Gaussovo lemma (Riemannova geometrie)

V Riemannian geometrii , Gauss je lemma nám umožňuje pochopit exponenciální mapa jako radiální izometrie . V následujícím textu, ať M je Riemannian potrubí obdařen spojení Levi-Civita (tedy zejména, toto spojení je symetrický a je kompatibilní s metrický z M ).

Úvod

Definovali jsme na exponenciální aplikaci v par M{\ displaystyle M}p∈M{\ displaystyle p \ v M}

expp:TpM⊃Bϵ(0)⟶M,proti⟼y(1,p,proti),{\ displaystyle \ exp _ {p}: T_ {p} M \ supset B _ {\ epsilon} (0) \ longrightarrow M, \ qquad v \ longmapsto \ gamma (1, p, v),}

kde jsme museli omezit definiční oblast na kouli o poloměru a středu, abychom se ujistili, že je dobře definovaná, a kde je bod dosažen sledováním jedinečné geodetiky procházející bodem rychlostí na dálku . Velmi snadno si všimneme, že se jedná o místní difeomorfismus . Opravdu, nechť je diferencovatelná křivka taková a . Stejně jako je zřejmé, že je možné si zvolit . V tomto případě získáme definicí diferenciálu exponenciálu v aplikovaném naTpM{\ displaystyle T_ {p} M}Bϵ(0){\ displaystyle B _ {\ epsilon} (0)}ϵ>0{\ displaystyle \ epsilon> 0}0{\ displaystyle 0}expp{\ displaystyle \ exp _ {p}}y(1,p,proti){\ displaystyle \ gamma (1, p, v)}q∈M{\ displaystyle q \ v M}y{\ displaystyle \ gamma}p∈M{\ displaystyle p \ v M}proti|proti|∈TpM{\ displaystyle {\ frac {v} {\ vert v \ vert}} \ v T_ {p} M}|proti|{\ displaystyle \ green v \ green}expp{\ displaystyle \ exp _ {p}}0∈Bϵ(0){\ displaystyle 0 \ v B _ {\ epsilon} (0)}α:Já→TpM{\ displaystyle \ alpha: I \ rightarrow T_ {p} M}TpM{\ displaystyle T_ {p} M}α(0): =0{\ displaystyle \ alpha (0): = 0}α′(0): =proti{\ displaystyle \ alpha '(0): = v}TpM≅Rne{\ displaystyle T_ {p} M \ cong \ mathbb {R} ^ {n}}α(t): =protit{\ displaystyle \ alpha (t): = vt}0{\ displaystyle 0}proti{\ displaystyle v}

T0expp⁡(proti)=ddt(expp∘α(t))|t=0=ddt(expp⁡(protit))|t=0=ddt(y(1,p,protit))|t=0=y′(t,p,proti)|t=0=proti.{\ displaystyle T_ {0} \ exp _ {p} (v) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ Bigl (} \ exp _ {p} \ circ \ alpha (t) {\ Bigr)} {\ Big \ vert} _ {t = 0} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ Bigl (} \ exp _ { p} (vt) {\ Bigr)} {\ Big \ vert} _ {t = 0} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ Bigl (} \ gamma ( 1, p, vt) {\ Bigr)} {\ Big \ vert} _ {t = 0} = \ gamma '(t, p, v) {\ Big \ vert} _ {t = 0} = v.}

Skutečnost, že jde o lokální difeomorfismus a která nám pro všechny umožňuje konstatovat, že jde o lokální izometrii kolem 0 , tj. expp{\ displaystyle \ exp _ {p}}T0expp⁡(proti)=proti{\ displaystyle T_ {0} \ exp _ {p} (v) = v}proti∈Bϵ(0){\ displaystyle v \ in B _ {\ epsilon} (0)}expp{\ displaystyle \ exp _ {p}}

⟨T0expp⁡(proti),T0expp⁡(w)⟩0=⟨proti,w⟩p∀proti,w∈Bϵ(0).{\ displaystyle \ langle T_ {0} \ exp _ {p} (v), T_ {0} \ exp _ {p} (w) \ rangle _ {0} = \ langle v, w \ rangle _ {p} \ qquad \ forall v, w \ in B _ {\ epsilon} (0).}

To zejména znamená, že je možné identifikovat míč s malým sousedstvím kolem . Už jsme rádi, že se jedná o místní izometrii, ale chtěli bychom, aby to bylo o něco víc. Ukazuje se, že je ve skutečnosti možné ukázat, že tato aplikace je dokonce radiální izometrie . Bϵ(0)⊂TpM{\ displaystyle B _ {\ epsilon} (0) \ podmnožina T_ {p} M}p∈M{\ displaystyle p \ v M}expp{\ displaystyle \ exp _ {p}}

Gaussovo lema: exponenciální jako radiální izometrie

Buď . V následujícím textu provedeme identifikaci . Gaussovo lemma říká: p∈M{\ displaystyle p \ v M}TprotiTpM≅TpM≅Rne{\ displaystyle T_ {vb} T_ {p} M \ cong T_ {p} M \ cong \ mathbb {R} ^ {n}}

Nechte a . Tak, proti,w∈Bϵ(0)⊂TprotiTpM≅TpM{\ displaystyle v, w \ in B _ {\ epsilon} (0) \ podmnožina T_ {v} T_ {p} M \ cong T_ {p} M}M∋q: =expp⁡(proti){\ displaystyle M \ ni q: = \ exp _ {p} (v)}

⟨Tprotiexpp⁡(proti),Tprotiexpp⁡(w)⟩q=⟨proti,w⟩p.{\ displaystyle \ langle T_ {v} \ exp _ {p} (v), T_ {v} \ exp _ {p} (w) \ rangle _ {q} = \ langle v, w \ rangle _ {p} .}

Pro toto lemma znamená, že je radiální isometry v následujícím smyslu: to je , tedy tak, že je dobře definován. Navíc, budiž . Potom exponenciální zůstává izometrie v , a obecněji, v celé geodetické (pokud je dobře definována). Radiálně tedy ve všech směrech povolených definiční oblastí zůstává izometrií. p∈M{\ displaystyle p \ v M}expp⁡ {\ displaystyle \ exp _ {p} \}proti∈Bϵ(0){\ displaystyle v \ in B _ {\ epsilon} (0)}expp⁡ {\ displaystyle \ exp _ {p} \}q: =expp⁡(proti)∈M{\ displaystyle q: = \ exp _ {p} (v) \ v M}expp⁡ {\ displaystyle \ exp _ {p} \}q {\ displaystyle q \}y {\ displaystyle \ gamma \}y(1,p,proti)=expp⁡(proti) {\ displaystyle \ gamma (1, p, v) = \ exp _ {p} (v) \}expp⁡ {\ displaystyle \ exp _ {p} \}

Demonstrace

pamatujme si to

Tprotiexpp:TpM≅TprotiTpM⊃TprotiBϵ(0)⟶TqM.{\ displaystyle T_ {vb} \ exp _ {p}: T_ {p} M \ cong T_ {v} T_ {p} M \ supset T_ {v} B _ {\ epsilon} (0) \ longrightarrow T_ {q } M.}

Postupujeme ve třech krocích:

• Tprotiexpp⁡(proti)=proti {\ displaystyle T_ {vb} \ exp _ {p} (v) = v \} : Konstruovat křivku tak, že , a . Jako , můžeme pózovat . Tak,α:R⊃Já→TpM{\ displaystyle \ alpha: \ mathbb {R} \ supset I \ rightarrow T_ {p} M}α(0): =proti∈TpM{\ displaystyle \ alpha (0): = v \ v T_ {p} M}α′(0): =proti∈TprotiTpM≅TpM{\ displaystyle \ alpha '(0): = v \ v T_ {v} T_ {p} M \ cong T_ {p} M}|proti|=vs.stE{\ displaystyle | v | = cste}TprotiTpM≅TpM≅Rne{\ displaystyle T_ {vb} T_ {p} M \ cong T_ {p} M \ cong \ mathbb {R} ^ {n}}α(t): =Etproti {\ displaystyle \ alpha (t): = e ^ {t} v \}

Tprotiexpp⁡(proti)=ddt(expp∘α(t))|t=0=ddty(t,p,proti)|t=0=proti.{\ displaystyle T_ {v} \ exp _ {p} (v) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ Bigl (} \ exp _ {p} \ circ \ alpha (t) {\ Bigr)} {\ Big \ vert} _ {t = 0} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ gamma (t, p, v) {\ Big \ green} _ {t = 0} = v.}

Teď pojďme vypočítat bodový součin . ⟨Tprotiexpp⁡(proti),Tprotiexpp⁡(w)⟩{\ displaystyle \ langle T_ {v} \ exp _ {p} (v), T_ {v} \ exp _ {p} (w) \ rangle}

Rozložme se na komponentu tečnou ke komponentě normální . Zejména se zeptat , . w {\ displaystyle w \}wT {\ displaystyle w_ {T} \}proti {\ displaystyle v \}wNE {\ displaystyle w_ {N} \}proti {\ displaystyle v \}wT: =αproti {\ displaystyle w_ {T}: = \ alpha v \}α∈R{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}

Předchozí krok pak přímo zahrnuje:

⟨Tprotiexpp⁡(proti),Tprotiexpp⁡(w)⟩=⟨Tprotiexpp⁡(proti),Tprotiexpp⁡(wT)⟩+⟨Tprotiexpp⁡(proti),Tprotiexpp⁡(wNE)⟩=α⟨Tprotiexpp⁡(proti),Tprotiexpp⁡(proti)⟩+⟨Tprotiexpp⁡(proti),Tprotiexpp⁡(wNE)⟩=⟨proti,wT⟩+⟨Tprotiexpp⁡(proti),Tprotiexpp⁡(wNE)⟩.{\ displaystyle \ langle T_ {v} \ exp _ {p} (v), T_ {v} \ exp _ {p} (w) \ rangle = \ langle T_ {v} \ exp _ {p} (v) , T_ {v} \ exp _ {p} (w_ {T}) \ rangle + \ langle T_ {v} \ exp _ {p} (v), T_ {v} \ exp _ {p} (w_ {N }) \ rangle = \ alpha \ langle T_ {v} \ exp _ {p} (v), T_ {v} \ exp _ {p} (v) \ rangle + \ langle T_ {v} \ exp _ {p } (v), T_ {v} \ exp _ {p} (w_ {N}) \ rangle = \ langle v, w_ {T} \ rangle + \ langle T_ {v} \ exp _ {p} (v) , T_ {v} \ exp _ {p} (w_ {N}) \ rangle.}

Musíme tedy ukázat, že druhý člen je nula, protože podle Gaussova lematu bychom měli mít

⟨Tprotiexpp⁡(proti),Tprotiexpp⁡(wNE)⟩=⟨proti,wNE⟩=0.{\ displaystyle \ langle T_ {v} \ exp _ {p} (v), T_ {v} \ exp _ {p} (w_ {N}) \ rangle = \ langle v, w_ {N} \ rangle = 0 .}

• ⟨Tprotiexpp⁡(proti),Tprotiexpp⁡(wNE)⟩=0{\ displaystyle \ langle T_ {v} \ exp _ {p} (v), T_ {v} \ exp _ {p} (w_ {N}) \ rangle = 0} :

definujte křivku

α:]-ϵ,ϵ[×[0,1]⟶TpM,(s,t)⟼t⋅proti(s),{\ displaystyle \ alpha:] - \ epsilon, \ epsilon [\ krát [0,1] \ longrightarrow T_ {p} M, \ qquad (s, t) \ longmapsto t \ cdot v (s),}

s a . To jsme si mimochodem všimli proti(0): =proti {\ displaystyle v (0): = v \}proti′(0): =wNE {\ displaystyle v '(0): = w_ {N} \}

α(0,1)=proti(0)=proti,∂α∂t(0,t)=proti(0)=proti,∂α∂s(0,t)=twNE.{\ displaystyle \ alpha (0,1) = proti (0) = proti, \ qquad {\ frac {\ částečné \ alpha} {\ částečné t}} (0, t) = proti (0) = proti, \ qquad {\ frac {\ částečné \ alpha} {\ částečné s}} (0, t) = tw_ {N}.}

Pojďme pak pózovat

F:]-ϵ,ϵ[×[0,1]⟶M,(s,t)⟼expp⁡(t⋅proti(s)),{\ displaystyle f:] - \ epsilon, \ epsilon [\ krát [0,1] \ longrightarrow M, \ qquad (s, t) \ longmapsto \ exp _ {p} (t \ cdot v (s)),}

a vypočítat:

Tprotiexpp⁡(proti)=Tα(0,1)expp⁡(∂α∂t(0,1))=∂∂t(expp∘α(s,t))|t=1,s=0=∂F∂t(0,1){\ displaystyle T_ {v} \ exp _ {p} (v) = T _ {\ alpha (0,1)} \ exp _ {p} \ left ({\ frac {\ částečné \ alpha} {\ částečné t }} (0,1) \ vpravo) = {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} {\ Bigl (} \ exp _ {p} \ circ \ alfa (s, t) {\ Bigr)} { \ Big \ vert} _ {t = 1, s = 0} = {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}} (0,1)}

a

Tprotiexpp⁡(wNE)=Tα(0,1)expp⁡(∂α∂s(0,1))=∂∂s(expp∘α(s,t))|t=1,s=0=∂F∂s(0,1).{\ displaystyle T_ {v} \ exp _ {p} (w_ {N}) = T _ {\ alpha (0,1)} \ exp _ {p} \ left ({\ frac {\ částečné \ alpha} { \ částečné s}} (0,1) \ pravé) = {\ frac {\ částečné} {\ částečné s}} {\ Bigl (} \ exp _ {p} \ circ \ alfa (s, t) {\ Bigr )} {\ Big \ vert} _ {t = 1, s = 0} = {\ frac {\ částečný f} {\ částečný s}} (0,1).}

Proto,

⟨Tprotiexpp⁡(proti),Tprotiexpp⁡(wNE)⟩=⟨∂F∂t,∂F∂s⟩(0,1).{\ displaystyle \ langle T_ {v} \ exp _ {p} (v), T_ {v} \ exp _ {p} (w_ {N}) \ rangle = \ langle {\ frac {\ parciální f} {\ parciální t}}, {\ frac {\ parciální f} {\ parciální s}} \ rangle (0,1).}

Nyní ověříme, že tento skalární součin je ve skutečnosti nezávislý na proměnné t , a proto například

⟨∂F∂t,∂F∂s⟩(0,1)=⟨∂F∂t,∂F∂s⟩(0,0)=0,{\ displaystyle \ langle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}}, {\ frac {\ částečné f} {\ částečné s}} \ rangle (0,1) = \ langle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}}, {\ frac {\ částečné f} {\ částečné s}} \ rangle (0,0) = 0,}

protože podle toho, co bylo uvedeno výše,

limt→0∂F∂s(t,0)=limt→0Ttprotiexpp⁡(twNE)=0{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow 0} {\ frac {\ parciální f} {\ parciální s}} (t, 0) = \ lim _ {t \ rightarrow 0} T_ {tv} \ exp _ {p } (tw_ {N}) = 0}

protože rozdíl je lineární aplikace. To by pak dokázalo lemma.

• Zkontrolujeme to  : jedná se o přímý výpočet. Nejprve si uvědomíme, že aplikace jsou geodetické, tj . Tak,∂∂t⟨∂F∂t,∂F∂s⟩=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} \ langle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}}, {\ frac {\ částečné f} {\ částečné s}} \ rangle = 0}t↦F(s,t){\ displaystyle t \ mapsto f (s, t)}D∂t∂F∂t=0{\ displaystyle {\ frac {D} {\ částečné t}} {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}} = 0}

∂∂t⟨∂F∂t,∂F∂s⟩=⟨D∂t∂F∂t⏟=0,∂F∂s⟩+⟨∂F∂t,D∂t∂F∂s⟩=⟨∂F∂t,D∂s∂F∂t⟩=∂∂s⟨∂F∂t,∂F∂t⟩-⟨∂F∂t,D∂s∂F∂t⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} \ langle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}}, {\ frac {\ částečné f} {\ částečné s}} \ rangle = \ langle \ underbrace {{\ frac {D} {\ částečné t}} {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}}} _ {= 0}, {\ frac {\ částečné f} {\ částečné s }} \ rangle + \ langle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}}, {\ frac {D} {\ částečné t}} {\ frac {\ částečné f} {\ částečné s}} \ rangle = \ langle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}}, {\ frac {D} {\ částečné s}} {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}} \ rangle = {\ frac {\ částečné} {\ částečné s}} \ langle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}}, {\ frac {\ částečné f} {\ částečné}} \ rangle - \ langle {\ frac { \ částečné f} {\ částečné t}}, {\ frac {D} {\ částečné s}} {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}} \ rangle.}

Takže zejména

0=12∂∂s⟨∂F∂t,∂F∂t⟩=⟨∂F∂t,D∂s∂F∂t⟩=∂∂t⟨∂F∂t,∂F∂s⟩,{\ displaystyle 0 = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné s}} \ langle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}}, {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}} \ rangle = \ langle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}}, {\ frac {D} {\ částečné s}} {\ frac {\ částečné f} { \ částečné t}} \ rangle = {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} \ langle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}}, {\ frac {\ částečné f} {\ částečné s }} \ rangle,}

protože máme . |proti|=vs.stE{\ displaystyle | v | = cste}

Odkaz

(en) Manfredo Perdigão do Carmo , Riemannova geometrie , Boston, Birkhäuser Verlag ,1992, 300  s. ( ISBN  978-0-8176-3490-2 )

Související články

• Diferenciální geometrie povrchů
• Metrický tenzor

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">