Subharmonická funkce

V matematice je subharmonická funkce funkce definovaná v oblasti komplexní roviny a se skutečnými hodnotami splňujícími určité podmínky harmonicity slabší než ty, které splňují harmonické funkce . Jedná se o pojem zavedený v harmonické analýze k řešení základního problému známého jako Dirichletův problém ; řešení tohoto problému pomocí subharmonických funkcí se nazývá metoda Perrona (en) .

Definice

Budeme otevřeni . O funkci se říká, že je subharmonická, pokud splňuje následující dvě vlastnosti: $\ Omega$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle u: \ Omega \ rightarrow \] - \ infty, + \ infty [}$ $\ Omega$

$u$ je spojitý.
$u$ má vlastnost místního podprůměru : pro jakýkoli bod můžeme najít takové, že: ${\ displaystyle z_ {0} \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle r_ {0}> 0}$ ${\ displaystyle u (z_ {0}) \ leq \ int _ {0} ^ {2 \ pi} u (z_ {0} + re ^ {it}) {\ frac {dt} {2 \ pi}}}$ za všechno . ${\ displaystyle r <r_ {0}}$

Někdy najdeme jinou definici požadující, aby tato funkce bude semikontinuální superiorly . $u$

Některé vlastnosti

Kromě analogie s rovností průměru subharmonické funkce ověřují určitý počet vlastností, které mají být porovnány s vlastnostmi harmonických funkcí:

princip maxima : na jakékoliv relativně kompaktní části v , maximálně na adhezi z je dosaženo na okraji ; a pokud připouští globální maximum , pak je konstantní. Na druhou stranu neexistuje žádný minimální princip. $\ omega$ $\ Omega$ $u$ $\ omega$ $u$ $\ Omega$
subharmonické funkce jsou mezi spojitými funkcemi charakterizovány jako ty, které ověřují princip maxima na jakémkoli relativně kompaktním disku v . $\ Omega$ $\ Omega$
Zajímavou vlastností v kontextu Hardyho prostorů je následující: Pokud je rostoucí konvexní funkce a pokud je subharmonická funkce, pak je subharmonická. ${\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $u$ ${\ displaystyle \ varphi \ circ u}$

Ústřední teorém pro použití těchto funkcí v harmonické analýze je ten, že když je rodina subharmonických funkcí v doméně stabilní ${\ mathcal {F}}$ $\ Omega$

maximálně (pokud tedy ) a ${\ displaystyle u, v \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle \ max (u, v) \ v {\ mathcal {F}}}$
modifikovanou Poisson (v případě, a pokud je relativně kompaktní disk , města , Poisson upraven v , že je funkce , která sleduje na a : je stále v ) ${\ displaystyle u \ in {\ mathcal {F}}}$ $\Delta$ $\ Omega$ $na$ $u$ $\Delta$ ${\ tilda {u}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {u}} = u}$ ${\ displaystyle \ Omega - \ Delta}$ $\Delta$ ${\ displaystyle {\ tilde {u}} (a + z) = \ mathrm {Re} \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {e ^ {it} + z} {e ^ {it} -z}} u (a + e ^ {it}) \ mathrm {d} t \ vpravo)}$ ${\ mathcal {F}}$

pak je horní mez prvků prvku buď neustále stejná , nebo harmonická funkce . ${\ mathcal {F}}$ $+ \ infty$ $\ Omega$

Abychom demonstrovali Dirichletův princip , umístíme se na doménu, jejíž hrana je pravidelná, s kontinuální funkcí na jejím okraji, a vezmeme rodinu subharmonických funkcí zvýšenou o na hranici : terminální nadřízený této rodiny je pak řešením. $\ Omega$ $\ phi$ ${\ mathcal {F}}$ $\ Omega$ $\ phi$ $\ Omega$