Hlavní ideál

V matematiky , zejména ve teorie okruhů , je hlavní ideální je ideální generován jediný prvek.

Definice

Nechť A je prsten .

O ideálu vpravo I se říká, že je principál vpravo, pokud se rovná ideálu vpravo generovanému prvkem a , tedy když I = aA = { ax | x ∈ A }.
O ideálu nalevo I se říká, že je principálem nalevo, pokud se rovná ideálu nalevo generovanému prvkem a , tedy když I = Aa : = { xa | x ∈ A }.
O oboustranném ideálu I se říká, že je principiální, pokud se rovná oboustrannému ideálu generovanému prvkem a , tedy když I = AaA : = { x 1 ay 1 +… + x n ay n | n ∈ N , x 1 , y 1 ,…, x n , y n ∈ A }.

Pokud je komutativní , tyto tři pojmy splývají a ideální generované je třeba poznamenat, ( ).

Pro integrální doménu A obsahující prvek má nenulovou a nezměnitelnou ideál generovaný a a Y v kruhu polynomů A [ Y ] není principiální.

Příkladem takové situace je = ℤ kruh celých čísel a = celé číslo se liší od 0, 1 a -1, nebo, = B [ X ] za nedílnou B a A = X .

Prsten integrity, ve kterém jsou hlavní ideály, se nazývá hlavní prsten .

Například ℤ a K [ X ] pro komutativní pole K jsou hlavní kroužky.

Nechť být komutativní prsten integruje a má nenulový prvek A .

(a) je maximální v souboru správné hlavní ideály A právě tehdy, když je nesnížitelný ;
(a) je prvočíslo právě tehdy, když je prvočíslo ;
(a) je maximální tehdy, když je extremální .

Pokud A je prsten GCD , jsou první dvě vlastnosti ekvivalentní. Pokud je Bézout (zejména pokud je ředitelem), jsou všichni tři.

Ukázku najdete například v tomto opraveném cvičení lekce „Ring“ na Wikiversity .