Subharmonická funkce

V matematice je subharmonická funkce funkce definovaná v oblasti komplexní roviny a se skutečnými hodnotami splňujícími určité podmínky harmonicity slabší než ty, které splňují harmonické funkce . Jedná se o pojem zavedený v harmonické analýze k řešení základního problému známého jako Dirichletův problém  ; řešení tohoto problému pomocí subharmonických funkcí se nazývá metoda Perrona  (en) .

Definice

Budeme otevřeni . O funkci se říká, že je subharmonická, pokud splňuje následující dvě vlastnosti: Ω{\ displaystyle \ Omega}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}u:Ω→ ]-∞,+∞[{\ displaystyle u: \ Omega \ rightarrow \] - \ infty, + \ infty [}Ω{\ displaystyle \ Omega}

• u{\ displaystyle u} je spojitý.
• u{\ displaystyle u}má vlastnost místního podprůměru  : pro jakýkoli bod můžeme najít takové, že:z0∈Ω{\ displaystyle z_ {0} \ in \ Omega}r0>0{\ displaystyle r_ {0}> 0}u(z0)≤∫02πu(z0+rEit)dt2π{\ displaystyle u (z_ {0}) \ leq \ int _ {0} ^ {2 \ pi} u (z_ {0} + re ^ {it}) {\ frac {dt} {2 \ pi}}}za všechno .r<r0{\ displaystyle r <r_ {0}}

Někdy najdeme jinou definici požadující, aby tato funkce bude semikontinuální superiorly . u{\ displaystyle u}

Některé vlastnosti

Kromě analogie s rovností průměru subharmonické funkce ověřují určitý počet vlastností, které mají být porovnány s vlastnostmi harmonických funkcí:

• princip maxima  : na jakékoliv relativně kompaktní části v , maximálně na adhezi z je dosaženo na okraji  ; a pokud připouští globální maximum , pak je konstantní. Na druhou stranu neexistuje žádný minimální princip.ω{\ displaystyle \ omega} Ω{\ displaystyle \ Omega}u{\ displaystyle u}ω{\ displaystyle \ omega}u{\ displaystyle u}Ω{\ displaystyle \ Omega}
• subharmonické funkce jsou mezi spojitými funkcemi charakterizovány jako ty, které ověřují princip maxima na jakémkoli relativně kompaktním disku v .Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}
• Zajímavou vlastností v kontextu Hardyho prostorů je následující: Pokud je rostoucí konvexní funkce a pokud je subharmonická funkce, pak je subharmonická.φ:R→R{\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}u{\ displaystyle u}φ∘u{\ displaystyle \ varphi \ circ u}

Ústřední teorém pro použití těchto funkcí v harmonické analýze je ten, že když je rodina subharmonických funkcí v doméně stabilní F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}Ω{\ displaystyle \ Omega}

• maximálně (pokud tedy ) au,proti∈F{\ displaystyle u, v \ in {\ mathcal {F}}}max(u,proti)∈F{\ displaystyle \ max (u, v) \ v {\ mathcal {F}}}
• modifikovanou Poisson (v případě, a pokud je relativně kompaktní disk , města , Poisson upraven v , že je funkce , která sleduje na a  : je stále v )u∈F{\ displaystyle u \ in {\ mathcal {F}}}Δ{\ displaystyle \ Delta}Ω{\ displaystyle \ Omega}na{\ displaystyle a}u{\ displaystyle u}Δ{\ displaystyle \ Delta}u~{\ displaystyle {\ tilde {u}}}u~=u{\ displaystyle {\ tilde {u}} = u}Ω-Δ{\ displaystyle \ Omega - \ Delta}Δ{\ displaystyle \ Delta}u~(na+z)=RE(12π∫02πEit+zEit-zu(na+Eit)dt){\ displaystyle {\ tilde {u}} (a + z) = \ mathrm {Re} \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {e ^ {it} + z} {e ^ {it} -z}} u (a + e ^ {it}) \ mathrm {d} t \ vpravo)}F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}

pak je horní mez prvků prvku buď neustále stejná , nebo harmonická funkce . F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}+∞{\ displaystyle + \ infty}Ω{\ displaystyle \ Omega}

Abychom demonstrovali Dirichletův princip , umístíme se na doménu, jejíž hrana je pravidelná, s kontinuální funkcí na jejím okraji, a vezmeme rodinu subharmonických funkcí zvýšenou o na hranici  : terminální nadřízený této rodiny je pak řešením. Ω{\ displaystyle \ Omega}ϕ{\ displaystyle \ phi}F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}Ω{\ displaystyle \ Omega}ϕ{\ displaystyle \ phi}Ω{\ displaystyle \ Omega}