Variační nerovnost

V matematiky , je variační nerovnost problém zahrnuje od zobecnit řadu klasických problémů, jako je nalezení nulu z funkce , nalezení stacionární bod jako optimalizační problém, problém lineárního komplementarity , atd . Formalismus byl poprvé zaveden k analýze určitých parciálních diferenciálních rovnic modelování problémů s kontaktem nebo s volnou hranicí ( Signoriniho problém ), než se stal autonomním formálním rámcem pro různé problémy.

Definice problému

Vzhledem k Banachovu prostoru, jehož topologický duální je zaznamenán (je zaznamenán dualitní háček ), množina neprázdná a funkce , je problémem variační nerovnosti najít takový bod , že $\ mathbb {E}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} '}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ $K \ podmnožina {\ mathbb {E}}$ ${\ displaystyle F: K \ to \ mathbb {E} '}$ $x \ in \ mathbb {E}$

${\ displaystyle \ operatorname {IV} (F, K) \ qquad \ left \ {{\ begin {pole} {l} x \ v K \\\ langle F (x), yx \ rangle \ geqslant 0, \ quad \ forall y \ in K. \ end {array}} \ right.}$

Tento problém je proto zaznamenán . Geometricky, pokud je Hilbertův prostor , je-li jeho dvojník identifikován a je -li konvexní , jde o nalezení bodu , který je v normálním kuželu v en . $\ operatorname {IV} (F, K)$ $\ mathbb {E}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} '}$ $\ mathbb {E}$ $K.$ $x \ v K.$ $-F (x)$ $K.$ $X$

Když mají data určitou strukturu, najdeme klasické problémy.

Takže , problém je najít nulu z . ${\ displaystyle K = \ mathbb {E}}$ $F$
Pokud je Hilbertův prostor , pokud je uzavřený neprázdná konvexní, a pokud je přechod z diferencovatelné konvexní funkce , je problém, aby se minimalizovalo přes . $\ mathbb {E}$ $K.$ ${\ displaystyle F = \ nabla f}$ $f: \ mathbb {E} \ do \ R$ $F$ $K.$
V případě , pokud je kladný orthant of a pokud je affine function ( lineární mapa a ), najdeme problém lineární komplementarity . ${\ mathbb {E}} = \ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle F: x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mapsto Mx + q \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $M$ $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$

Existence řešení

Pokud je Hilbertův prostor , bod je řešením if, a pouze v případě, že je pevným bodem funkce $\ mathbb {E}$ $X$ $\ operatorname {IV} (F, K)$

${\ displaystyle \ varphi: x \ v K \ až P_ {K} (xF (x)) \ v K.}$

Zaznamenali jsme ortogonální projektor . Výsledky existence pevného bodu lze tedy použít k získání podmínek existence řešení problému . V konečné dimenzi je následující výsledek okamžitým důsledkem Brouwerovy věty o pevném bodě aplikované na funkci . $P_ {K}$ $K.$ $\ operatorname {IV} (F, K)$ $\ varphi$

Existence řešení (konečná dimenze) - Pokud je spojitá a pokud je kompaktní neprázdná konvexní , pak má problém řešení. $F: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}$ $K \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {n}$ $\ operatorname {IV} (F, K)$

Metody řešení

Dodatky

Poznámky

Související články

Obecné práce

(en) F. Facchinei, J.-S. Pang (2003). Konečně dimenzionální variační nerovnosti a problémy s komplementaritou (2 svazky). Springer Series v operačním výzkumu. Springer-Verlag, New York.
R. Glowinski, J.-L. Lions, R. Trémolières (1976). Numerická analýza variačních nerovností - svazek 1: Obecná teorie a první aplikace - svazek 2: Aplikace na stacionární a evoluční jevy . Dunod, Paříž.