Je to Lemma

Lemma Ito , nebo vzorec Ito je jedním z hlavních výsledků teorie stochastické počtu . Toto lemma poskytuje způsob manipulace s Brownovým pohybem nebo řešení stochastických diferenciálních rovnic (DHS).

Dějiny

Itóův vzorec poprvé demonstroval japonský matematik Kiyoshi Itō ve 40. letech 20. století.

Matematik Wolfgang Doeblin načrtl podobnou teorii před spácháním sebevraždy, když byl jeho prapor poražen v červnu 1940 . Jeho práce byly zaslány v zalepené obálce na Akademii věd, která byla otevřena až v roce 2000 .

Státy

Ať je proces Itō stochastickým procesem formy $X_ {t} \,$

{\ displaystyle X_ {t} = X_ {0} + \ int _ {0} ^ {t} \ mu _ {s} \, \ mathrm {d} s + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma _ {s} \, \ mathrm {d} B_ {s},}

formulováno jinak, máme

{\ displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = \ mu _ {t} \, \ mathrm {d} t + \ sigma _ {t} \, \ mathrm {d} B_ {t}}

s a dvě náhodné procesy, který by splňoval některé technické předpoklady přizpůsobení procesu ( Brownův pohyb ). ${\ mathcal {}} \ mu _ {t}$ ${\ mathcal {}} \ sigma _ {t}$ $B_ {t} \$

Pokud je to funkce třídy, pak je napsán Itōův vzorec $f (X_ {t}, t) \$ ${\ mathcal {C}} ^ {{2}} ({\ mathbb {R}} \ times {\ mathbb {R}} _ {+}, {\ mathbb {R}}), \$

{\ displaystyle \ mathrm {d} (f (X_ {t}, t)) = {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}} (X_ {t}, t) \ mathrm {d} t + { \ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} (X_ {t}, t) \ mathrm {d} X_ {t} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ částečné ^ {2 } f} {\ částečné x ^ {2}}} (X_ {t}, t) \ sigma _ {t} ^ {2} \ mathrm {d} t.}

Příklad: model Black-Scholes

Brownův pohyb geometrie je často používán v finance za nejjednodušší model vývoje tržních cen. Toto je řešení stochastické diferenciální rovnice:

{\ displaystyle \ mathrm {d} S_ {t} = \ mu S_ {t} \, \ mathrm {d} t + \ sigma S_ {t} \, \ mathrm {d} B_ {t} \,}

nebo

$Svatý} \,$ je cena podkladové akcie
${\ mathcal {}} \ mu$ (konstantní) je míra driftu (ne) ceny akcie,
${\ mathcal {}} \ sigma$ (konstantní) je volatilita ceny akcie,
$B_ {t} \,$ je Brownův pohyb .

Pokud pak budeme čelit obyčejné diferenciální rovnici, jejíž řešení je $\ sigma = 0 \,$

S_ {t} = S_ {0} \ exp \ left (\ mu t \ right).

Tím, že předstírá získáme díky Ito je vzorec: $f (S_ {t}, t) = \ ln S_ {t} \,$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} d (\ ln S_ {t}) & = 0dt + {\ dfrac {1} {S_ {t}}} dS_ {t} + {\ dfrac {1} {2}} \ left (- {\ dfrac {1} {S_ {t} ^ {2}}} \ right) (\ sigma S_ {t}) ^ {2} dt, \\ & = {\ dfrac {1} {S_ {t}}} (\ mu S_ {t} \, dt + \ sigma S_ {t} \, dB_ {t}) - {\ dfrac {1} {2}} \ sigma ^ {2} dt, \\ & = \ left (\ mu - {\ dfrac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) dt + \ sigma dB_ {t}. \ end {zarovnáno}}}

Poté se můžeme integrovat a z toho vyplývá, že:

S_ {t} = S_ {0} \ exp \ left (\ sigma B_ {t} + \ mu t - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} t \ right).

Aplikace

Itóův vzorec je jedním ze základních kamenů stochastického počtu a používá se v mnoha oblastech: aplikovaná matematika , fyzika , finance , biologie , kvantová mechanika , zpracování signálu atd.

V stochastické kalkulu ,

Umožňuje propojení mezi řešením EDS a diferenciálními operátory druhého řádu, a tedy mezi teorií pravděpodobností a teorií parciálních diferenciálních rovnic .

Umožňuje potvrdit existenci řešení EDS za (velmi) slabých podmínek pravidelnosti na koeficientech.

Podívejte se také

Související články

Reference

CG Gardiner. Handbook of stochastické metody ( 3 th ed.), Springer, 2004 ( ISBN 3-540-20882-8 )
I. Karatzas a S. Shreve. Brownův pohyb a stochastické kalkul , Graduate texty matematiky ( 2 th ed.), Springer, 2004. ( ISBN 0-387-97655-8 ) .
B. Øksendal. Stochastické diferenciální rovnice: An Introduction s aplikacemi ( 6 th , Springer, 2005 ed.) ( ISBN 3-540-04758-1 )
( popularizační práce ) G. Pagès a C. Bouzitat. Náhodou… každodenní pravděpodobnosti , Vuibert, 1999. ( ISBN 2-7117-5258-5 )
D. Revuz a M. Yor . Kontinuální Martingales a Brownův pohyb , ( 3 th ed.), Springer, 2004. ( ISBN 3-540-64325-7 )
LCG Rogers a D. Williams. Vysílání, Markov procesy a martingaly ( 2 th ed.), Cambridge matematická knihovna, Cambridge University Press, 2000 ( ISBN 0-521-77593-0 )
(en) Karlin S, Taylor HM: První kurz stochastických procesů. Academic Press, (1975)
(en) Karlin S, Taylor HM: Druhý kurz stochastických procesů. Academic Press, (1981)
(en) Schuss Z: Teorie a aplikace stochastických diferenciálních rovnic. Wiley Series v Pravděpodobnost a statistika, (1980)