Bilineární interpolace

Bilineární interpolace je metoda interpolace pro funkce dvou proměnných na pravidelné mřížce (v) . Vypočítá hodnotu funkce v kterémkoli bodě od jejích dvou nejbližších sousedů v každém směru. Jedná se o metodu široce používanou v digitálním zobrazování pro změnu velikosti obrazu , která poskytuje lepší výsledky než interpolace nejbližšího souseda při zachování přiměřené složitosti.

Obecná zásada

Na rozdíl od toho, co naznačuje její název, interpolační funkce není lineární forma, ale kvadratická, kterou lze vyjádřit ve tvaru:

{\ displaystyle f (x, y) = sekera + by + cxy + d.}

Hodnota $f ( x , y )$ je interpolovaná hodnota v bodě souřadnic $( x , y )$ a $a , b , c , d$ jsou konstanty určené ze čtyř sousedů $( x 1 , y 1 ), ( x 1 , y 2 ), ( x 2 , y 1 ), ( x 2 , y 2 )$ bodu $( x , y ),$ jehož hodnotu hledáme. Známe-li hodnoty v těchto bodech, můžeme napsat systém 4 rovnic se 4 neznámými :

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} f (x_ {1}, y_ {1}) = ax_ {1} + by_ {1} + cx_ {1} y_ {1} + d \\ f ( x_ {2}, y_ {1}) = ax_ {2} + by_ {1} + cx_ {2} y_ {1} + d \\ f (x_ {1}, y_ {2}) = ax_ {1} + by_ {2} + cx_ {1} y_ {2} + d \\ f (x_ {2}, y_ {2}) = ax_ {2} + by_ {2} + cx_ {2} y_ {2} + d \ end {matrix}} \ vpravo.}

Bilineární interpolace může být interpretována jako posloupnost dvou lineárních interpolací , jedné v každém směru.

Systémové řešení

Změna proměnné značně zjednodušuje systém, který má být vyřešen. Zvažte následující nové proměnné:

{\ displaystyle dx = x-x_ {1}, \ quad dy = y-y_ {1},}

kde $( x 1 , y 1 )$ jsou souřadnice levého dolního rohu. Poté se zapíše nová bilineární interpolační funkce:

{\ displaystyle f (dx, dy) = a \, dx + b \, dy + c \, dx \, dy + d.}

Zavedením notací a se matice, která se má převrátit, stává: ${\ displaystyle \ Delta x = x_ {2} -x_ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta y = y_ {2} -y_ {1}}$

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\\ Delta x & 0 & 0 & 1 \\ 0 & \ Delta y & 0 & 1 \\\ Delta x & \ Delta y & \ Delta x \ Delta y & 1 \\\ end {pmatrix}}}

Zbývá zavést následující notace:

{\ displaystyle \ Delta f_ {x} = f (x_ {2}, y_ {1}) - f (x_ {1}, y_ {1}), \ quad \ Delta f_ {y} = f (x_ {1 }, y_ {2}) - f (x_ {1}, y_ {1}),}

{\ displaystyle \ Delta f_ {xy} = f (x_ {1}, y_ {1}) + f (x_ {2}, y_ {2}) - f (x_ {2}, y_ {1}) - f (x_ {1}, y_ {2}).}

Řešení bilineární interpolační funkce problému pak přichází přímo:

{\ displaystyle f (x, y) = \ Delta f_ {x} {\ frac {dx} {\ Delta x}} + \ Delta f_ {y} {\ frac {dy} {\ Delta y}} + \ Delta f_ {xy} {\ frac {dx} {\ Delta x}} {\ frac {dy} {\ Delta y}} + f (x_ {1}, y_ {1}).}

Reference

(in) Rafael C. Gonzalez a Richard E. Woods, Digital Image Processing , Prentice Hall,2008„Vzorkování a kvantizace obrazu“, s. 66.

Související články