Parciální diferenciální rovnice

V matematice , přesněji v diferenciálním počtu , je parciální diferenciální rovnice (někdy nazývaná parciální diferenciální rovnice a zkráceně PDE ) diferenciální rovnicí, jejíž řešení jsou neznámé funkce v závislosti na několika proměnných splňujících určité podmínky týkající se jejich parciálních derivací .

PDE má často velmi mnoho řešení, podmínky jsou méně přísné než v případě běžné diferenciální rovnice s jedinou proměnnou; problémy často zahrnují okrajové podmínky, které omezují soubor řešení. Zatímco sady řešení obyčejné diferenciální rovnice jsou parametrizovány jedním nebo více parametry odpovídajícími dalším podmínkám, v případě PDE jsou okrajové podmínky spíše ve formě funkce  ; intuitivně to znamená, že sada řešení je mnohem větší, což platí téměř ve všech problémech.

PDE jsou ve vědách všudypřítomné, protože se objevují také ve strukturální dynamice nebo mechanice tekutin, stejně jako v teoriích gravitace , elektromagnetismu ( Maxwellovy rovnice ) nebo finanční matematiky ( Black-Scholesova rovnice ). Jsou zásadní v oblastech, jako je letecká simulace , syntéza obrazů nebo předpovědi počasí . A konečně nejdůležitější rovnice obecné relativity a kvantové mechaniky jsou také PDE.

Jedním ze sedmi problémů Ceny tisíciletí je ukázat existenci a kontinuitu nad původními daty systému PDE zvaného Navier-Stokesovy rovnice .

Úvod

Velmi jednoduchá parciální diferenciální rovnice je:

∂u∂X=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné u} {\ částečné x}} = 0}

kde u je neznámá funkce x a y . Z této rovnice vyplývá, že hodnoty u ( x , y ) jsou nezávislé na x . Řešení této rovnice jsou:

u(X,y)=F(y),{\ displaystyle u (x, y) = f (y),}

kde f je funkce y .

Obyčejná diferenciální rovnice

dudX=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} = 0}

má pro řešení:

u(X)=vs.,{\ displaystyle u (x) = c,}

s c konstantní hodnotou (nezávisle na x ). Tyto dva příklady ilustrují, že řešení obyčejné diferenciální rovnice obecně zahrnuje libovolnou konstantu, zatímco parciální diferenciální rovnice zahrnují libovolné funkce. Řešení parciálních diferenciálních rovnic není obecně ojedinělé.

Tři důležité kategorie PDE jsou lineární a homogenní parciální diferenciální rovnice druhého řádu nazývané eliptické , hyperbolické a parabolické .

Zápisy

V matematice

Pro PDE je pro zjednodušení zvykem psát u neznámou funkci a D x u (francouzská notace) nebo u x (anglosaská notace, rozšířenější) její parciální derivaci vzhledem k x, tj. Obvyklou zápisy diferenciálního počtu:

uX=∂u∂X{\ displaystyle u_ {x} = {\ částečné u \ nad \ částečné x}}

a pro druhé dílčí deriváty:

uXy=∂2u∂y∂X=∂∂y(∂u∂X){\ displaystyle u_ {xy} = {\ částečné ^ {2} u \ nad \ částečné y \, \ částečné x} = {\ částečné \ nad \ částečné y} \ vlevo ({\ částečné u \ nad \ částečné x} \ že jo)}

Ve fyzice

Používají se operátoři vektorové analýzy .

Shrnutí vektorové analýzy Operátor nabla představuje množinu dílčích derivací řádu 1[∇→=(∂∂X∂∂y∂∂z)] {\ displaystyle \ left [{\ vec {\ nabla}} = \ left ({\ begin {pole} {c} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} \\ {\ frac {\ částečné} { \ částečné y}} \\ {\ frac {\ částečné} {\ částečné z}} \ konec {pole}} \ pravé) \ pravé] \} Pro vektorovou funkci definujeme divergenci tím, že na ni použijeme bodový produktový par  :u→(X,y,z,t)=(uX(X,y,z,t)uy(X,y,z,t)uz(X,y,z,t)){\ displaystyle {\ vec {u}} \ left (x, y, z, t \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} u_ {x} \ left (x, y, z, t \ right) \\ u_ {y} \ left (x, y, z, t \ right) \\ u_ {z} \ left (x, y, z, t \ right) \ end {array}} \ right) }∇→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}  ∇→⋅u→(X,y,z,t)=(∂∂X∂∂y∂∂z).(uXuyuz)=∂uX∂X+∂uy∂y+∂uz∂z≡diprotiu→{\ displaystyle \ {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {u}} \ doleva (x, y, z, t \ doprava) = \ doleva ({\ začátek {pole} {c} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} \\ {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} \\ {\ frac {\ částečné} {\ částečné z}} \ konec {pole}} \ vpravo). \ left ({\ begin {array} {c} u_ {x} \\ u_ {y} \\ u_ {z} \ end {array}} \ right) = {\ frac {\ částečné u_ {x}} { \ částečné x}} + {\ frac {\ částečné u_ {y}} {\ částečné y}} + {\ frac {\ částečné u_ {z}} {\ částečné z}} \ ekviv {\ rm {div}} \, {\ vec {u}}} Pomocí křížového součinu definujeme rotační  ∇→∧u→(X,y,z,t)=(∂∂X∂∂y∂∂z)∧(uXuyuz)=(∂uz∂y-∂uy∂z∂uX∂z-∂uz∂X∂uy∂X-∂uX∂y)≡rÓt→u→≡vs.url→u→{\ displaystyle \ {\ vec {\ nabla}} \ klín {\ vec {u}} \ doleva (x, y, z, t \ doprava) = \ doleva ({\ začátek {pole} {c} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} \\ {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} \\ {\ frac {\ částečné} {\ částečné z}} \ konec {pole}} \ vpravo) \ klín \ doleva ({\ začátek {pole} {c} u_ {x} \\ u_ {y} \\ u_ {z} \ konec {pole}} \ doprava) = \ doleva ({\ začátek {pole} {c } {\ frac {\ částečné u_ {z}} {\ částečné y}} - {\ frac {\ částečné u_ {y}} {\ částečné z}} \\ {\ frac {\ částečné u_ {x}} { \ částečné z}} - {\ frac {\ částečné u_ {z}} {\ částečné x}} \\ {\ frac {\ částečné u_ {y}} {\ částečné x}} - {\ frac {\ částečné u_ {x}} {\ částečné y}} \ konec {pole}} \ doprava) \ equiv {\ overrightarrow {\ rm {rot}}} \, {\ vec {u}} \ equiv {\ overrightarrow {\ rm { zvlnění}}} \, {\ vec {u}}} Pro funkci, která v jakémkoli bodě prostoru spojuje skalární číslo, definujeme přechod :u(X,y,z,t){\ displaystyle u \ left (x, y, z, t \ right)}  ∇→u(X,y,z,t)=(∂∂X∂∂y∂∂z).u(X,y,z,t)=(∂u∂X∂u∂y∂u∂z)=Grnad→u{\ displaystyle \ {\ vec {\ nabla}} \, u \ left (x, y, z, t \ right) = \ left ({\ begin {pole} {c} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} \\ {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} \\ {\ frac {\ částečné} {\ částečné z}} \ konec {pole}} \ pravé) .u \ levé (x, y, z, t \ vpravo) = \ doleva ({\ začátek {pole} {c} {\ frac {\ částečné u} {\ částečné x}} \\ {\ frac {\ částečné u} {\ částečné y} } \\ {\ frac {\ částečné u} {\ částečné z}} \ konec {pole}} \ doprava) = {\ overrightarrow {\ rm {grad}}} \, u} Používáme také laplaciánský operátor , analogický k divergenci derivace druhého řádu. Δ≡∇2=∂2∂X2+∂2∂y2+∂2∂z2{\ displaystyle \ Delta \ equiv \ nabla ^ {2} = {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné z ^ {2}}}} viz také vektorový lalaciánský operátor .  

Příklady EDP

Laplaceova rovnice

Laplaceova rovnice je velmi důležitým základní PDE:

∂2u∂X2+∂2u∂y2+∂2u∂z2=0{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} u \ nad \ částečné x ^ {2}} + {\ částečné ^ {2} u \ nad \ částečné y ^ {2}} + {\ částečné ^ {2} u \ nad \ částečné z ^ {2}} = 0}

kde u = u ( x , y , z ) označuje neznámou funkci.

Tuto funkci je možné psát analyticky za určitých mezních podmínek a s danou geometrií, například se sférickými souřadnicemi.

Ve vektorové analýze se používá laponský operátor Δ

Buď vlnová funkce.ψ≡u(X,y,z,t) {\ Displaystyle \ psi \ equiv u \ left (x, y, z, t \ right) \} Δψ = 0{\ displaystyle \ Delta \ psi \ = \ 0}

Propagační rovnice (nebo vibrační strunová rovnice)

Tento PDE, nazývaný rovnice šíření vln , popisuje jevy šíření zvukových vln a elektromagnetických vln (včetně světla). Funkce neznámé vlny je označena u (x, y, z, t), t představuje čas:

∂2u∂X2+∂2u∂y2+∂2u∂z2=1vs.2∂2u∂t2{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} u \ nad \ částečné x ^ {2}} + {\ částečné ^ {2} u \ nad \ částečné y ^ {2}} + {\ částečné ^ {2} u \ nad \ částečné z ^ {2}} = {1 \ nad c ^ {2}} {\ částečné ^ {2} u \ nad \ částečné t ^ {2}}}

Číslo c představuje celeritu nebo rychlost šíření vlny u.

Ve vektorové analýze pomocí laponského operátoru Δ  :

Buď vlnová funkce.ψ≡u(X,y,z,t) {\ Displaystyle \ psi \ equiv u \ left (x, y, z, t \ right) \} Δψ = 1vs.2∂2ψ∂t2{\ displaystyle \ Delta \ psi \ = \ {1 \ nad c ^ {2}} {\ částečné ^ {2} \ psi \ nad \ částečné t ^ {2}}} Vlnová rovnice, obecný tvar

Mávat  ψ{\ displaystyle ~ \ psi}		Podélná část		Příčná část		Šíření		Ztráta
Δψ{\ displaystyle ~ \ Delta \ psi}	={\ displaystyle \ =}	grad→[div ψ]{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ textrm {grad}}} [{\ textrm {div}} \ \ psi]}	-{\ displaystyle \ -}	říhnutí→[říhnutí→ ψ]{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ textrm {rot}}} \ vlevo [{\ overrightarrow {\ textrm {rot}}} \ \ psi \ vpravo]}	={\ displaystyle \ =}	1vs.2∂2ψ∂t2{\ displaystyle {1 \ nad c ^ {2}} {\ částečné ^ {2} \ psi \ nad \ částečné t ^ {2}}}	+{\ displaystyle \ +}	1α∂ψ∂t{\ displaystyle {1 \ over \ alpha} {\ částečný \ psi \ nad \ částečný t}}

Viz také seismická vlna , mechanická vlna , His , vlna na vibrující struně , stacionární vlna v potrubí , Maxwellovy rovnice

Fourierova rovnice

∂2u∂X2+∂2u∂y2+∂2u∂z2=1α∂u∂t{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} u \ nad \ částečné x ^ {2}} + {\ částečné ^ {2} u \ nad \ částečné y ^ {2}} + {\ částečné ^ {2} u \ přes \ částečné z ^ {2}} = {1 \ přes \ alfa} {\ částečné u \ přes \ částečné t}}

Tento PDE se také nazývá rovnice tepla . Funkce u představuje teplotu. Derivace řádu 1 s ohledem na čas odráží nevratnost jevu. Číslo se nazývá tepelná difuzivita média. α{\ displaystyle \ alpha}

Ve vektorové analýze pomocí laponského operátoru Δ  :

To znamená funkci teplotní vlny.ψ≡u(X,y,z,t) {\ Displaystyle \ psi \ equiv u \ left (x, y, z, t \ right) \} Δψ = 1α∂ψ∂t{\ displaystyle \ Delta \ psi \ = \ {1 \ nad \ alfa} {\ částečné \ psi \ nad \ částečné t}}

Poissonova rovnice

Pomocí laponského operátora Δ  :

Nechť je vlnová funkce a hustota náboje.ψ(X,y,z) {\ Displaystyle \ psi \ left (x, y, z \ right) \}ρ(X,y,z,t){\ Displaystyle \ rho \ left (x, y, z, t \ right)} Δψ =-4πρ{\ displaystyle \ Delta \ psi \ = -4 \ pi \ rho}

Advekční rovnice

1-rozměrné proudění tepla rovnice prostoru a času popisuje přepravu množství rychlostí advekčníhou(X,t){\ displaystyle u (x, t)}na{\ displaystyle a}

∂u∂t+na∂u∂X=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné u} {\ částečné t}} + a {\ frac {\ částečné u} {\ částečné x}} = 0}

To má pro roztok pro , kde je počáteční stav na . u(X,t)=η(X-nat){\ displaystyle u (x, t) = \ eta (x-at)}t⩾0{\ displaystyle t \ geqslant 0}η(X){\ displaystyle \ eta (x)}t=0{\ displaystyle t = 0}

Advekční rovnice hraje zásadní roli při studiu metod numerického rozlišení metodou konečných objemů hyperbolických systémů zákonů zachování, jako jsou Eulerovy rovnice v dynamice stlačitelné tekutiny.

Langmuirova vlnová rovnice

Nechť je vlnová funkce a hustota náboje. ψ(X,y,z,t) {\ displaystyle \ psi \ doleva (x, y, z, t \ doprava) \}ρ(X,y,z,t){\ Displaystyle \ rho \ left (x, y, z, t \ right)}

Δψ =1vs.2.∂2ψ∂t2-ρϵ{\ displaystyle \ Delta \ psi \ = {1 \ nad c ^ {2}}. {\ částečné ^ {2} \ psi \ nad \ částečné t ^ {2}} - {\ rho \ nad \ epsilon}}

Tato rovnice popisuje podélné elektrické vlny šířící se v plazmě .

Stokesova rovnice

Stokesův systém, který popisuje tok nestlačitelné newtonovské tekutiny v ustáleném stavu a nízkém Reynoldsově čísle , je napsán:

ηΔproti→=Grnad→p-ρF→{\ displaystyle \ eta \ Delta {\ vec {v}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, p- \ rho {\ vec {f}}} diprotiproti→=0{\ displaystyle {\ rm {div}} \, {\ vec {v}} = 0} Hodnocení:

• proti→(r→){\ displaystyle {\ vec {v}} ({\ vec {r}})} je rychlost tekutiny;
• p(r→){\ displaystyle p ({\ vec {r}})}je tlak v kapalině;
• ρ{\ displaystyle \ rho} je hustota kapaliny
• η{\ displaystyle \ eta}je dynamická viskozita kapaliny;
• F→{\ displaystyle {\ vec {f}}} je hromadná síla vyvíjená v tekutině (například: gravitace);
• Grnad→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}}, div a Δ jsou diferenciální operátory gradient, divergence a Laplacian.

 

Schrödingerova rovnice

iℏ∂ψ∂t =[-ℏ22mΔ+PROTI]ψ{\ displaystyle i \ hbar {\ částečné \ psi \ nad \ částečné t} \ = \ doleva [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ Delta + V \ doprava] \ psi} Hodnocení:

• ψ(X,y,z,t){\ displaystyle \ psi \ doleva (x, y, z, t \ doprava)}, vlnová funkce.
• ℏ {\ displaystyle \ hbar \} snížená Planckova konstanta .
• m je hmotnost částice.
• i{\ displaystyle i}imaginární komplexní číslo jako např .i2=-1{\ displaystyle i ^ {2} = - 1}
• V potenciální operátor (představuje potenciál v kterémkoli bodě), obecně elektrický.
• Δ je Laplacian.

 

Klein-Gordonova rovnice

Buď vlnová funkce. ψ(X,y,z,t){\ displaystyle \ psi \ doleva (x, y, z, t \ doprava)}

-ℏ2∂2ψ∂t2 =-ℏ2vs.2Δψ+m2vs.4ψ{\ displaystyle - \ hbar ^ {2} {\ částečné ^ {2} \ psi \ nad \ částečné t ^ {2}} \ = - \ hbar ^ {2} c ^ {2} \ Delta \ psi + m ^ {2} c ^ {4} \ psi} Hodnocení:

• ψ(X,y,z,t){\ displaystyle \ psi \ doleva (x, y, z, t \ doprava)}, vlnová funkce.
• ℏ {\ displaystyle \ hbar \} snížená Planckova konstanta .
• m je hmotnost částice.
• je to rychlost světla
• Δ je Laplacian.

 

Metody řešení

Analytický přístup

• Charakteristická metoda

Digitální rozlišení

Nejčastěji používané numerické metody pro řešení parciálních diferenciálních rovnic jsou:

• Metoda konečných rozdílů
• Metoda konečných prvků
• Metoda konečného objemu
• Charakteristická metoda

Poznámky a odkazy

1. Stéphane Mottin , „Analytické řešení Laplaceovy rovnice s Robinovými podmínkami pomocí Legendreovy transformace“, Integral Transforms and Special Functions , sv. 27 ( n O  4), 2016, p.289-306. Číst online

Související články

• Frobeniova věta (diferenciální geometrie)
• Cauchy-Kowalevského věta
• Diferenciální operátor
• Pseudo-diferenciální operátor
• Laplaceova transformace
• Základní princip Ehrenpreis

Bibliografie

• VI Arnold: Lekce parciálních diferenciálních rovnic , Cassini, 2016.
• Claire David , Pierre Gosselet: Parciální diferenciální rovnice - kurz a opravená cvičení , 2. vydání. Dunod, 2015.
• Ahmed Lesfari, Obyčejné diferenciální rovnice a parciální diferenciální rovnice - Kurz a opravená cvičení . Elipsy, 2015.
• Edward Goursat: Lekce na integraci parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu s dvěma nezávislými proměnnými, svazek I . Hachette / BNF, 2014.
• Mourad Choulli, Funkční analýza - Parciální diferenciální rovnice - Kurz a opravená cvičení . Vuibert, 2013.
• Hervé Le Dret, nelineární eliptické parciální diferenciální rovnice . Springer, 2013.
• Lionel Roques: Reakčně-difúzní modely pro prostorovou ekologii . Quae, 2013.
• Pierre Dreyfuss: Úvod do analýzy Navier-Stokesových rovnic . Elipsy, 2012.
• Claude Wagschal: Distribuce, mikrolokální analýza, parciální diferenciální rovnice . Hermann, 2011.
• Claude Zuily: Problémy distribuce a parciálních diferenciálních rovnic . Cassini, 2010.
• Bruno Després: Euleriánské, lagraniánské zákony o ochraně přírody a numerické metody . Springer / SMAI, 2010.
• Jacques Hadamard: Cauchyho problém a hyperbolické lineární parciální diferenciální rovnice . Jacques Gabay, 2008.
• Jean Dieudonné: Prvky analýzy - Tome VIII - Lineární funkční rovnice, druhá část, okrajové úlohy . Jacques Gabay, 2008.
• Bruno Després, François Dubois: Hyperbolické systémy zákonů o ochraně přírody . Polytechnická škola, 2005.
• Jean Dieudonné: Prvky analýzy - Tome VII - Lineární funkční rovnice - První část: pseudo-diferenciální operátory . Jacques Gabay, 2003.
• Claude Zuily: Prvky rozdělení a parciální diferenciální rovnice . Dunod, 2002.
• Jacques-Louis Lions: Některé metody řešení problémů s nelineárními limity . Dunod, 2002 (dotisk textu z roku 1969).
• Jean-Michel Rakotoson, Jean-Emile Rakotoson: Funkční analýza aplikovaná na parciální diferenciální rovnice . PUF, 1999.
• Denis Serre: Systémy zákonů ochrany. Já, Hyperbolicita, entropie, rázové vlny . Diderot editor, 1996.
• Denis Serre: Systémy zákonů ochrany. II, Geometrické struktury, oscilace a smíšené úlohy . Diderot editor, 1996.
• A. Martin: Řešená cvičení: parciální diferenciální rovnice . Dunod, 1991.
• H. Reinhard: Parciální diferenciální rovnice - úvod . Dunod, 1991.
• Camille Jordan: Kurz analýzy, díl III, 3. vydání . Jacques Gabay, 1991 (dotisk textu z roku 1915).
• Robert Dautray, Jacques-Louis Lions: Matematická analýza a numerický výpočet pro vědy a techniky . Masson, 1984.
• Jean Vaillant: Hyperbolické a holomorfní parciální diferenciální rovnice . Hermann, 1984.
• Jacques Chazarain, Alain Piriou: Úvod do teorie lineárních parciálních diferenciálních rovnic . Gauthier-Villars, 1981.
• Serge Colombo: Parciální diferenciální rovnice ve fyzice a mechanice spojitých médií . Masson, 1976.
• OA Ladyženskaja, NN Ural'ceva: Parciální diferenciální rovnice eliptického typu . Dunod, 1968.
• J. Necas: Přímé metody v teorii eliptických rovnic . Masson, 1967.
• Édouard Goursat: Lekce o integraci parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu, 2. vydání . Hermann, 1921.
• (en) Lars Hörmander , Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů , Springer-Verlag, 1983-1985. Referenční pojednání ve čtyřech svazcích od příjemce Fieldsovy medaile z roku 1962. Svazek I má podtitul: Teorie distribuce a Fourierova analýza a svazek II: Diferenciální operátory s konstantními koeficienty . Svazky III a IV jsou věnovány moderní teorii pomocí pseudo-diferenciálních operátorů .
• (en) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators , Springer-Verlag, 1963. Tato kniha obsahuje díla, za která byl autor v roce 1962 oceněn polní medailí.
• (v), Yu. V. Egorov a MA Shubin  (v) , Základy klasické teorie parciálních diferenciálních rovnic , Springer-Verlag, 2. th ed., 1998 ( ISBN  3-540-63825-3 ) . První díl v devítidílné sérii napsané pro Encyklopedii matematických věd . Následující svazky jsou věnovány moderní teorii pomocí pseudo-diferenciálních operátorů.
• (en) Michael E. Taylor  (en) , Parciální diferenciální rovnice - základní teorie , kol. "Texty v aplikované matematiky" ( n °  23), Springer-Verlag, 2 th ed., 1999 ( ISBN  0-387-94654-3 ) . První díl ze série, která zahrnuje tři. Následující svazky jsou věnovány moderní teorii pomocí pseudo-diferenciálních operátorů.
• (en) Vladimir I. Arnold , Přednášky o parciálních diferenciálních rovnicích , Springer-Verlag, 2004 ( ISBN  3-540-40448-1 ) .

externí odkazy

• A. Lesfari: Úvod do parciálních diferenciálních rovnic , magisterský kurz, 2014-2015