Duální topologie

V matematiky , a přesněji v analýze je topologická dvojí je podprostor z algebraické dvojí tvořen spojitých lineárních forem .

Definice

Nechť E je topologický vektorový prostor nad polem ℝ nebo ℂ.

Topological dvojí E " z E je vektor podprostor E * (algebraická dvojí E ) vytvořena z průběžných lineárních forem .

Pokud je prostor konečné dimenze , topologický duál se shoduje s algebraickým duálem, protože v tomto případě je jakákoli lineární forma spojitá.

Obecně je ale zahrnutí topologického duálu do algebraického duálu přísné.

Příklad

Nechť D je skutečný vektorový prostor funkcí odvozitelných z intervalu [0, 1] v ℝ, obdařený normou jednotné konvergence .

‖F‖=supX∈[0,1]|F(X)|.{\ displaystyle \ | f \ | = \ sup _ {x \ v [0,1]} | f (x) |.}

Nechť p je lineární tvar na D definovaný

p(F)=F′(0).{\ displaystyle p (f) = f '(0).}

Nechť je také posloupnost funkcí D definovaná . Je snadné to vidět (Fne)ne>0{\ displaystyle (f_ {n}) _ {n> 0}}Fne(X)=X(1-X)ne{\ displaystyle f_ {n} (x) = x (1-x) ^ {n}}

limne→∞‖Fne‖=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ až \ infty} \ | f_ {n} \ | = 0}

(funkce je kladná a maximální pro x = 1 / ( n + 1)). Fne{\ displaystyle f_ {n}}

Ale pro všechna n by to mělo mít tendenci k p (0) = 0, pokud by p byly spojité. p(Fne)=1{\ displaystyle p (f_ {n}) = 1}p(Fne){\ displaystyle p (f_ {n})}

Duální topologie

V některých případech můžeme na duálu kanonicky definovat různé topologie.

Nízká duální topologie

Jakéhokoliv vektoru z můžeme shodovat s mapou v oblasti ℝ definované . Tato aplikace je polo-standard na . Lokálně konvexní prostorová topologie definovaná touto rodinou polo-norem se nazývá slabá topologie duálu. Jedná se o nejméně jemnou topologii, díky níž je spojité mapování f↦f ( v ). proti{\ displaystyle v}E{\ displaystyle E}pproti{\ displaystyle p_ {vb}}E′{\ displaystyle \ scriptstyle E ^ {\ prime}}pproti(F)=|F(proti)|{\ displaystyle p_ {v} (f) = | f (v) |}pproti{\ displaystyle p_ {vb}}E′{\ displaystyle \ scriptstyle E ^ {\ prime}}

Výstavbou, tato topologie na E " je oddělená .

Silná topologie na dualitě standardizovaného prostoru

Pokud E je normalizovaný vektorový prostor , můžeme definovat dvojí normu ║. ║ „ na E“ od

‖F‖′=supproti∈E,proti≠0|F(proti)|‖proti‖.{\ displaystyle \ | f \ | ^ {\ prime} = \ sup _ {v \ v E, v \ neq 0} {\ frac {| f (v) |} {\ | v \ |}}.}

(Toto je speciální případ standardu operátora .)

E ' vybaveny touto normou je nazýván silný dvojí E . Jedná se o Banachův prostor (viz tvrzení 4 článku „Úplnost“ článku „Normalizovaný vektorový prostor“ ).

Je důležité si všimnout, že ani v konečné dimenzi nejsou normované prostory E a E ' , které jsou algebraicky izomorfní, obecně izometrické. Například na ℝ n jsou normy a jsou navzájem dvojí, ale nejsou izometrické, jakmile n ≥ 3. ∑i=1ne|Xi|{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ zelená x_ {i} \ zelená}sup1≤i≤ne|Xi|{\ displaystyle \ sup _ {1 \ leq i \ leq n} \ vert x_ {i} \ vert}

Banach-Alaoglu-Bourbaki věta tvrdí, že uzavřená jednotka míč z silný dvojí Banachova prostoru je * -weakly kompaktní .

Z Kerin-Milmanovy věty pak odvodíme, že pokud jednotková koule Banachova prostoru E nemá žádný extrémní bod (například pokud E = L 1 ([0, 1]) nebo E = c 0 , prostor sekvencí nula limit), pak E není duál žádného prostoru.

Prostor ℓ 1 je dvojí c 0 a mnoho dalších prostorů, včetně že konvergentních sekvencí  (en) nebo, obecněji , spojité funkce na spočetnou kompaktní.

Tam, kde H je předem Hilbertův prostor , tam je izometrický semi-lineární (tj ℝ-lineární) kanonická j z H v H " : pro jakýkoli prvek V z H , j ( v ) je kontinuální lineární tvar definovaný:

∀w∈H,j(proti)(w)=⟨proti,w⟩.{\ displaystyle \ forall w \ in H, j (v) (w) = \ langle v, w \ rangle.}

Díky Rieszově větě o reprezentaci dokazujeme základní vlastnost:

Pokud H je Hilbertův prostor , je injekce j z H do H ' surjektivní .

Dedukujeme (srov. § „Struktura duálu“ článku „Prehilbertianův prostor“ ):

Pro každý prehilbertian prostoru H, injekce j z H do H ‚je obraz hustá .

I když čistě algebraický pojem bidual nepředstavuje žádnou dvojznačnost, u topologických pojmů je zcela odlišný. Podle topologie zachované na duálu by množina spojitých lineárních forem na tomto duálu mohla být víceméně velká.

Bidual Banachova prostoru a reflexivity

V případě normalizovaného vektorového prostoru E je to, co se obecně nazývá dvojitý, známý jako E ' , duál silného duálu.

Přirozená aplikace E je v její dvojné, hodnotící aplikaci

J:E→E„∀X∈E,∀ℓ∈E′,J(X)(ℓ)=ℓ(X){\ displaystyle J: E \ rightarrow E '' \ qquad \ forall x \ in E, \, \ forall \ ell \ in E ', \, J (x) (\ ell) = \ ell (x)}

který představuje izometrickou injekci podle Hahn-Banachovy věty . Když J je bijekce, říká se , že prostor E je reflexivní .

Příklady: viz „  Vlastnosti prostorů posloupností ℓ p  “ a „  Dualita prostorů L p  “.

Goldstinova věta . Pro jakýkoli skutečný normovaný vektorový prostor E je jednotková koule E '' adheze pro topologii σ ( E '' , E ' ) (slabá topologie- * na E' ' ) obrazu J kulové jednotky E .

Poznámky a odkazy

1. Mohli bychom to také nazvat polární normou s ohledem na vývoj v článku o konvexním rozchodu . Standardem je skutečně měřidlo, jehož polární měřidlo není nic jiného než duální standard.
2. (in) D. Freeman , E. Odell a Th. Schlumprecht , „  Univerzálnost ℓ 1 jako duálního prostoru  “ , Math. Annalen. , sv.  351, n o  1,2011, str.  149-186 ( číst online [PDF] ).
3. (in) Dale E. Alspach , „  A ℓ 1 predual qui není izometrický k poměru C (α)  “ , arXiv ,1992( číst online ).
4. Systematičtější studium viz Gilles Godefroy , „  Banachův prostor, existence a jedinečnost určitých predualů  “, Ann. Inst. Fourier , sv.  28,1978, str.  87-105 ( číst online ).
5. V komplexu případě dvě konvence existují současně (viz část tvar sesquilinear komplexu ) skalární součin ⟨ V , w ⟩ lineární, pokud jde o objem a polo-lineární vzhledem k w , jak je v článcích prehilbert prostor a prostor Hilbertova nebo zpětný , jako zde a v článku Rieszova věta o reprezentaci . Definice aplikace j se přirozeně liší v závislosti na zvolené konvenci.
6. N. Bourbaki , Prvky matematiky, kniha III: Obecná topologie [ detail vydání ], kap. 4, § 5, Prop. 5

Podívejte se také

Související články

• Lineární nespojitá aplikace  (in)
• Duální topologický vektorový prostor

Bibliografie

Walter Rudin , Reálná a komplexní analýza [ detail vydání ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">