Algebraická skupina

V algebraické geometrii je pojem algebraické skupiny ekvivalentem Lieových skupin v diferenciální nebo komplexní geometrii . Algebraická skupina je algebraická odrůda obdařená zákonem skupiny kompatibilním s její strukturou algebraické odrůdy.

Definice

Algebraická skupina přes (komutativní) pole K je algebraický potrubí přes mun: $G$ $K.$

morfismu K- algebraických odrůd (nazývaných také množení) . Zdrojová odrůda je sama o sobě vláknitým produktem ; ${\ displaystyle \ mu: G \ krát _ {K} G \ až G}$ $G$
z inverzní morfismu ; ${\ displaystyle \ iota: G \ až G}$
z a neutrální prvek patřící do (racionální bod ) $\ epsilon$ ${\ displaystyle G (K)}$ $G$

formální ověření axiomů skupiny. Pokud je redukováno a je-li K algebraicky uzavřeno, stačí, aby tyto morfismy vyvolaly skupinovou strukturu na množině racionálních bodů . $G$ ${\ displaystyle G ({K})}$ $G$

Pro jakékoliv algebraické rozmanitosti X nad K , množina G (X), z K -morphisms z X až G dědí strukturu skupiny. Rychlým způsobem, jak definovat algebraickou skupinu, je pak říci, že jde o algebraickou odrůdu, která představuje funktor kategorie algebraických odrůd nad K v kategorii skupin.

Varování: je poskytováno s topologií Zariski, nikoli s topologií produktu. ${\ displaystyle G \ times _ {K} G}$

Homomorfizmus algebraických skupin nad K je morfismus algebraických variet než K, který je kompatibilní s struktury skupiny: v případě, jsou násobící zákony o G a H v tomto pořadí, a pak . Pokud jde o body, znamená to, že pro jakoukoli K -algebru konečného typu A je mapa indukovaná f skupinovým homomorfismem. Jestliže K je algebraicky uzavřen a pokud G a H jsou sníženy, jen se A = K . ${\ displaystyle f: G \ až H}$ ${\ displaystyle \ mu _ {G}, \ mu _ {H}}$ ${\ displaystyle f \ circ \ mu _ {G} = \ mu _ {H} \ circ (f \ krát f)}$ ${\ displaystyle f (A): G (A) \ až H (A)}$
Izomorfismus algebraických skupin homomorfismem algebraických skupin, které je izomorfismus pro podkladové algebraické odrůd.
Algebraická podskupina F z G je Subvariety G tak, aby měřící je homomorfismem algebraických skupin. Víme, že F je pak uzavřená podvarieta. ${\ displaystyle i: F \ to G}$
Pokud je homomorfismem algebraických skupiny nad K je jádro Ker z f je definována . Prostor pod Ker je , ale struktura podvariety není nutně zmenšena. Snadné ukázat, že Ker je algebraické podskupina G . ${\ displaystyle f: G \ až H}$ $(F)$ ${\ displaystyle G \ times _ {H} \ epsilon _ {H}}$ $(F)$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (\ epsilon _ {H})}$ $(F)$

Příklady

Pokud je konečná skupina, je jedinečná algebraický skupina nad K jako pro jakékoli rozšíření orgánů L / K . Je to konstantní skupina . $\ Gama$ ${\ displaystyle G (L) = \ Gamma}$ $\ Gama$
Aditivní skupiny : podkladové potrubí je afinní ^ 1 K . Pro K algebra konečně A , skupina je identifikována canonically skupiny (aditivní) A . ${\ displaystyle G_ {a}}$ ${\ displaystyle G_ {a} (A)}$
Multiplikativní skupina : podkladové potrubí je afinní řádek ^ 1 přes K zbaven původu. Pro každý K algebra konečných typu A , skupina je canonically identifikována s multiplikativní skupiny z invertible prvků A . ${\ displaystyle G_ {m}}$ ${\ displaystyle G_ {m} (A)}$ $A ^ {*}$
${\ displaystyle GL_ {n, K}}$ , skupina invertibilních matic , je algebraická skupina. Pro libovolnou K -algebru konečného typu A je skupina identifikována s multiplikativní skupinou čtvercových matic řádu n , s koeficienty v A a invertibilní. Když n = 1 , najdeme multiplikativní skupinu . ${\ displaystyle GL_ {n, K} (A)}$ ${\ displaystyle G_ {m}}$
Tyto eliptické křivky jsou algebraické skupiny.
Nechť n je přirozené číslo. Násobení n indukuje homomorfismus algebraických skupin . Pokud n je prvočíslo pro charakteristiku pole K , pak se jádro tohoto homomorfismu redukuje na neutrální prvek. ${\ displaystyle G_ {a} \ až G_ {a}}$
Pokud má K kladnou charakteristiku p , povýšení na mocninu p (nazývanou Frobenius ) v je homomorfismus algebraických skupin. Jeho jádro, jak je uvedeno , je typickým příkladem nehladké algebraické skupiny. Základní algebraická odrůda je Spec (má pouze jeden bod a není redukovaná). ${\ displaystyle G_ {a}}$ $\ alpha _ {p}$ ${\ displaystyle K [T] / (T ^ {p} K [T])}$
Nechť n je přirozené číslo. V multiplikativní skupině navýšení na sílu n indukuje homomorfismus algebraických skupin, jejichž jádro je konečná algebraická skupina, konstantní, pokud základní pole K obsahuje všechny n- té kořeny jednoty. Je rozložena K právě tehdy, když n je připravit k charakteristice K . ${\ displaystyle G_ {m}}$ $\ mu _ {n}$
V algebraické geometrii, je torus T na K je algebraická skupina izomorfní s produktem z algebraické uzavření K . Řekneme, že T je nasazen , pokud je izomorfismus nastaven na K . ${\ displaystyle G_ {m}}$

Obzvláště důležité jsou dvě třídy algebraických skupin. Nejprve jsou abelianské potrubí různé algebraické skupiny, pro které je základní potrubí správné , spojené a hladké. Eliptické křivky jsou příklady abelianských odrůd.

Pak přijdou lineární algebraické skupiny (en) : odpovídají případu, kdy skupina je afinní algebraická odrůda , jinými slovy, kde je lokusem nul rodiny polynomů v . Většina obvyklých podskupin odpovídá lineárním algebraickým skupinám. Například je množina nul v polynomu . Lze ukázat, že lineární algebraické skupiny lze věrně reprezentovat . Stále je tedy lze považovat za podskupiny , což vysvětluje jejich název. ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ tečky, X_ {n}]}$ $GL_n (K)$ ${\ displaystyle SL_ {n} (K)}$ ${\ displaystyle \ det -1}$ ${\ displaystyle GL_ {n, K}}$

Struktura

Struktura odrůd

Geometricky redukovaná algebraická skupina je automaticky hladká. Na poli charakteristiky 0 je jakákoli algebraická skupina hladká (Cartierova věta). Na druhou stranu, pokud má K kladnou charakteristiku p , existují nehladké algebraické skupiny (viz příklad výše). $\ alpha _ {p}$

Rozklad

Pokud G je algebraická skupina nad polem K , můžeme G rozložit následovně.

Existuje otevřený podskupinu o , která se nazývá neutrální složka o a konečnou algebraické skupiny Etale na K , tak, že buď rozšíření o , tj. Máme přesný sled $G ^ {0}$ $G$ $G$ $\ pi _ {0} (G)$ $G$ $\ pi _ {0} (G)$ $G ^ {0}$

${\ displaystyle 1 \ až G ^ {0} \ až G \ až \ pi _ {0} (G) \ až 1.}$

Pokud je K algebraicky uzavřeno, jedná se o konstantní konečnou skupinu. ${\ displaystyle \ pi _ {0} (G)}$

Předpokládejme, že G hladké a K dokonalé (například charakteristika 0). Pak je rozšíření abelianského potrubí o hladkou lineární skupinu L (Chevalleyova věta). $G ^ {0}$
Předpokládejme dále, že G je komutativní. Lineární skupina L je vytvořena z torusu unipotentní skupinou ( tj. Algebraickou skupinou, která je postupným rozšířením ). V charakteristice 0 jsou unipotentní skupiny izomorfní s produktem . ${\ displaystyle G_ {a}}$ ${\ displaystyle G_ {a}}$

Diferenciální formy

Pokud G je hladká algebraická skupina, pak je její tečný svazek konstantní, generovaný tečným prostorem G v počátku . Podle duality je svazek diferenciálních forem na G volný (pamatujte, že na hladkém algebraickém varietě je svazek diferenciálních forem obecně pouze lokálně volný). ${\ displaystyle \ epsilon _ {G}}$

Zobecnění

Zvažte diagram. Skupina schéma na je -schema což představuje funktor z kategorie -schemas v kategorii skupin . $S$ $S$ $S$ ${\ displaystyle G \ to S}$ $S$

Přesněji řečeno, žádáme, aby pro každé -schema byla množinou skupina a aby pro všechno byla kanonická mapa morfismem skupin. $S$ $T$ ${\ displaystyle G (T) = {\ rm {Mor}} _ {S} (T, G)}$ ${\ displaystyle T '\ to T}$ ${\ displaystyle G (T) \ až G (T ')}$
Dalším způsobem, jak definovat skupinová schémata, je říci, že existuje morfismus (multiplikace), automorfismus (zadní strana) a část strukturálního morfismu (neutrální část), které splňují obvyklé axiomy skupiny. ${\ displaystyle G \ times _ {S} G \ to G}$ ${\ displaystyle G \ to G}$ ${\ displaystyle S \ až G}$ ${\ displaystyle G \ to S}$

Pokud je více konečného typu , pak pro všechno je vlákno algebraická skupina nad zbytkovým polem . Lze jej tedy považovat za rodinu algebraických skupin parametrizovaných body . ${\ displaystyle G \ to S}$ $s \ v S.$ ${\ displaystyle G_ {s}}$ ${\ displaystyle k (s)}$ ${\ displaystyle G \ to S}$ $S$

Standardní příklady algebraických skupin , eliptických křivek atd. Lze snadno zobecnit do skupinových schémat na jakémkoli základě . ${\ displaystyle G_ {a}, G_ {m}}$ $S$

Schéma skupina je oddělen na tehdy a jen tehdy, pokud je neutrální úsek je uzavřen . ${\ displaystyle G \ to S}$ $S$ $G$

Související články

Aproximace v algebraických skupinách (in)
Radikál algebraické skupiny (en)
Semi-simple algebraic group (en)