Helicita (dynamika tekutin)

V dynamice kapalin , helicity je míra hnací smyslu, že lokální rotace bude mít na pozemku o tekutiny . Jedná se o veličinu používanou k odvození turbulence kapaliny, která se používá zejména v meteorologii k odhadu tornádního potenciálu . Helicita je veličina zachovaná, pokud se tekutina řídí Navier-Stokesovými rovnicemi pro dokonalou a nestlačitelnou tekutinu .

Obecná definice

Helicita se vypočítá součtem relativního víru (nebo rychlosti otáčení ) na tekutinovém grafu se skalárním součinem místní rychlosti v tekutině:

H=∫PROTI→⋅(∇×PROTI→′)d3R=∫PROTI→⋅ζ→d3R{R=dimEnesiÓnes du protiÓlumEPROTI=PROTIitEssE lÓvs.nalE sElÓne RPROTI′=PROTIitEssE dEs pnartivs.ulEs dnanes lE protiÓlumEζ=tÓurbillÓne rElnatiF{\ displaystyle H = \ int {\ vec {V}} \ cdot \ left (\ nabla \ times {{\ vec {V}} ^ {'}} \ right) \, d ^ {3} {\ mathbf { R}} = \ int {\ vec {V}} \ cdot {\ vec {\ zeta}} \, d ^ {3} {\ mathbf {R}} \ qquad \ qquad {\ begin {cases} R = rozměry \ du \ volume \\ V = Rychlost \ lokální \ podle \ R \\ V ^ {'} = Rychlost \ částic \ v \ objemu \\\ zeta = vír \ relativní \ konec {případů}}}

Rovnice ukazuje, jak se tento objem bude otáčet kolem osy ve směru jízdy, helicita bude kladná, pokud je rotace ve směru hodinových ručiček (při pohledu na to, odkud objem přichází), a záporná, pokud je rotace proti směru hodinových ručiček. Čím více jsou vír a místní rychlost paralelní, tím větší bude H.

Výklad

Pokud vezmeme v úvahu tekutinu, jejíž rychlost se mění při pohybu ve směru R , způsobí to rotační pohyb kolem osy kolmé k ose změny rychlosti. Abychom pochopili proč, stačí si představit lopatkové kolo s vodorovnou osou, umístěné v tekutině pohybující se zleva doprava. Pokud se kapalina dopadající na horní část kola pohybuje větší rychlostí než kapalina dopadající na spodní část, kolo se začne otáčet ve směru hodinových ručiček. To indukuje vír v tekutině, jejíž osa vstupuje na stránku. ζ→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ zeta}}}

Poté uvažujeme nezávislý svazek, který se pohybuje v tomto prostředí na dané úrovni a rychlostí, která se liší od prostředí. Pokud se tento objem se pohybuje ve stejném směru jako na životní prostředí, a jsou kolmé a objem se nezmění směr. PROTI→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {V}}}PROTI→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {V}}}ζ→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ zeta}}}

Na druhou stranu, pokud to udělá úhel s vírem, objem bude muset změnit směr, protože prostředí na této úrovni má jiný směr. Maximální rotace nastane, když je ve stejném směru jako krouživým pohybem (tj. Zadáním stránky do obrázku vpravo). V tomto případě je horní část objemu vystavena větší rychlosti než spodní část, která vytváří rotaci. PROTI→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {V}}}PROTI→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {V}}}

Meteorologie

V meteorologii odpovídá helicita přenosu rotace z prostředí na část konvekčního vzduchu . V tomto případě zjednodušíme definici jednorozměrné helicity za předpokladu, že vír je vodorovný:

H=∫PROTI→h⋅ζ→hdZ=∫PROTI→h⋅∇×PROTIhdz{dz=vs.hnaneGEmEnet d′naltitudEPROTIh=PROTIitEssE hÓrizÓnetnalEζh=tÓurbillÓne rElnatiF hÓrizÓnetnal{\ displaystyle H = \ int {{\ vec {V}} _ {h}} \ cdot {\ vec {\ zeta}} _ {h} \, d {\ mathbf {Z}} = \ int {{\ vec {V}} _ {h}} \ cdot \ nabla \ times V_ {h} \, dz \ qquad \ qquad {\ begin {cases} \, dz = změna \ nadmořské výšky \\ V_ {h} = rychlost \ horizontální \\\ zeta _ {h} = whirlpool \ relativní \ horizontální \ konec {případů}}}

Jak je jen horizontální, = = osa z PROTI→h{\ displaystyle {\ vec {V}} _ {h}}∇×PROTIh{\ displaystyle \ nabla \ krát V_ {h}}k→×(∂PROTI→h∂z)+(∂PROTIh,y∂X-∂PROTIh,X∂y)k→{k→{\ displaystyle {\ vec {k}} \ krát \ doleva ({\ frac {\ částečná {\ vec {V}} _ {h}} {\ částečná z}} \ doprava) + \ doleva ({\ částečná V_ {h, y} \ přes \ částečné x} - {\ částečné V_ {h, x} \ přes \ částečné y} \ pravé) {\ vec {k}} \ qquad \ qquad {\ begin {případy} {\ vec {k}} \ end {cases}}}

Proto H=∫PROTI→h⋅[k→×∂PROTI→h∂z+(∂PROTIh,y∂X-∂PROTIh,X∂y)k→]dz{\ displaystyle H = \ int {\ vec {V}} _ {h} \ cdot \ left [{\ vec {k}} \ times {\ frac {\ částečné {\ vec {V}} _ {h}} {\ částečné z}} + \ doleva ({\ částečné V_ {h, y} \ nad \ částečné x} - {\ částečné V_ {h, x} \ nad \ částečné y} \ doprava) {\ vec {k} } \ vpravo] \, dz}

Druhý člen je nula, protože je kolmý na a proto PROTI→h{\ displaystyle {\ vec {V}} _ {h}}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}

H=∫PROTI→h⋅[k→×∂PROTI→h∂z]dz{\ displaystyle H = \ int {\ vec {V}} _ {h} \ cdot \ left [{\ vec {k}} \ times {\ frac {\ částečné {\ vec {V}} _ {h}} {\ částečné z}} \ doprava] \, dz}

Výše uvedený výraz je smíšený produkt, a proto můžeme napsat, že:

H=-∫k→⋅[PROTI→h×(∂PROTI→h∂z)]dz{\ displaystyle H = - \ int {\ vec {k}} \ cdot \ left [{\ vec {V}} _ {h} \ times \ left ({\ frac {\ částečné {\ vec {V}} _ {h}} {\ částečné z}} \ doprava) \ doprava] \, dz}

Výpočet

Můžeme vidět pojmy této rovnice jako změnu směru, kterou na pozemek přivádí prostředí. V této formulaci: PROTIh{\ displaystyle \ textstyle V_ {h}}

1. Pokud horizontální vítr nemění směr s nadmořskou výškou, H je nula, protože a jsou rovnoběžné, a proto je jejich součin nulový.PROTI→h{\ displaystyle {\ vec {V}} _ {h}}∂PROTI→h/∂z{\ displaystyle \ textstyle {\ částečné {\ vec {V}} _ {h} / \ částečné z}}
2. Je zřejmé, že H je kladné, pokud se otáčí ve směru hodinových ručiček s nadmořskou výškou a záporné v opačném případě.PROTIh{\ displaystyle V_ {h}}

Rychlý způsob, jak vizualizovat helicitu, je vykreslit větry s nadmořskou výškou na hodografu , jako na pravé straně, kde vzdálenost do středu představuje rychlost větru a úhel jeho směru. Helicita se rovná dvojnásobku povrchu podřízeného přímkou, která spojuje směr větru ve vrstvě dané nadmořské výšky (obvykle pod 3 km nadmořské výšky). Mezi dvěma odlišnými úrovněmi nadmořské výšky je trojúhelníková plocha hodografu rovna polovině , protože norma křížového součinu se rovná ploše rovnoběžníku podřízené těmito dvěma vektory. ||PROTI→h×(∂PROTI→h/∂z)||{\ displaystyle || \ textstyle {\ vec {V}} _ {h} \ krát \ doleva ({\ částečné {\ vec {V}} _ {h}} / {\ částečné z} \ pravé) ||}

Vzhledem k tomu, že data na hodografu nejsou spojitá, ale spíše hodnoty ve předem určených výškách, vypočítaná helicita je tedy spíše aproximací než . Pokud větry mění směr s nadmořskou výškou, jako v grafu, máme nenulovou helicitu. Na druhou stranu, pokud jsou všechny větry ve stejném směru, skončíme přímkou, a tedy nulovou plochou. ΔPROTI/Δz{\ displaystyle \ textstyle \ Delta V / \ Delta z}∂PROTI→h/∂z{\ displaystyle {\ částečné {\ vec {V}} _ {h}} / {\ částečné z}}

Přesnějším způsobem v případě bouřky je použití plochy vypočtené větrem vzhledem k bouřce, tj. Rychlost nad zemí minus rychlost, jakou se bouře pohybuje.

Fyzická interpretace

Helicita má tedy jednotky energie ( ), které lze interpretovat jako míru energie střihu větru, včetně jejich změny směru. Vzduch, který proudí rovnoběžně se zemí směrem k bouřce a který je vystaven takovému střihu, se začne otáčet. Tah vzhůru v bouřce změní osu otáčení pro vertikální, které verticalizes otáčení a vytváří mezocyklóna . Helicita je tedy měřítkem rotace vzduchu v nízkých úrovních atmosféry, kterou může bouře přeměnit na vertikální rotaci. m2/s2{\ displaystyle {m ^ {2}} / {s ^ {2}}}

• Střih větru (červené šipky) s nadmořskou výškou vytváří horizontální rotaci (zelená). Příchozí proud je reprezentován velkou červenou šipkou.

• Tah vzhůru (modrá) verticalizes otáčení (zelená)

• Stoupavý proud se mísí s rotací

Relativní helicita

Helicita se tedy používá k definování indexů tornádového potenciálu. V tomto případě se však musíme umístit do referenčního rámce bouře odečtením rychlosti této od země. Rovněž omezíme Z ve vrstvě mezi základnou mraku a jeho středem, protože právě v této části bude generována rotace (obvykle do 3 km nadmořské výšky):

HR=-∫03kmk→⋅[(PROTI→h-VS→)×(∂PROTI→h∂z)]dz{\ displaystyle HR = - \ int \ limity _ {0} ^ {3km} {{\ vec {k}} \ cdot \ left [\ left ({\ vec {V}} _ {h} - {\ vec { C}} \ vpravo) \ krát \ doleva ({\ frac {\ částečné {\ vec {V}} _ {h}} {\ částečné z}} \ pravé) \ pravé] \ pravé, \ dz}}

Kde = rychlost pohybu bouře.VS→{\ displaystyle {\ vec {C}}}

Kritické hodnoty této relativní helicity (HR nazývané v angličtině SRH ) zjištěné pro silné bouřky v Severní Americe jsou:

HR = 150 až 299	možné supercely s rizikem slabých tornád podle stupnice Fujita
HR = 300 až 499	velmi příznivé pro vývoj supercellů a silných tornád
HR> 450	násilná tornáda

Poznámka: Při výpočtu s helicitou pod 1 km je jediná prahová hodnota 100.

Index helicity

Tyto výsledky jsou však velmi variabilní v závislosti na typu atmosférické konvekce, a proto byl vyvinut index kombinující helicitu a dostupnou potenciální energii konvekce (EPCD). V zásadě vynásobíte H EPCD a vydělíte jej prahovou hodnotou z EPCD. Je definován:

EHJá=EPVSD×HR160 000{\ displaystyle EHI = {EPCD \ krát HR \ přes 160000}}

• EPCD (CAPE) je potenciální dostupná konvekční energie (v J / kg);
• HR je relativní helicita (SRH v angličtině) v m² / s².

To eliminuje oblasti silných horizontálních vírů, ale nízký potenciál konvekce. Tento index helicity (HI nebo EHI ) má následující prahové hodnoty:

IH = 1	Supercell formace se slabými tornády
IH = 1 až 5	Tornáda střední intenzity až EF2-EF3
IH> 5	Silná tornáda EF4, EF5

Poznámky a odkazy

1. (in) Martin Rowley (bývalý meteorolog UKMET )), „  Co je to helicita?  » , Weatherfaqs.org.uk,17. ledna 2007(zpřístupněno 21. května 2012 )
2. Kanadské meteorologické centrum , „  Indexy stability  “ , školení meteorologů , MSC (přístup k 21. květnu 2012 )
3. (in) „  Helicity and Vorticity: Explanations and Tutorial  “ , kurzy geověd na State University v San Francisku (zpřístupněno 21. května 2012 )
4. (in) Kelvin K. Droegemeier, Steven M. Lazarus a Robert Davies-Jones, „  The Influence of Helicity We Numerically Simulated Convective Storms  “ , Měsíční předpověď počasí , roč.  121, n o  7,1993, str.  2005-2029 ( DOI  10.1175 / 1520-0493 (1993) 121 <2005: TIOHON> 2.0.CO; 2 , číst online [PDF] )
5. (in) Morris L. Weisman a Richard Rotunno, „  The Use of Vertical Wind Shear versus Helicity in Interpreting Supercell Dynamics  “ , Journal of the Atmospheric Sciences , sv.  59, n o  9,2000, str.  1452-1472 ( DOI  10.1175 / 1520-0469 (2000) 057 <1452: TUOVWS> 2.0.CO; 2 , číst online [PDF] )
6. (in) Charles A. Doswell III, „  O prostředích tornádních a netornadických mezocyklonů  “ Počasí a předpovědi , Americká meteorologická společnost , sv.  9,Prosince 1994, str.  606–618 ( DOI  10.1175 / 1520-0434 (1994) 009 <0606: OTEOTA> 2.0.CO; 2 , číst online )[PDF]
7. (in) Storm Prediction Center , „  Vysvětlení SPC parametrů nepříznivého počasí  “ , Národní meteorologická služba (přístup k 24. dubnu 2009 )
8. (in) Storm Prediction Center , „  Energy-Helicity Index  “ , National Weather Service (přístup k 21. května 2012 )
9. (in) Jeff Haby, „  Skew-T: A look at HIE  “ (přístup 26. srpna 2019 )

Bibliografie

• (en) G. Arfken , Mathematical Methods for Physicists , Orlando, FL., Academic Press ,1985, 3 e  ed. ( ISBN  0-12-059820-5 ).
• (en) GK Batchelor , An Introduction to Fluid Dynamics , CUP ,1967( dotisk  2000).
• (en) Alexandre J. Chorin , Vorticity and Turbulence , sv.  103, Springer-Verlag, kol.  "Applied Mathematical Sciences",1994( ISBN  0-387-94197-5 ).
• (en) Andrew J. Majda , Andrea L. Bertozzi a DG Crighton , Vorticity and Incompressible Flow , CUP,2001, 1 st  ed. ( ISBN  0-521-63948-4 ).
• (en) K. Ohkitani , Elementary Account of Vorticity and Related Equations , CUP,2005( ISBN  0-521-81984-9 ).
• (en) DJ Tritton , Physical Fluid Dynamics , New York, Van Nostrand Reinhold,1977( ISBN  0-19-854493-6 ).