Lineární interpolace

Lineární interpolace je nejjednodušší způsob pro odhadování hodnoty předpokládá kontinuální funkce mezi dvěma pevnými body ( interpolace ). Spočívá v tom, že k tomu použijeme afinní funkci (tvaru f ( x ) = mx + b ) procházející dvěma určenými body. Tato technika byla používána systematicky, když byly k dispozici pouze numerické tabulky pro výpočet s transcendentními funkcemi : tabulky také pro tento účel zahrnovaly do okraje „tabulkové rozdíly“, výpočtovou pomůcku použitou pro výpočet, lineární interpolace.

A konečně, lineární interpolace je základem techniky digitální kvadratury pomocí lichoběžníkové metody .

Zásada

Předpokládejme, že známe hodnoty převzaté funkcí ve dvou bodech a : $F$ $x_ {a}$ $x_ {b}$

$f (x_ {a}) = y_ {a}$ a
$f (x_ {b}) = y_ {b}$ .

Metoda spočívá v přístupu k funkci podle afinní funkce tak, že a ; tato funkce má pro rovnici (tři ekvivalentní formulace): $F$ ${\ bar {f}}$ ${\ bar {f}} (x_ {a}) = y_ {a}$ ${\ bar {f}} (x_ {b}) = y_ {b}$

{\ displaystyle {\ bar {f}} (x) = {\ frac {y_ {a} -y_ {b}} {x_ {a} -x_ {b}}} x + {\ frac {x_ {a} \ cdot y_ {b} -x_ {b} \ cdot y_ {a}} {x_ {a} -x_ {b}}}}

že můžeme také napsat ( Taylor-Youngův vzorec v prvním pořadí):

{\ displaystyle {\ bar {f}} (x) = y_ {a} + (x-x_ {a}) {\ frac {y_ {b} -y_ {a}} {x_ {b} -x_ {a }}}}

nebo:

{\ bar {f}} (x) = {\ frac {x_ {b} -x} {x_ {b} -x_ {a}}} y_ {a} + {\ frac {x-x_ {a}} {x_ {b} -x_ {a}}} y_ {b}

Tento poslední vzorec odpovídá váženému průměru.

Příklady

Interpolace neznámé funkce

Například pokud chceme určit f (2.5), když známe hodnoty f (2) = 0,9093 af (3) = 0,1411, tato metoda spočívá v tom, že vezmeme průměr dvou hodnot s vědomím, že 2,5 je střed dvou bodů. Proto získáváme . ${\ displaystyle f (2 {,} 5) \ přibližně {\ frac {0 {,} 9093 + 0 {,} 1411} {2}} = 0 {,} 5252}$

Interpolace známé funkce

Buď pro výpočet $hříchu (0,71284)$ . Tabulky Laborde dát:

$X$	$hřích x$	Δ ( tabulkový rozdíl )
0,712	0,653 349 2
		756 7
0,713	0,654 105 9
		756 1
0,714	0,654 862 0

V tom případě :

{\ displaystyle x_ {a} = 0 {,} 712}

a protože 0,712 <0,71284 <0,713;

{\ displaystyle x_ {b} = 0 {,} 713}

{\ displaystyle y_ {a} = 0 {,} 6533492}

;

{\ displaystyle y_ {b} -y_ {a} = \ Delta = 7567 \ krát 10 ^ {- 4}}

a konečně .

{\ displaystyle x-x_ {a} = 0 {,} 71284-0 {,} 712 = 84 \ krát 10 ^ {- 5}}

Takže máme: . ${\ displaystyle \ sin 0 {,} 71284 \ přibližně 0 {,} 6533492 + {\ frac {7567 \ krát 10 ^ {- 4} \ krát 84 \ krát 10 ^ {- 5}} {10 ^ {- 3} }} = 0 {,} 6539848}$

V praxi se výpočty provádějí takto:

hřích 0,712	≈	0,653 349 2
Δ ×. . . . 84	→	. . . . . 635 628
hřích 0,712 84	≈	0,653 984 8

Výrobce tabulek vysvětluje, že tím je absolutní chyba menší než 2 × 10-7 . Stejná metoda je vysvětleno v logaritmu tabulek z Bouvart a Ratinet .

Přesnost

Tato metoda je rychlá a snadná, ale její přesnost do značné míry závisí na odchylce . ${\ displaystyle | x_ {b} -x_ {a} |}$

Diferenciální a integrální počet umožňuje při splnění určitých předpokladů k výpočtu chyby interpolace nejhoršího případu. Zejména pokud je funkce f , kterou chceme interpolovat, dvakrát spojitě diferencovatelná a pokud je pak chyba interpolace dána vztahem: ${\ displaystyle x \ v [x_ {a}, x_ {b}]}$

{\ displaystyle | f (x) - {\ bar {f}} (x) | \ leq C (x_ {b} -x_ {a}) ^ {2}}

kde .

{\ displaystyle C = {\ frac {1} {8}} \ max _ {y \ in [x_ {a}, x_ {b}]} | f '' (y) |}

Jinými slovy, horní hranice chyby je úměrná druhé mocnině vzdálenosti mezi uzly. Jiné interpolační metody umožňují podporou tří nebo více bodů (místo dvou) doufat ve snížení chyby interpolace: například metoda dělených rozdílů Newtona nebo l ' polynomiální interpolace . Některé případy jsou však citlivé na fenomén Runge , kde chyba interpolace exploduje, když se zvýší počet bodů.

Lineární interpolaci lze použít k nalezení nul rovnice ( metoda falešné polohy ) nebo k numerickému výpočtu integrálů ( metoda lichoběžníku ).

Podívejte se také

Související články

Bibliografie

Jean Laborde (pref. Jean Kuntzmann ), Numerické tabulky základních funkcí , ed. Dunod , 1961 (reed. 1968, 1976) - 149 stran
André Delachet , Les logarithmes , PuF , kol. „ Co já vím? ",1960( dotisk 1964, 1968, 1972, 1977), 128 s. „Logaritmický počet“, s. 47-80