Racionální zlomek

V abstraktní algebře je racionální zlomek kvocient dvou formálních polynomů konstruovaných pomocí neurčitého . Jde o vytvoření kvocientu dvou formálních polynomů. Kvocient dvou polynomiálních funkcí , definovaných pomocí proměnné a ne neurčité, se nazývá racionální funkce .

Algebraická konstrukce

Nechť K je komutativní pole (obecně nebo ). Dokazujeme, že množina formálních polynomů s jedním neurčitým s koeficienty v je označen jako integrální kruh . Poté můžeme sestavit jeho pole zlomků , poznamenat : Na množině párů prvků definujeme: $\ mathbb {C}$ $\ mathbb {R}$ ${\ mathbb K}$ ${\ mathbb {K}} [X]$ ${\ mathbb {K}} (X)$ ${\ mathbb {K}} [X] \ krát {\ mathbb {K}} [X] ^ {{*}}$

Vztah rovnocennosti ~ o: (P, Q), ~ (P 'Q'), jestliže a pouze v případě, PQ '= QP';
Přídavek: (P, Q) + (P ', Q') = (PQ '+ QP', QQ ');
Násobení: (P, Q) (P ', Q') = (PP ', QQ').

Sada tříd ekvivalence poskytovaná sčítáním a indukovaným produktem je pak komutativní pole nazývané pole racionálních zlomků. Libovolný pár (P, Q), kde Q není nulovým polynomem, je potom představitelem racionálního zlomku. Mapa, která k jakémukoli polynomu P sdružuje třídu (P, 1), je morfismus injekčního kruhu, do kterého se vrhá . ${\ mathbb {K}} [X]$ ${\ mathbb {K}} (X)$

Neredukovatelná frakce : dvojice (P, Q) taková, že P a Q jsou coprime, se nazývá neredukovatelný zástupce třídy (P, Q) a jakýkoli jiný zástupce (P ', Q') stejné třídy je takový, že tam existuje skalární λ takové, že P '= λP a Q' = λQ. Existuje několik neredukovatelných zástupců stejné třídy, ale pouze jeden neredukovatelný zástupce, ve kterém Q je jednotný polynom: jedná se o jednotkovou neredukovatelnou část představující třídu.

Stupeň zlomku : Pro jakýkoli racionální zlomek F je prvek definovaný stupněm (P) - stupně (Q) (kde (P, Q) je zástupcem F) nezávislý na zástupci F a nazývá se stupeň F. Stupeň zlomku splňuje následující vlastnosti: ${\ mathbb Z} \ cup \ {- \ infty \}$

pro všechny frakce F a F ', stupeň (F + F') ≤ sup (stupeň (F), stupeň (F '));
pro všechny frakce F a F ', stupeň (FF') = stupeň (F) + stupeň (F ').

Kořen a pól : Pokud (P, Q) je neredukovatelný zlomek představující F:

každý kořen P je kořenem F;
jakýkoli kořen Q je pól F.

Případ racionálních zlomků nad množinou skutečností

Pole ℝ ( X ) můžeme obdarovat relačním řádem definovaným vztahem: F ≤ G, pokud máme F ( t ) ≤ G ( t ) pro jakékoli dostatečně velké reálné t . Tento vztah je pak úplný. Navíc je kompatibilní s přidáváním a množením kladnými prvky: ℝ ( X ) má tedy uspořádanou strukturu pole a obsahuje podpole izomorfní s ℝ. Není to Archimedean : ve skutečnosti máme 0 <1 / X <1, ale pro jakékoli přirozené číslo n , n ⋅ (1 / X ) <1.

Obecně řečeno, pózováním | F | = max (- F , F ), řekneme, že F je nekonečně malý ve srovnání s G (označený F ≪ G ), pokud pro každé přirozené číslo n , n ⋅ | F | ≤ | G |.

Stupeň pak poskytuje stupnici nekonečně malého a nekonečně velkého s ohledem na reálné hodnoty: F ≪ G if, a pouze pokud deg ( F ) ≤ deg ( G ).

Sada prvků ℝ ( X ), před nimiž nejsou nenulové reálné hodnoty zanedbatelné, tj. Prvky stupně menšího nebo rovného 0, tvoří dílčí kruh ℝ ( X ).

Jaké jsou rozdíly mezi racionálním zlomkem a racionální funkcí?

K libovolné racionální frakci F můžeme s neredukovatelným zástupcem (P, Q) přiřadit racionální funkci ƒ definovanou pro libovolné x tak, aby Q ( x ) bylo nenulové, o . Toto sdružení však zahrnuje některá rizika: $f: x \ mapsto {\ frac {{\ mathrm {P}} (x)} {{\ mathrm {Q}} (x)}}$

na jedné straně je možné, pokud je pole K konečné, že funkce ƒ není nikdy definována: vezměte například pole ; ${\ mathrm {F}} = {\ frac {1} {{\ mathrm {X}} ^ {2} - {\ mathrm {X}}}}$ ${\ mathbb Z} / 2 {\ mathbb Z}$
za druhé, součet nebo produkt ze dvou frakcí se může provádět pouze na křižovatce sad definice a nepřenáší vlastnosti komponenty: vzít například a pak , , . ${\ displaystyle \ mathrm {F} = \ mathrm {X}}$ ${\ mathrm {G}} = {\ frac {1} {{\ mathrm {X}}}}$ $\ forall x \ in {\ mathbb R}, f (x) = x$ $\ forall x \ in {\ mathbb R} ^ {*}, g (x) = {\ frac 1x}$ $\ forall x \ in {\ mathbb R} ^ {*}, fg (x) = {\ frac xx} = 1$

V případě polí jako nebo však můžeme sestavit izomorfismus mezi množinou racionálních zlomků a množinou racionálních funkcí modulo následující vztah ekvivalence: $\ mathbb {C}$ $\ mathbb {R}$

ƒ ~ g právě tehdy, pokud existuje reálné A takové, že pro všechna x takové, že | x | ≥ A, ƒ ( x ) = g ( x )

To se rovná výběru největšího pokračování kontinuitou racionální funkce.

Racionální zlomek s několika proměnnými

Pokud je K pole, pak množina polynomů v několika neurčitých zůstává integrálním jednotným komutativním prstencem, jehož můžeme také hledat pole zlomků zvané pole racionálních zlomků . $K [X_ {1}, X_ {2}, ... X_ {n}]$ $K (X_ {1}, X_ {2}, ..., X_ {n})$

Poznámky

P a Q jsou coprime, pokud jejich jediným společným dělitelem jsou skaláry.
Polynom Q je jednotný, pokud je koeficient jeho termínu nejvyššího stupně 1.
Kořen P je prvek α z K takový, že P (α) = 0.

Zdroj

André Warusfel , François Moulin, Claude Deschamps, Mathematics 1 st rok: Kurzy a opravené cvičení , Éditions Dunod, 1999 ( ISBN 9782100039319 )

Podívejte se také

Související články