$ $($ $x$ $) \leq$ $f$ $($ $y$ $)$ . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {d} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

Pojmenované podle Issai Schura , konvexní funkce Schur se používají při studiu majorizace . Jakákoli funkce, která je konvexní a symetrická, je také Schurova konvexní, ale reverzní implikace není vždy pravdivá. Na druhou stranu je jakákoli Schurova konvexní funkce symetrická (s ohledem na permutace jejích argumentů).

Schur-konkávní funkce

O funkci $f$ se říká, že je Schur-konkávní, pokud její protiklad, - $f$ , je Schur-konvexní.

Schur-Ostrowského kritérium

Pokud je $f$ symetrické a má parciální derivace, pak $f$ je Schur-konvexní právě tehdy, když pro všechny 1 ≤ i ≠ j ≤ d a v jakémkoli bodě : $\ mathbb {R} ^ {d}$

{\ displaystyle (x_ {i} -x_ {j}) \ doleva ({\ frac {\ částečné f} {\ částečné x_ {i}}} - {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x_ {j} }} \ vpravo) \ geq 0}

Příklady

${\ displaystyle f (x) = \ min (x)}$ je Schur-konkávní a je Schur-konvexní (to lze rychle odvodit z definice funkcí). ${\ displaystyle f (x) = \ max (x)}$
Shannonova entropická funkce je Schur-konkávní. ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {d} {P_ {i} \ cdot \ log _ {2} {\ frac {1} {P_ {i}}}}}$
Funkce Rényiho entropie je také Schur-konkávní.
Spíše přirozeně jsou všechny funkce konvexní Schur pro $k$ $\geq 1$ . ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {d} {x_ {i} ^ {k}}}$
Funkce je Schur-concave v doméně . Stejně tak jsou elementární symetrické funkce Schur-konkávní . ${\ displaystyle f (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {+}) ^ {d}}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {+}) ^ {d}}$
Přirozená interpretace majorizace spočívá v tom, že pokud je pak $x$ více rozšířeno než $y$ . Je proto přirozené se ptát, zda jsou statistická měřítka variability Schurova konvexní. Rozptyl a směrodatná odchylka jsou oba Schurova-konvexní funkce, ale absolutní hodnota odchylky není. ${\ displaystyle x \ succ y}$
Pokud $g$ je konvexní funkce definovaná ve skutečném intervalu, pak je Schur-konvexní. ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} g (x_ {i})}$
Příklad v pravděpodobnosti: pokud jsou vyměnitelné náhodné proměnné, pak je funkce očekávání Schurova konvexní jako funkce víceindexu za předpokladu, že očekávání existuje. ${\ displaystyle X_ {1}, \ tečky, X_ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ vlevo (\ prod _ {j = 1} ^ {n} X_ {j} ^ {a_ {j}} \ vpravo)}$ ${\ displaystyle a = (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$
Gini koeficient je striktně Schur-konkávní.

Reference

(in) A. Wayne Roberts a Dale E. Varberg , Konvexní funkce , New York, Academic Press ,1973, 299 s. ( ISBN 978-0-08-087372-5 , číst online ) , s. 258.
(in) Josip E. Peajcariaac a Y. L. Tong , Konvexní funkce, Částečné řazení a Statistické aplikace , Academic Press,1992, 467 s. ( ISBN 978-0-08-092522-6 , číst online ) , s. 333.

Podívejte se také

Kvazi-konvexní funkce