Primalita v kruhu

V komutativní algebře se v integrálním kruhu říká , že prvek p je neredukovatelný, pokud není ani invertibilní, ani produktem dvou neinvertibilních prvků. Říká se, že je prvočíslo, pokud není ani nulové, ani invertibilní a pokud je pro jakýkoli součin ab dělitelný p , jeden ze dvou faktorů a nebo b dělitelný p . Každý primární prvek je neredukovatelný. V faktoriálním kruhu (jako kruh celých čísel nebo kruh polynomů s koeficienty v poli) jsou tyto dva pojmy ekvivalentní.

O dvou prvcích a a b se říká, že jsou navzájem primární, pokud je jakýkoli dělitel společný pro a a b invertibilní.

Úvod

V kruhu celých čísel existují různé charakterizace prvočísel a prvočísel mezi nimi, které v jakémkoli kruhu vedou ke třem párům různých pojmů. V následujícím je obor integrity a , b , p jsou prvky A . Ideál of A je prý na vlastní pokud se liší od A . Zápis označuje hlavní ideál generovaný (tj. Množinou násobků ). $(na)$ $na$ $na$

Prvky mezi sebou hrají a neredukovatelný prvek

Říkáme, že a b jsou prime mezi nimi nebo že je prvočíslo s b -li některý dělitel společné a b je nezvratné .

Ekvivalentní podmínky:

GCD z a b (existuje a) je rovno 1;
Ideální ( ) + ( b ) jsou zahrnuty v žádném vlastní hlavní ideál A .

Pravděpodobně vlivem polynomů není následující pojem pokřtěn „prvkem prvkem“, ale „neredukovatelným prvkem“:

Říkáme, že p je neredukovatelné, pokud není ani nulové, ani invertibilní a pokud je prvočíslo s jakýmkoli prvkem, který nerozděluje.

Ekvivalentní podmínky:

p není ani invertibilní, ani produkt dvou nezměnitelných prvků;
p není ani nula, ani invertibilní a jeho jedinými děliteli jsou invertibles nebo prvky spojené s p ;
( P ), je nenulový a maximální v sadě hlavní ideál vlastní A .

Prvky nerozlučné mezi nimi a primárním prvkem

Když A a B jsou nenulové, můžeme říci, že jsou nerozlučně mezi sebou (nebo „primární mezi sebou ve smyslu Gauss “ ), jestliže pro každou prvek x z A ,

pokud A předěly bx pak A dělí x .

Ekvivalentní podmínky (podle posledních dvou je tento pojem symetrický v a a b ):

b je zjednodušitelné (nebo: nedělitel 0) v kvocientovém kruhu A / ( a );
jakýkoli násobek a a b je násobkem ab ;
PPCM z a b (existuje a) je rovna součinu ab .

Odpovídající definice je pak:

p se říká, že je primární (nebo nerozpustný ), pokud je nenulový, nezměnitelný a nerozpustný s jakýmkoli prvkem, který nerozděluje.

Ekvivalentní podmínky:

p je nenulová, nezměnitelná a pro jakýkoli produkt ab dělitelný p je jeden z faktorů a nebo b dělitelný p ;
p je nenulová a A / ( p ) je integrální ;
( P ) je ideální první nenulový .

Cizí prvky a extremální prvek

Pojem cizích prvků odpovídá charakterizaci prvočísel mezi nimi podle Bachet-Bézoutovy věty .

Říká se, že a b jsou cizí , zda existují prvky ua a v z , jako v + bv = 1, které podmínka může být psáno také jako ( ) + ( b ) = A .

Odpovídající definice je pak:

Říkáme, že p je extrémní, pokud je nenulové, nezměnitelné a cizí jakémukoli prvku, který nerozděluje.

Ekvivalentní podmínky:

p je nenulová a neinvertibilní a jakýkoli prvek A, který není násobkem p, je invertibilní modulo p ;
( p ) je nenulový maximální ideál A ;
p je nenulová a A / ( p ) je pole .

Vazby mezi těmito třemi pojmy

V níže uvedených protikladech označuje K pole a A = K [ X 2 , XY , Y 2 ] dílčí kruh K [ X , Y ] tvořený polynomy, ve kterých je každá monomie dokonce celkového stupně (toto kruh je izomorfní s K [ U , V , W ] / ( W 2 - UV ), prostřednictvím morfismu indukovaného U ↦ X 2 , V ↦ Y 2 a W ↦ XY ).

cizinci ⇒ mezi sebou nerozluční ⇒ první mezi sebou .

Demonstrace

Předpokládejme, že a a b nejsou nula.

Pokud jsou a a b cizí, jsou mezi nimi nerozlučné:

Pokud au + bv = 1 a pokud a dělí bx , pak bx je zapsáno ay , takže x = ( au + bv ) x = aux + bxv = aux + ayv = a ( ux + yv ) je dělitelné a .

Pokud jsou a a b mezi nimi nerozlučné, pak jsou mezi sebou hlavní:

Pokud ab je PPCM z a b a je-li d je společný dělitel, pak se písemné a'd a b je psán b'd , takže a'b'd , společný násobek a B , je dělitelné ab = a'b'd 2 , takže d je invertibilní.

Poznámka.

Integrita použitá na konci této ukázky je zásadní. V neintegrálním kruhu ℤ 2 není prvočíslo (1,0) neredukovatelné.

Obrácené hodnoty jsou nepravdivé: V K [ X , Y ] jsou X a Y mezi sebou nerozpustné, ale nejsou cizí; V kruhu A jsou prvky XY a X 2 navzájem prime, ale nejsou mezi nimi nerozpustné (protože XY rozděluje X 2 Y 2, ale ne Y 2 ).

extrémní ⇒ primární ⇒ neredukovatelné .

Tyto dva důsledky lze odvodit okamžitě z předchozích dvou. Obrácené hodnoty jsou nepravdivé: V K [ X , Y ] je X prvočíslo neextrémní (ve skutečnosti K [ X , Y ] neobsahuje žádný extremální prvek); V A je prvek XY neredukovatelný, ale není prvočíselný (rozděluje X 2 Y 2, ale ani X 2 ani Y 2 ).

V prstenu GCD (prsten, kde jakýkoli pár prvků má GCD), a tedy zejména v prstenci faktoriálů , je prvočíslo mezi nimi ekvivalentní nerozpustnému mezi nimi (proto je ireducibilní ekvivalent prvočísla ).
V Bézout kroužku (integrální kruh, ve kterém každá ideální konečných typu je hlavní), a proto zejména v hlavním kruhu (jako ℤ nebo K [ X ]), tři pojmy ( cizí , nerozpustných mezi nimi , prime mezi nimi ) jsou ekvivalentní (tudíž neredukovatelný je ekvivalentní prvočíslu je ekvivalentní extremálnímu ).

Poznámky a odkazy

Poznámky

Pokud je jeden ze dvou prvků a, b nula, je tato podmínka ekvivalentní invertibilitě druhého.
Výše uvedená definice „nerozpustného mezi nimi“ je omezena na případ, kdy jsou dva prvky nenulové, ale můžeme tyto dva důsledky učinit pravdivými tvrzením, že pokud je jeden ze dvou prvků a , b nula, pak jsou mezi nimi nerozlučný právě tehdy, když je ten druhý invertibilní.

Reference

Dany-Jack Mercier, Základy Algebry a aritmetiky , Publibook, 2010 ( ISBN 978-2-74835410-2 ) , s. 108, definice 60
Dany-Jack Mercier, op. cit. , str. 106, definice 57

Serge Lang , Algebra [ detail vydání ]

Související článek

Faktorizace polynomů