Lemma Artin-Reese
Lemma Artinova-Rees (také známý jako „teorém Artin - Rees “) je věta z komutativní algebry , který slouží zejména k prokázání vlastnost plochosti na ukončení (v) typ modulů hotové na noetherovských kruhu . Následuje Krullova věta o křižovatce .
Prohlášení
Lema je uvedena následovně.
Artinova-Rees lemma - Nechť být komutativní noetherovských kruh, I ideální z A , M -module konečných typu a N submodul z M . Pak existuje celé číslo k takové, že
(JáneM)∩NE=Jáne-k((JákM)∩NE){\ displaystyle (I ^ {n} M) \ cap N = I ^ {nk} ((I ^ {k} M) \ cap N)}![{\ displaystyle (I ^ {n} M) \ cap N = I ^ {nk} ((I ^ {k} M) \ cap N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/addde40c16487223c46e8acfbf39e10acc6485da)
pro všechna n ≥ k .
Dedukujeme následující větu.
Krullova tečka o průsečíku - Nechť A je noetherovský komutativní prstenec, I ideál A a M - A- modul konečného typu. Takže křižovatka
∩ne>0JáneM{\ displaystyle \ cap _ {n> 0} I ^ {n} M}
se rovná množině takových, že pro určité . Navíc na nich existuje takové nezávislé α .
X∈M{\ displaystyle x \ v M}
(1-α)X=0{\ displaystyle (1- \ alfa) x = 0 \,}
α∈Já{\ displaystyle \ alpha \ v I}
X{\ displaystyle x}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
Dodatky
Následující dva důsledky lze okamžitě odvodit z Artin-Reesova lemmatu a z Krullovy věty o průsečíku.
Důsledek 1 - Nechť být komutativní prsten noetherovských a I , J dva ideály A . Pak existuje celé číslo h takové, že
Jáh∩J⊂JáJ.{\ displaystyle I ^ {h} \ cap J \ podmnožina IJ.}
Důsledek 2 - Nechť být komutativní noetherovský okruh a já ideálem A . Takže křižovatka
∩ne>0Jáne{\ displaystyle \ cap _ {n> 0} I ^ {n}}
je nulová tehdy a jen tehdy, pokud není 1+ prvek I je nula dělitel v A .
Zejména,
- pokud I je obsažena v Jacobson radikálu z A, pak průsečík je nula;
- když je A integrál, je průnik nulový právě tehdy, když I je správný ideál (tj. odlišný od A ).
Demonstrace
Důkaz lemmatu
Demonstrace níže je v zásadě demonstrací Bourbakiho (ve skutečnosti kvůli Cartierovi) a chopil se jej Lang .
V kruhu polynomů A [ X ] zvažte sub- A- algebru
B=⊕ne∈NEJáneXne.{\ displaystyle B = \ oplus _ {n \ in \ mathbb {N}} I ^ {n} X ^ {n}.}
Přičemž A noetherovských, I je konečný typ ideální z A a B je - konečný typ algebry . Jedná se tedy o noetherianský prsten.
Poznámka
MX=NA[X]⊗NAM=⊕ne∈NEXneM,{\ displaystyle M_ {X} = A [X] \ další _ {A} M = \ oplus _ {n \ in \ mathbb {N}} X ^ {n} M,}
a definovat stejným způsobem . Tak je sub [ X ] -module o , zejména dílčí B -module.
NEX{\ displaystyle N_ {X}}
NEX{\ displaystyle N_ {X}}
MX{\ displaystyle M_ {X}}![M_X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6781b549988e883088f5c5994e9011936e2d02f)
Pojďme definovat další sub- B- modul :
MX{\ displaystyle M_ {X}}![M_X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6781b549988e883088f5c5994e9011936e2d02f)
MX′=B⊗NAM=⊕ne∈NEXneJáneM.{\ displaystyle M '_ {X} = B \ otimes _ {A} M = \ oplus _ {n \ in \ mathbb {N}} X ^ {n} I ^ {n} M.}
Protože M je A- modul konečného typu, je B- modul konečného typu, tedy noetherian. Sub- B -module proto generuje konečný počet vektorů. Nechť k je celé číslo zvyšující stupeň v X všech těchto vektorů. Tak,
MX′{\ displaystyle M '_ {X} \,}
MX′∩NEX{\ displaystyle M '_ {X} \ čepice N_ {X}}![{\ displaystyle M '_ {X} \ čepice N_ {X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b57979124811a3b87f8a25f61d88fb7da9d10d)
⊕ne∈NEXne((JáneM)∩NE)=MX′∩NEX=B(⨁j=0kXj((JájM)∩NE)),{\ displaystyle \ oplus _ {n \ in \ mathbb {N}} X ^ {n} ((I ^ {n} M) \ cap N) = M '_ {X} \ cap N_ {X} = B { \ Bigl (} \ bigoplus _ {j = 0} ^ {k} X ^ {j} {\ bigl (} (I ^ {j} M) \ cap N {\ bigr)} {\ Bigr)},}![{\ displaystyle \ oplus _ {n \ in \ mathbb {N}} X ^ {n} ((I ^ {n} M) \ cap N) = M '_ {X} \ cap N_ {X} = B { \ Bigl (} \ bigoplus _ {j = 0} ^ {k} X ^ {j} {\ bigl (} (I ^ {j} M) \ cap N {\ bigr)} {\ Bigr)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78cca8457c005e265f63f3d6d1cdd783d88252eb)
kde za všechno ,
ne≥k{\ displaystyle n \ geq k}![{\ displaystyle n \ geq k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b648b522a88bafaa053be67de36171229c5b3fd5)
JáneM∩NE=∑j=0kJáne-j((JájM)∩NE)=Jáne-k∑j=0kJák-j((JájM)∩NE)⊂Jáne-k((JákM)∩NE),{\ displaystyle I ^ {n} M \ cap N = \ sum _ {j = 0} ^ {k} I ^ {nj} ((I ^ {j} M) \ cap N) = I ^ {nk} \ součet _ {j = 0} ^ {k} I ^ {kj} ((I ^ {j} M) \ cap N) \ podmnožina I ^ {nk} ((I ^ {k} M) \ cap N), }![{\ displaystyle I ^ {n} M \ cap N = \ sum _ {j = 0} ^ {k} I ^ {nj} ((I ^ {j} M) \ cap N) = I ^ {nk} \ součet _ {j = 0} ^ {k} I ^ {kj} ((I ^ {j} M) \ cap N) \ podmnožina I ^ {nk} ((I ^ {k} M) \ cap N), }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f990185dadc277bbe63c71e5b06539575fc2d102)
což dává v jistém smyslu začlenění. To v opačném směru je okamžité.
Důkaz věty
Poznámka . Pokud je vektor x z M je taková, že je prvek α z I , pro něž (1-α) x = 0, pak x = α n x k jakékoliv celé číslo n > 0, takže x patří N . Pro konverzaci si všimněte, že podle lemmatu N = IN . Na Nakayama lemma uzavřít.
NE=∩ne>0JáneM{\ displaystyle N = \ cap _ {n> 0} I ^ {n} M}![{\ displaystyle N = \ cap _ {n> 0} I ^ {n} M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f0b988e66c5505ec7bccba90431bac049bb4d9)
Reference
-
N. Bourbaki , Elementy matematiky , komutativní algebra , kapitola III, § 3
-
(en) David Eisenbud , komutativní algebra s pohledem směrem k algebraické geometrii , kol. " GTM " ( n o 150), § 5.1 a § 5.3
-
Serge Lang , Algebra [ detail vydání ], kap. VI, cvičení 2 a 3
-
(en) Oscar Zariski a Pierre Samuel , komutativní algebra , sv. Já, kap. IV, § 7
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">