H-skupina

Nezaměňujte s pojmem skupina homotopy .

V matematiky , An H -skupina je tečkovaná topologický prostor opatřen násobení (nebo právo vnitřní složení) a s aplikací v sobě (hraje roli inverzní) splňující vztah podobné těm, které definují skupiny , ale v homotopy .

Tato struktura tedy zobecňuje jak topologickou skupinu, tak strukturu h -space (en) . Umožňuje studovat určité vlastnosti krajkových prostorů .

Definice

Skupina h je špičatý topologický prostor opatřený dvěma spojitými mapami : „multiplikace“ $X$

{\ begin {array} {rccc} \ mu \ colon & X \ times X & \ to & X \\ & (x, y) & \ mapsto & x \ bullet y \ end {array}}

a „inverzní“

\ iota \ dvojtečka X \ až X

tak jako

základní bod je pro násobení neutrální a invariantní naopak; $E$
násobení základním bodem (vlevo i vpravo) je homotopické k identitě vzhledem k základnímu bodu;
násobení je asociativní až k homotopii relativně k základnímu bodu, tj. následující mapy jsou homotopické relativně k tripletu : $(e, e, e)$ $(x, y, z) \ mapsto (x \ bullet y) \ bullet z \ qquad \ sim \ qquad (x, y, z) \ mapsto x \ bullet (y \ bullet z)$ ;
násobení (vlevo i vpravo) identity inverzí je kontraktilní v základním bodě.

Základní příklad

Pro každý topologického prostoru , jeho prostor ze smyček je H -skupinu pro zřetězení smyček (možná normalizováno v případě, že zdrojem prostor smyček je segment ). $X$ $\ Omega X$ $[0; 1]$

Vlastnosti

Sada spojitých mapování z topologického prostoru do samotné h -skupiny tvoří h -skupinu.
Sada připojených komponent (ať už oblouky nebo ne) skupiny h je skupina.
Sada tříd homotopy aplikací z topologického prostoru do skupiny h proto tvoří skupinu.

Podívejte se také

H-skupina

Poznámky a odkazy

Písmeno „h“ je iniciálou anglické homotopy nebo Hopfa , viz např. (En) Glen E. Bredon (en) , Topology and Geometry [ detail vydání ], str. 441.