V matematice , An afinní přiblížení je přiblížení z funkce v sousedství jednoho bodu za použití afinní funkci . Afinní aproximace se používá hlavně ke zjednodušení problému, pro který lze získat přibližné řešení.
Dva klasické způsoby získání afinní aproximace funkce zahrnují interpolaci nebo expanzi omezenou na řád 1.
Vzhledem k tomu, že funkce f je definovaná a spojitá v intervalu [ a , b ] a jejíž hodnotu známe na mezích, můžeme se k křivce funkce přiblížit řetězcem rovnice
.Pokud je funkce třídy C 2 , je rozdíl mezi hodnotou funkce a afinní aproximací interpolací řízen horní mezí absolutní hodnoty druhé derivace: pokud pak pro všechna x ∈ [ a , b ] my mít
.Tato formulace stejně jako nerovnost jsou stále platné mimo interval [ a , b ] , pokud platí také zvýšení druhé derivace. Předáním limitu z b do a získáme afinní aproximaci omezenou expanzí níže.
Afinní interpolace se používá zejména k definování lichoběžníkové metody v numerické integraci .
Vzhledem k diferencovatelné funkci f reálné proměnné a reálné a je funkce ε definována
kontrolovány
ε se nazývá zbytek . Tento vzorec se jeví jako zvláštní případ ( n = 1) Taylorova vzorce : jedná se o omezenou expanzi řádu 1.
Afinní aproximace f se získá zanedbáním tohoto zbytku. Funkce pak představuje afinní aproximaci f v a .
Potom napíšeme pro x v sousedství a :
Výraz na správných odpovídá rovnici y ' = f ( ) + f' ( ) ( x - ) z tečny k zástupce křivky z f v bodě ( , f ( )) , a pro Z tohoto důvodu někteří nazývají tuto metodu tečnou aproximací nebo afinní tečnou aproximací .
Je také možné použít aproximace pro vektorové funkce vektorové proměnné, ve které je f ' ( a ) nahrazeno jakobiánskou maticí . Aproximace odpovídá rovnici přímé tečny nebo tangenciální roviny nebo hyperplánové tečny. To platí také pro funkce komplexní proměnné .
V obecnějším případě Banachových prostor můžeme psát
kde D f ( ) je rozdíl o f u . Lineární mapa zde není nic jiného než D f ( a ) .
Tečná afinní aproximace se používá zejména v Newtonově metodě k přiblížení nul diferencovatelné funkce.
PříkladChcete-li najít přibližnou hodnotu o 3 √ 25 , můžeme postupovat takto:
Gaussova optika je geometrická optická technika, která popisuje chování světelných paprsků v optických systémech paraxiální aproximací , kde jsou úhly mezi paprsky a optickou osou velmi malé. V tomto případě lze termíny závislé na úhlech, vyjádřené trigonometrickými funkcemi, aproximovat lineárně. Lze tak dosáhnout správných aproximací ohniskové vzdálenosti, zvětšení a jasu.
Doba oscilace těžkého kyvadla závisí na jeho délce, intenzitě gravitace a amplitudě oscilace θ 0 , ale ne na hmotnosti. Perioda T jednoduchého kyvadla je v ideálním případě vyjádřena v přesné formě nekonečnou řadou:
s L délka ag lokální gravitační zrychlení.
V případě malých oscilací, jako je sin θ ≈ θ , je však vzhledem k této lineární aproximaci možné získat:
a v této formě to již nezávisí na amplitudě. Tato vlastnost izochronismu je základem měření trvání.