Navier-Stokesovy rovnice

1r2∂∂r(r2PROTIr)+1rhřích⁡θ∂PROTIϕ∂ϕ+1rhřích⁡θ∂∂θ(hřích⁡θPROTIθ)=0∂PROTIr∂t+PROTIr∂PROTIr∂r+PROTIϕrhřích⁡θ∂PROTIr∂ϕ+PROTIθr∂PROTIr∂θ-PROTIϕ2+PROTIθ2r=-1ρ∂p∂r+Fr+ν[1r2∂∂r(r2∂PROTIr∂r)+1r2hřích2⁡θ∂2PROTIr∂ϕ2+1r2hřích⁡θ∂∂θ(hřích⁡θ∂PROTIr∂θ)-2r2(PROTIr+∂PROTIθ∂θ+PROTIθopálení⁡θ)-2r2hřích⁡θ∂PROTIϕ∂ϕ]∂PROTIθ∂t+PROTIr∂PROTIθ∂r+PROTIϕrhřích⁡θ∂PROTIθ∂ϕ+PROTIθr∂PROTIθ∂θ+PROTIrPROTIθ-PROTIϕ2náklady⁡θr=-1ρr∂p∂θ+Fθ+ν[1r2∂∂r(r2∂PROTIθ∂r)+1r2hřích2⁡θ∂2PROTIθ∂ϕ2+1r2hřích⁡θ∂∂θ(hřích⁡θ∂PROTIθ∂θ)+2r2∂PROTIr∂θ-1r2hřích2⁡θ(PROTIθ+2cos⁡θ∂PROTIϕ∂ϕ)]∂PROTIϕ∂t+PROTIr∂PROTIϕ∂r+PROTIϕrhřích⁡θ∂PROTIϕ∂ϕ+PROTIθr∂PROTIϕ∂θ+PROTIurPROTIϕ+PROTIϕPROTIθnáklady⁡θr=-1ρrhřích⁡θ∂p∂ϕ+Fϕ+ν[1r2∂∂r(r2∂PROTIϕ∂r)+1r2hřích2⁡θ∂2PROTIϕ∂ϕ2+1r2hřích⁡θ∂∂θ(hřích⁡θ∂PROTIϕ∂θ)+1r2hřích2⁡θ(2hřích⁡θ∂PROTIr∂ϕ+2cos⁡θ∂PROTIθ∂ϕ-PROTIϕ)]{\ displaystyle {\ begin {pole} {rcl} {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné r}} \ vlevo (r ^ {2} V_ {r } \ right) + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečný V _ {\ phi}} {\ částečný \ phi}} + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta}} \ vlevo (\ sin \ theta \, V _ {\ theta} \ vpravo) & = & 0 \\ [0,5em] {\ frac { \ částečné V_ {r}} {\ částečné t}} + V_ {r} {\ frac {\ částečné V_ {r}} {\ částečné r}} + {\ frac {V _ {\ phi}} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečný V_ {r}} {\ částečný \ phi}} + {\ frac {V _ {\ theta}} {r}} {\ frac {\ částečný V_ {r}} {\ partial \ theta}} - {\ frac {V _ {\ phi} ^ {2} + V _ {\ theta} ^ {2}} {r}} & = & - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ částečné p} {\ částečné r}} + f_ {r} + \ nu \ vlevo [{\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné} { \ částečné r}} \ levé (r ^ {2} {\ frac {\ částečné V_ {r}} {\ částečné r}} \ pravé) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ { 2} \ theta}} {\ frac {\ částečné ^ {2} V_ {r}} {\ částečné \ phi ^ {2}}} \ vpravo. \\ [0,5em] && \ vlevo. + {\ Frac { 1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta}} \ vlevo (\ sin \ theta {\ frac {\ částečné V_ {r}} {\ částečné \ theta}} \ vpravo) - {\ frac {2} {r ^ {2}}} \ vlevo (V_ {r } + {\ frac {\ částečná V _ {\ theta}} {\ částečná \ theta}} + {\ frac {V _ {\ theta}} {\ tan \ theta}} \ vpravo) - {\ frac {2 } {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečný V _ {\ phi}} {\ částečný \ phi}} \ pravý] \\ [0,5em] {\ frac {\ částečný V _ {\ theta}} {\ částečné t}} + V_ {r} {\ frac {\ částečné V _ {\ theta}} {\ částečné r}} + {\ frac {V _ {\ phi}} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečný V _ {\ theta}} {\ částečný \ phi}} + {\ frac {V _ {\ theta}} {r}} {\ frac {\ částečný V _ { \ theta}} {\ částečná \ theta}} + {\ frac {V_ {r} V _ {\ theta} -V _ {\ phi} ^ {2} \ cot \ theta} {r}} & = & - {\ frac {1} {\ rho r}} {\ frac {\ částečné p} {\ částečné \ theta}} + f _ {\ theta} + \ nu \ left [{\ frac {1} {r ^ { 2}}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné r}} \ vlevo (r ^ {2} {\ frac {\ částečné V _ {\ theta}} {\ částečné r}} \ pravé) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ částečné ^ {2} V _ {\ theta}} {\ částečné \ phi ^ {2}}} \ vpravo . \\ [0.5em] && \ left. + {\ Frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečný} {\ částečný \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ částečné V _ {\ theta}} {\ částečné \ theta}} \ pravé) + {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné V_ {r}} {\ partial \ theta}} - {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ vlevo (V _ {\ theta} +2 \ cos \ theta \, {\ frac {\ částečný V _ {\ phi}} { \ částečné \ phi}} \ pravé) \ pravé] \\ [0,5em] {\ frac {\ částečné V _ {\ phi}} {\ částečné t}} + V_ {r} {\ frac {\ částečné V _ {\ phi}} {\ částečné r}} + {\ frac {V _ {\ phi}} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečné V _ {\ phi}} {\ částečné \ phi} } + {\ frac {V _ {\ theta}} {r}} {\ frac {\ částečné V _ {\ phi}} {\ částečné \ theta}} + {\ frac {Vu_ {r} V _ {\ phi} + V _ {\ phi} V_ {\ theta} \ cot \ theta} {r}} & = & - {\ frac {1} {\ rho r \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečný p } {\ částečné \ phi}} + f_ {\ phi} + \ nu \ vlevo [{\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné r}} \ vlevo ( r ^ {2} {\ frac {\ částečné V _ {\ phi}} {\ částečné r}} \ pravé) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ částečné ^ {2} V_ {\ phi}} {\ částečné \ phi ^ {2}}} \ pravé. \\ [0,5em] && \ levé. + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta}} \ vlevo (\ sin \ theta {\ frac {\ částečné V _ {\ phi}} {\ částečné \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ left (2 \ sin \ theta {\ frac {\ částečné V_ {r}} {\ částečné \ phi }} + 2 \ cos \ theta \, {\ frac {\ částečné V _ {\ theta}} {\ částečné \ phi}} - V _ {\ phi} \ right) \ right] \ end {pole}}}

Tyto rovnice můžeme dále zjednodušit:

• zanedbáním setrvačného členu , který vede ke Stokesově rovnici ,∇→⋅(PROTI→PROTI→){\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ vec {V}} {\ vec {V}} \ right)}
• zjednodušit tohle, což vede ke Stokes-Oseenovým rovnicím .

Výraz pro tlak lze získat zohledněním divergence rovnice hybnosti a zohledněním vztahu nestlačitelnosti:

∇2p=-ρ∇⋅[∇⋅(PROTI→PROTI→)]+ρ∇⋅G→{\ displaystyle \ nabla ^ {2} p = - \ rho \, \ nabla \ cdot [\ nabla \ cdot ({\ vec {V}} {\ vec {V}})] + \ rho \, \ nabla \ cdot {\ vec {g}}}

Irrotační toky

Definujeme vektor víru pomocí:

Ω→=∇→×PROTI→⟺Ω→=12∇→∧PROTI→{\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} = {\ vec {\ nabla}} \ krát {\ vec {V}} \ Longleftrightarrow {\ vec {\ Omega}} = {\ frac {1} {2}} {\ vec {\ nabla}} \ klín {\ vec {V}}}

Kde označuje rychlost otáčení. ∇→∧PROTI→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ klín {\ vec {V}}}

Můžeme pro tuto veličinu vytvořit ochrannou rovnici, je to Helmholtzova rovnice .

Z následujících vektorových identit

(PROTI→⋅∇→)PROTI→=(∇→×PROTI→)×PROTI→+∇→PROTIPROTI→∇→×(∇→×PROTI→)=∇→(∇→⋅PROTI→)-∇→2PROTI→{\ displaystyle {\ begin {pole} {rcl} ({\ vec {V}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {V}} & = & ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {V}}) \ times {\ vec {V}} + {\ vec {\ nabla}} V \, {\ vec {V}} \\ [0,5 em] {\ vec {\ nabla }} \ times ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {V}}) & = & {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {V }}) - {\ vec {\ nabla}} ^ {2} {\ vec {V}} \ end {pole}}}

a pomocí rovnice kontinuity můžeme napsat rovnici hybnosti v následující podobě:

ρ(∂PROTI→∂t+Ω×PROTI→+∇→PROTIPROTI→)=-∇→p+ρG→+μ(43PROTI→⋅∇→PROTI→-∇→×Ω→){\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ částečné {\ vec {V}}} {\ částečné t}} + \ Omega \ krát {\ vec {V}} + {\ vec {\ nabla}} V \, {\ vec {V}} \ doprava) = - {\ vec {\ nabla}} p + \ rho \, {\ vec {g}} + \ mu \ doleva ({\ frac {4} {3} } \, {\ vec {V}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} {\ vec {V}} - {\ vec {\ nabla}} \ krát {\ vec {\ Omega}} \ doprava)}

Předpokládejme, že vektor víru je nula, pak:

ρ(∂PROTI∂t+∇PROTIPROTI)=-∇p+ρG+43μPROTI⋅∇PROTI{\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ částečné \ mathbf {V}} {\ částečné t}} + \ mathbf {\ nabla} V \, \ mathbf {V} \ vpravo) = - \ mathbf {\ nabla} p + \ rho \, \ mathbf {g} + {\ frac {4} {3}} \, \ mu \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} \ mathbf {V}}

Vzhledem k tomu, rychlost V je irrotational pole , lze usoudit, že to pochází od potenciálu, který jeden poznámky cp  :

PROTI=∇ψ{\ displaystyle \ mathbf {V} = \ mathbf {\ nabla} \ psi}

Zejména v nestlačitelném případě, pokud někdo obrací tento výraz v rovnici nestlačitelnosti, lze vidět, že potenciál se řídí Laplaceovou rovnicí  :

∇2ψ=0{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} ^ {2} \ psi = 0}

Pokud je navíc tekutina homogenní a že síla g pochází z potenciálu, pak se vlastnost irrotacity automaticky šíří v čase díky rovnici ověřené rychlostí.

Tyto potenciální toky se týkají nízkorychlostních a nízkoviskózních toků: například lodní plachta nebo křídlo kluzáku.

Dimenzionální analýza

Bezrozměrné rovnice

Navier-Stokesovy rovnice zahrnují 9 veličin ρ , V , p , e , T , μ , λ , g , q R a 4 dimenze: čas, prostor, hmotnost, teplota. Vaschy-Buckingham věta tedy ukazuje na existenci 5 adimensional proměnných umožňující analýzu systému. Těmito proměnnými jsou například počty Mach , Reynolds , Prandtl , Froude a Goulard . Existují i ​​jiné proměnné, jako jsou Knudsen , Strouhal , Péclet nebo mnoho dalších , ale nejsou nezávislé. Například čísla Mach, Reynolds a Knudsen spolu souvisí , stejně jako čísla Péclet, Prandtl a Reynolds . Pro zápis těchto čísel je nutné definovat referenční veličiny, které jsou charakteristické pro studovaný problém. Pojďme definovat následující proměnné, které slouží jako reference:

• délka L * , například velikost otevřené domény v problému porézního média nebo mikrofluidiky nebo poloměr zakřivení stěny v aerodynamice,
• rychlost V * , hustota ρ * a teplota T * , například hodnoty proti proudu (okrajová podmínka), ze kterých se odvodí tlak ,p∗=ρ∗RMT∗{\ displaystyle p ^ {*} = \ rho ^ {*} {\ frac {R} {M}} T ^ {*}}
• druhá rychlost a * pro šíření zvukových vln, například pro ideální plyn,na∗=y∗RMT∗{\ displaystyle a ^ {*} = {\ sqrt {\ gamma ^ {*} {\ frac {R} {M}} T ^ {*}}}}
• vnitřní energie e * , například pro ideální plyn,E∗=p∗(y∗-1)ρ∗=na∗2y∗(y∗-1){\ displaystyle e ^ {*} = {\ frac {p ^ {*}} {(\ gamma ^ {*} - 1) \ rho ^ {*}}} = {\ frac {{a ^ {*}} ^ {2}} {\ gamma ^ {*} (\ gamma ^ {*} - 1)}}}
• μ * viskozita a λ * vodivost případně spojená s μ * (viz transportní vlastnosti),
• zrychlení g * ,
• radiační tok q R * .

Poté můžeme pro tento problém definovat následující redukované proměnné:

- prostor	X~=XL∗{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {x}}} = {\ frac {\ mathbf {x}} {L ^ {*}}}}			- čas	t~=PROTI∗L∗t{\ displaystyle {\ tilde {t}} = {\ frac {V ^ {*}} {L ^ {*}}} \, t}		- Objemová hmotnost	ρ~=ρρ∗{\ displaystyle {\ tilde {\ rho}} = {\ frac {\ rho} {\ rho ^ {*}}}}		- tlak	p~=pρ∗na∗2{\ displaystyle {\ tilde {p}} = {\ frac {p} {\ rho ^ {*} {a ^ {*}} ^ {2}}}}
- viskozita	μ~=μμ∗{\ displaystyle {\ tilde {\ mu}} = {\ frac {\ mu} {\ mu ^ {*}}}}			- vnitřní energie	E~=EE∗{\ displaystyle {\ tilde {e}} = {\ frac {e} {e ^ {*}}}}		- radiační tok	q~R=qRqR∗{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {q}}} _ {R} = {\ frac {\ mathbf {q} _ {R}} {q_ {R} ^ {*}}}}		- vodivost	λ~=λλ∗{\ displaystyle {\ tilde {\ lambda}} = {\ frac {\ lambda} {\ lambda ^ {*}}}}

a bezrozměrné proměnné:

- Machovo číslo	Mna=PROTI∗na∗{\ displaystyle {\ mathcal {M}} a = {\ frac {V ^ {*}} {a ^ {*}}}}
- Reynoldsovo číslo	RE=ρ∗PROTI∗L∗μ∗{\ displaystyle {\ mathcal {R}} e = {\ frac {\ rho ^ {*} V ^ {*} L ^ {*}} {\ mu ^ {*}}}}
- počet Prandtl	Pr=μ∗VSP∗λ∗{\ displaystyle {\ mathcal {P}} r = {\ frac {\ mu ^ {*} C_ {P} ^ {*}} {\ lambda ^ {*}}}}
- číslo Froude	Fr=PROTI∗2G∗L∗{\ displaystyle {\ mathcal {F}} r = {\ frac {{V ^ {*}} ^ {2}} {g ^ {*} L ^ {*}}}}
- číslo Goularda	G=2qR∗ρ∗PROTI∗3{\ displaystyle {\ mathcal {G}} = {\ frac {2q_ {R} ^ {*}} {\ rho ^ {*} {V ^ {*}} ^ {3}}}}

Systém rovnic se sníženou hodnotou je napsán:

• hromadná ochrana

∂ρ~∂t~+∇X~⋅(ρ~PROTI~)=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné {\ tilde {\ rho}}} {\ částečné {\ tilde {t}}}} + \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \ cdot ({\ tilda {\ rho}} \, {\ tilde {\ mathbf {V}}}) = 0}

∇X~=L∗∇{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} = L ^ {*} \ mathbf {\ nabla}}

• zachování hybnosti

∂∂t~(ρ~PROTI~)+∇X~⋅(ρ~PROTI~PROTI~)=-1y∗Mna2∇X~p~+1RE∇X~⋅Σ~+1Frρ~G~{\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné {\ tilde {t}}}} ({\ tilde {\ rho}} {\ tilde {\ mathbf {V}}}) + \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \ cdot ({\ tilde {\ rho}} \, {\ tilde {\ mathbf {V}}} {\ tilde {\ mathbf {V}}}) = - {\ frac { 1} {\ gamma ^ {*} {\ mathcal {M}} a ^ {2}}} \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \, {\ tilde {p}} + {\ frac {1} {{\ mathcal {R}} e}} \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \ cdot {\ tilde {\ mathsf {\ Sigma}}} + {\ frac {1} { {\ mathcal {F}} r}} \, {\ tilde {\ rho}} \, {\ tilde {\ mathbf {g}}}}

Σ~=μ~[∇X~PROTI~+(∇X~PROTI~)T-23(∇X~⋅PROTI~)Já]{\ displaystyle {\ tilde {\ mathsf {\ Sigma}}} = {\ tilde {\ mu}} \ left [\ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} {\ tilde {\ mathbf {V} }} + (\ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} {\ tilde {\ mathbf {V}}}) ^ {T} - {\ frac {2} {3}} (\ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \ cdot {\ tilde {\ mathbf {V}}}) \, {\ mathsf {I}} \ vpravo]}

• úspora energie

∂(ρ~E~)∂t~+∇X~⋅[(ρ~E~+p~)PROTI~]=Mna2RE∇X~⋅(Σ~⋅PROTI~)+Mna2Frρ~G~⋅PROTI~-1(y∗-1)REPr∇X~⋅(λ~∇~X~T~)+12GMna2∇X~⋅q~R{\ displaystyle {\ frac {\ částečné ({\ tilde {\ rho}} {\ tilde {E}})} {\ částečné {\ tilde {t}}}} + \ nabla _ {\ tilde {x}} \ cdot \ left [\ left ({\ tilde {\ rho}} {\ tilde {E}} + {\ tilde {p}} \ right) {\ tilde {\ mathbf {V}}} \ right] = { \ frac {{\ mathcal {M}} a ^ {2}} {{\ mathcal {R}} e}} \ nabla _ {\ tilde {x}} \ cdot ({\ tilde {\ Sigma}} \ cdot {\ tilde {\ mathbf {V}}}) \, + \, {\ frac {{\ mathcal {M}} a ^ {2}} {{\ mathcal {F}} r}} \, {\ tilde {\ rho}} \, {\ tilde {\ mathbf {g}}} \ cdot {\ tilde {\ mathbf {V}}} \, - \, {\ frac {1} {(\ gamma ^ {*} -1) {\ mathcal {R}} e \, {\ mathcal {P}} r}} \ nabla _ {\ tilde {x}} \ cdot ({\ tilde {\ lambda}} \, {\ tilde { \ nabla}} _ {\ tilde {x}} \, {\ tilde {T}}) \, + \, {\ frac {1} {2}} {\ mathcal {G}} {\ mathcal {M} } a ^ {2} \ nabla _ {\ tilde {x}} \ cdot {\ tilde {\ mathbf {q}}} _ {R}}

E~=E∗na∗2E~+Mna2PROTI~22{\ displaystyle {\ tilde {E}} = {\ frac {e ^ {*}} {{a ^ {*}} ^ {2}}} \, {\ tilde {e}} + {\ mathcal {M }} a ^ {2} {\ frac {{\ tilde {V}} ^ {2}} {2}}}

E∗na∗2=1y∗(y∗-1){\ displaystyle {\ frac {e ^ {*}} {{a ^ {*}} ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ gamma ^ {*} (\ gamma ^ {*} - 1 )}}}

Tento přístup lze použít pro analýzu rovnic a provádění experimentů považovaných za realistické, protože respektují kritérium analogie z hlediska bezrozměrných čísel. Můžeme jít dále pomocí techniky matematické fyziky zvané asymptotická analýza , formalizované Davidem Hilbertem . V této metodě vyvíjíme řešení v sérii „malého parametru“ a analyzujeme aproximace různých řádů vývoje. Jedním z příkladů je vývoj Machova čísla uvedený níže. Dalším dobře známým příkladem je Reynoldsovo rozšíření čísla použité pro mezní vrstvu .

Nízký Machův počet toků

Tento přístup se používá při problémech se spalováním, při nichž jsou nízké rychlosti.

Předpokládá se, že zpracovaná množství jsou pravidelná. Asymptotický vývoj začíná výběrem „malého parametru“, s nímž je každá z proměnných vyvinuta. Zde je tento parametr  : ε=y∗Mna2{\ displaystyle \ varepsilon = \ gamma ^ {*} {\ mathcal {M}} a ^ {2}}

α~=α~0+ϵα~1+ϵ2α~2+...{\ displaystyle {\ tilde {\ alpha}} = {\ tilde {\ alpha}} _ {0} + \ epsilon \, {\ tilde {\ alpha}} _ {1} + \ epsilon ^ {2} \, {\ tilde {\ alpha}} _ {2} + ...}

kde α představuje každou z hodnot ρ , V , T , p . Termíny odpovídající stejnému pořadí vývoje jsou seskupeny. Jsou stejné, protože rovnice platí pro jakoukoli hodnotu ε .

Následně předpokládáme, že hypotéza ideálního plynu je platná.

• na objednávku -1

∇X~p~(0)=0⇒p~(0)=F(t~){\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \, {\ tilde {p}} ^ {(0)} = 0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad {\ tilde {p}} ^ {( 0)} = f ({\ tilde {t}})}

• objednat 0

∂ρ~(0)∂t~+∇X~⋅(ρ~(0)PROTI~(0))=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné {\ tilde {\ rho}} ^ {(0)}} {\ částečné {\ tilde {t}}}} + \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x} } \ cdot ({\ tilde {\ rho}} ^ {(0)} \, {\ tilde {\ mathbf {V}}} ^ {(0)}) = 0}

∂∂t~(ρ~(0)PROTI~(0))+∇X~⋅(ρ~(0)PROTI~(0)PROTI~(0))=-∇X~p~(1)+1RE∇X~⋅Σ~(0)+1Frρ~(0)G~(0){\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné {\ tilde {t}}}} ({\ tilde {\ rho}} ^ {(0)} {\ tilde {\ mathbf {V}}} ^ { (0)}) + \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \ cdot ({\ tilde {\ rho}} ^ {(0)} {\ tilde {\ mathbf {V}}} ^ { (0)} {\ tilde {\ mathbf {V}}} ^ {(0)}) = - \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \, {\ tilde {p}} ^ {( 1)} + {\ frac {1} {{\ mathcal {R}} e}} \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \ cdot {\ tilde {\ mathsf {\ Sigma}}} ^ {(0)} + {\ frac {1} {{\ mathcal {F}} r}} \, {\ tilde {\ rho}} ^ {(0)} \, {\ tilde {\ mathbf {g} }} ^ {(0)}}

Σ~(0)=μ[∇X~PROTI~(0)+(∇X~PROTI~(0))T-23(∇X~PROTI~(0))Já]{\ displaystyle {\ tilde {\ mathsf {\ Sigma}}} ^ {(0)} = \ mu \ left [\ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} {\ tilde {\ mathbf {V} }} ^ {(0)} + (\ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} {\ tilde {\ mathbf {V}}} ^ {(0)}) ^ {T} - {\ frac {2} {3}} (\ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} {\ tilde {\ mathbf {V}}} ^ {(0)}) \, {\ mathsf {I}} \ že jo]}

ρ~(0)E~(0)=1y∗(y∗-1)ρ~(0)E~(0)=p~(0)y∗(y∗-1)2{\ displaystyle {\ tilde {\ rho}} ^ {(0)} {\ tilde {E}} ^ {(0)} = {\ frac {1} {\ gamma ^ {*} (\ gamma ^ {* } -1)}} {\ tilde {\ rho}} ^ {(0)} {\ tilde {e}} ^ {(0)} = {\ frac {{\ tilde {p}} ^ {(0) }} {\ gamma ^ {*} (\ gamma ^ {*} - 1) ^ {2}}}}

dp~(0)dt~+[y∗(y∗-1)2]p~(0)∇X~⋅PROTI~(0)=-y∗(y∗-1)REPr∇X~⋅(λ∇X~T~(0)){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ tilde {p}} ^ {(0)}} {\ mathrm {d} {\ tilde {t}}}} + \ left [\ gamma ^ {* } (\ gamma ^ {*} - 1) ^ {2} \ doprava] {\ tilde {p}} ^ {(0)} \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \ cdot {\ tilde {\ mathbf {V}}} ^ {(0)} = - \, {\ frac {\ gamma ^ {*} (\ gamma ^ {*} - 1)} {{\ mathcal {R}} e \, {\ mathcal {P}} r}} \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \ cdot (\ lambda \, \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \, {\ tilde {T}} ^ {(0)})}

Pokud se zastavíme v pořadí 0, po návratu k dimenzovaným veličinám získáme následující rovnice:

p=F(t)∂ρ∂t+∇⋅(ρPROTI)=0∂(ρPROTI)∂t+∇⋅(ρPROTIPROTI)=-∇p1+∇⋅Σ+ρGdpdt+p∇⋅PROTI=-∇⋅(λ∇T){\ displaystyle {\ begin {pole} {rcl} p & = & f (t) \\ [0,3em] {\ frac {\ částečné \ rho} {\ částečné t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ rho \ mathbf {V}) & = & 0 \\ [0,3em] {\ frac {\ částečné \ vlevo (\ rho \ mathbf {V} \ vpravo)} {\ částečné t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (\ rho \ mathbf {V} \ mathbf {V} \ right) & = & - \ mathbf {\ nabla} p_ {1} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot {\ mathsf {\ Sigma}} + \ rho \ mathbf {g} \\ [0.4em] {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} t}} + p \ nabla \ cdot \ mathbf {V} & = & - \ nabla \ cdot (\ lambda \, \ nabla T) \ end {pole}}}

Stavová rovnice se zapisuje pomocí řádu 0 tlaku, přičemž řád 1 („  dynamický tlak  “) je veličina, a proto je zanedbatelný. To má za následek vyloučení vazby mezi hustotou a tlakovými vlnami. Ó(Mna2){\ displaystyle O ({\ mathcal {M}} a ^ {2})}

Všimněte si, že máme systém 4 rovnic (včetně jednoho vektoru) se stavovou rovnicí pro 5 neznámých (včetně jednoho vektoru): ρ , V , T , p a p 1 . Systém je uzavřen rovnicí týkající se tlaku (který je v prostoru konstantní).

• V otevřeném systému vyvolává okrajová podmínka tlak p = p 0 (například atmosférický tlak pro otevřený oheň).
• V uzavřeném systému zůstává celková hmotnost v průběhu času konstantní. Integrací na svazku systému to dává:PROTI{\ displaystyle {\ mathcal {V}}}

∫PROTIρ(X,t)dΩ=∫PROTIρ(X,t=0)dPROTI{\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {V}} ^ {} \ rho (x, t) \, d \ Omega = \ int _ {\ mathcal {V}} \ rho (x, t = 0) \, d {\ mathcal {V}}}

Když lze použít stavovou rovnici ideálního plynu, stane se předchozí výraz:

p(t)=p(t=0)∫PROTI1T(X,t=0)dPROTI∫PROTI1T(X,t)dPROTI{\ displaystyle p (t) = p (t = 0) {\ dfrac {\ int _ {\ mathcal {V}} {\ tfrac {1} {T (x, t = 0)}} \ \ d {\ mathcal {V}}} {\ int _ {\ mathcal {V}} {\ tfrac {1} {T (x, t)}}} \, d {\ mathcal {V}}}}}

Poznámky:

• V pořadí 0 g nezasahuje do energetické bilance.
• V tomto pořadí se neobjevuje ani záření, i když může být důležitým prvkem problému (například při spalování). To je způsobeno volbou bezrozměrného Goulardova čísla, vhodného pro vysokorychlostní toky, kde je kinetická energie velká ve srovnání s vnitřní energií. Zde je to naopak a správné bezrozměrné číslo je . Expanze pomocí této veličiny vede k termínu v energetické rovnici, a proto umožňuje, aby se záření objevilo v pořadí 0.G′=qR∗ρ∗E∗{\ displaystyle {\ mathcal {G}} '= {\ frac {q_ {R} ^ {*}} {\ rho ^ {*} e ^ {*}}}}G′y∗(y∗-1)∇X~⋅q~R{\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {G}} '} {\ gamma ^ {*} (\ gamma ^ {*} - 1)}} \ nabla _ {\ tilde {x}} \ cdot {\ tilde {\ mathbf {q}}} _ {R}}

Podmínky v mezích

Příchozí a odchozí podmínky

S některými výjimkami neexistují žádné příchozí ani odchozí podmínky specifické pro systém Navier-Stokes. Viskózní účinky jsou skutečně omezeny na předem známá místa. Doména výpočtu tedy zahrnuje tyto oblasti a jedna se tak vrací zpět k problému příchozích a odchozích podmínek pro Eulerovy rovnice . Lze dodat, že zajištění podmínek v regionu, kde jsou důležité viskózní účinky, je nejtěžší úkol.

Stěnové podmínky

Přísně vzato není možné takové okrajové podmínky psát. Jak ukazuje metoda Chapman-Enskog v případě plynů, systém Navier-Stokes předpokládá na mikroskopické úrovni slabé narušení Maxwell-Boltzmannova rozdělení . Tato hypotéza je neplatná v blízkosti stěny, což silně narušuje distribuci vnitřních rychlostí a energií molekul. Rozlišení narušené oblasti nebo Knudsenovy vrstvy ukazuje na existenci skoků rychlosti a teploty, které jsou slabší, jak se zvyšuje tlak. Pokud je to dostatečné, lze diskontinuity zanedbávat a podmínky zdí se poté bez odůvodnění redukují na podmínky obecně dané:

• V = 0 u stěny (podmínka přilnavosti),
• T ' = T p u stěny, kde T p je teplota stěny daná.

Vektorové ilustrace

• Výpočet nadzvukové aerodynamiky v Eulerianových proměnných.

• Výpočet astrofyzikálního paprsku v Lagrangeových proměnných.

Popularizace

Navier-Stokesovy rovnice jsou součástí Problémy tisíciletí Prize z Ústavu hliněné matematiky . Řešení těchto rovnic , pokud existují, bude odměněno cenou jednoho milionu dolarů.

Navier-Stokesovy rovnice jsou hlavním tématem filmu Marca Webba Mary , který vyšel v roce 2017.

Poznámky a odkazy

Poznámky

1. Navier-Stokesovy rovnice přijímají aproximaci kontinuálního média , což je aproximace přijatelná pro většinu tekutin, s výjimkou extrémně vzácných plynů.
2. Termín Ω × V může být také nulový, pokud jsou Ω a V paralelní. Tato podmínka popisuje toky Beltrami .
3. Můžeme také provést vývoj, který umožní zohlednit akustické vlny.Mna{\ displaystyle {\ mathcal {M}} a}
4. Toto číslo zjevně nebylo pojmenováno.
5. Tyto podmínky mohou být složitější, když dochází k fyzikálně-chemické interakci plyn-stěna. Potom napíšeme rovnice zachování toku.

Reference

1. Claude Louis Marie Henri Navier , Paměť Královské akademie věd , Paříž, sv. 6, s.  389-416 , 1823.
2. (in) George Gabriel Stokes , Transaction of the Cambridge Philosophical Society , sv. 8, s.  287–305 , 1845.
3. Isabelle Gallagher , „  Kolem Navier-Stokesových rovnic  “ , na images.math.cnrs.fr ,28. ledna 2010(zpřístupněno 25. ledna 2017 ) .
4. Augustin Louis Cauchy , O rovnováze a pohybu tekutin a elastických tekutin , Mémoire de l ' Académie Royale des Sciences , 1829, t. 11, s.  413-418 .
5. Siméon Denis Poisson , Dizertační práce o obecných rovnicích rovnováhy a pohybu elastických pevných těles a tekutin , přečtená na Královské akademii věd 12. října 1829 před zveřejněním ve 20. části  Journal de l'École Polytechnique, 1830 , t. 13, s.  394-412 .
6. (in) V. Giovangigli, „  Scholarpedia: Multicomponent Flow  “ na Scholarpedia .
7. ISO / IEC 80000-2: 2009 Veličiny a jednotky - Část 2: Matematické značky a symboly pro použití v přírodních vědách a technologiích .
8. Pierre-Louis Lions , Matematická témata v mechanice tekutin, sv. 1: nestlačitelné modely , Clarendon Press ,1996, 252  s. ( ISBN  978-0-19-851487-9 , OCLC  34517004 , číst online ).
9. (en) Joseph Oakland Hirschfelder , Charles Francis Curtiss a Robert Byron Bird , Molekulární teorie plynů a kapalin , John Wiley and Sons ,1966( ISBN  978-0-471-40065-3 ).
10. (in) DUFFA G. , Ablative Thermal Protection Systems Modeling , Reston, VA, AIAA Educational Series ,2013, 431  str. ( ISBN  978-1-62410-171-7 ).
11. (en) Yeram Sarkis Touloukian , SC Saxena a P. Hestermans, viskozita , New York, IFI / plénum , kol.  „Tepelně vlastnosti hmoty“ ( n o  11),1975, 643  s. ( ISBN  978-0-306-67031-2 a 978-0-306-67020-6 , OCLC  2296975 , číst online ).
12. (en) Yeram Sarkis Touloukian , PE Liley, SC Saxena, tepelná vodivost. Nekovové kapaliny a plyny , TPRC Data Series Report, roč. 3, Information for Industry, Inc. (IFI) / Plenum Press , 1970 (SBN 306-67023-2) [1]
13. (in) Yeram Sarkis Touloukian , RW Powell, CY Ho, C. Nicolaou, Thermal diffusivity, Report TPRC Data Series, Vol. 10, Information for Industry, Inc. (IFI) / Plenum Press , 1973 [2]
14. (in) Philip Drazin a Norman Riley, Navier-Stokesovy rovnice. Klasifikace toků a přesná řešení. , London Mathematical Society . Lecture Notes Series 334, Cambridge University Press , 2006 ( ISBN  0-521-68162-6 ) .
15. A. Rosenblatt, „  Přesná řešení pohybových rovnic viskózních kapalin  “, Památník matematických věd ,1935( číst online ).
16. (in) B. Müller, Asymptotika nízkých Machových čísel z Navier-Stokesových rovnic a numerické implikace , Von Karman Institute for Fluid Dynamics , 1999-1903 Lecture Series, březen 1999.
17. (en) Radyadour Kh. Zeytounian, asymptotické modelování jevů proudění tekutin , Kluwer Academic Publishers ,2002, 550  str. ( ISBN  0-306-48386-6 , číst online ).

Podívejte se také

Bibliografie

• Sébastien Candel , mechanika tekutin: kurz , Paříž, Dunod , Paříž,2001, 451  str. ( ISBN  2-10-005372-8 )
• James Luneau a Allan Bonnet , Aerodynamické teorie tekutinové dynamiky , Toulouse, Éditions Cépaduès , kol.  "Sup'Aero",1989, 544  s. ( ISBN  978-2-85428-218-4 a 2854282183 ).
• Etienne Guyon , Jean-Pierre Hulin a Luc Petit ( pref.  John Hinch), fyzikální hydrodynamika , Les Ulis / Paříž, EDP ​​Sciences / CNRS Éditions , kol.  "Aktuální znalosti",2012, 3 e  ed. , 689  s. ( ISBN  978-2-7598-0561-7 a 2759805611 ).
• (en) Lev Davidovitch Landau a Evgueni Mikhaïlovitch Lifshitz , svazek 6 kurzu teoretické fyziky: mechanika tekutin , Pergamon Press , 1987 http://users-phys.au.dk/srf/hydro/landau+lifschitz.pdf
• (en) Brian J. Cantwell, Fundamentals of Compressible Flows , Stanford University Course [3]

Související články

• Dynamika tekutin
• Aerodynamický
• Výpočetní mechanika tekutin
• Navierova rovnice
• Saint-Venantovy rovnice
• Burgersova rovnice
• Hugoniotova rovnice
• Boussinesqova aproximace
• Taylor-Goldsteinova rovnice
• Vztah Rankine-Hugoniot
• Stokesův tok
• Stokes-Oseenovy rovnice
• Prandtl-Meyerova relaxace
• Orr-Sommerfeldova rovnice
• Croccova věta
• Aproximace mazání
• Coandův efekt
• Tollmien-Schlichtingovy vlny
• Görtlerovy víry
• Projektor Leray