Diferenciální geometrie povrchů

V matematice je diferenciální geometrie povrchů větev diferenciální geometrie, která se zabývá povrchy (geometrické objekty obvyklého prostoru E 3 nebo jejich zobecnění, které jsou varietami dimenze 2), případně opatřenými dalšími strukturami, tím více často riemannovská metrika .

Kromě klasických povrchů euklidovské geometrie ( koule , kužely , válce atd.) Se povrchy objevují přirozeně jako grafy funkcí dvou proměnných nebo v parametrické formě jako množiny popsané rodinou křivek v prostoru. Povrchy byly studovány z různých úhlů pohledu, tak vnějších , zaměřujících se na jejich zalití do euklidovského prostoru , a tak pouze v podstatě jde o to, že vlastnosti, které lze určit ze vzdálenosti měřené podél křivek nakreslených na povrchu. Jedním z takto objevených základních konceptů je Gaussovo zakřivení , které do hloubky studoval Carl Friedrich Gauss (v letech 1825 až 1827) a které ukázalo svůj přirozený charakter.

V duchu Erlangenu programu , Lež skupin , přesněji symetrie skupin euklidovské roviny, koule a hyperbolického letadla, hrály důležitou roli při studiu povrchů. Tyto skupiny se používají k popisu povrchů s konstantním zakřivením; tvoří také základní nástroj v moderním přístupu k vlastní diferenciální geometrii pomocí spojení . Vnější vlastnosti v závislosti na zapuštění povrchu do euklidovského prostoru byly také široce studovány. Vztahy mezi těmito dvěma přístupy jsou dobře ilustrovány případě Euler-Lagrangeových rovnic na variačním  : i když Euler použil univariable rovnice pro určení geodetiky , které je možno definovat vnitřně, jeden z hlavních aplikací Lagrangeových dvou-proměnné rovnice bylo studium minimálních povrchů , vnější koncept, který má smysl pouze pro vložení.

Historie teorie povrchů

Určité vlastnosti revolučních povrchů již byly známy Archimédovi . Vývoj počtu v XVII th  století umožnily systematičtěji analyzovat, jak se např věty Guldin . Obecnější povrchy studoval Euler  ; v roce 1760 ( Euler 1760 ) získal vzorec udávající zakřivení rovinného řezu libovolného povrchu a v roce 1771 ( Euler 1771 ) se zajímal o povrchy reprezentované v parametrickém tvaru. Monge uvedl základní principy této teorie ve své klasické monografii The Application of Analysis to Geometry , která se objevila v roce 1795.

Skutečně základním přínosem teorie povrchů byl Gauss ve dvou pozoruhodných dokumentech napsaných v letech 1825 a 1827 ( Gauss 1827 ) . Poprvé tam Gauss uvažoval o vnitřní geometrii povrchu, to znamená o vlastnostech určených pouze geodetickou vzdáleností mezi body, nezávisle na konkrétním zapuštění povrchu do okolního euklidovského prostoru. Vrcholným výsledkem této práce, teorémou egregium , bylo ukázáno , že Gaussovo zakřivení je přirozeným invariantem, nezměněným místními izometriemi . Tento pohled rozšířil Bernhard Riemann do prostorů vyšších dimenzí , což vedlo k tomu, čemu se dnes říká Riemannova geometrie .

XIX th  století byl zlatý věk teorii ploch, zda je topologicky nebo diferenciál, většina inspektoři pak je zájem o jejich studium. Darboux spojuje mnoho z jejich výsledků ve svém čtyřsvazkovém pojednání Théorie des povrchy (1887-1896). Na přelomu století měl Poincaré teorii dále rozvíjet a kombinovat ji (mimo jiné) s metodami algebraické topologie .

Od dvacátých let 20. století dostala teorie povrchů silnější koncepční rámec zavedením pojmu spojení pod vedením Tullia Levi-Civity , Élie Cartana a Hermanna Weyla (motivované zejména myšlenkami z fyziky a konkrétněji z obecné relativity ).

Zakřivení povrchů E 3

Zpočátku Gauss definoval (ne přísně) zakřivení povrchu pomocí zakřivení určitých rovinných křivek s ním spojených. Následně objevil soubor ekvivalentních definic; jeden z nich využíval vlastnosti transformace oblasti pomocí Gaussovy aplikace, aplikace posílající povrch na kouli (dimenze 2). Aby však bylo možné získat podstatnější definici, pokud jde o oblast a obvod malých trojúhelníků, musel Gauss hlouběji studovat vlastnosti geodetiky povrchu, to znamená cesty kratší délky mezi dvěma body. dáno, jak uvidíme níže.

Gaussian zakřivení v bodě A (hladký) povrch ponořila do obvyklého euklidovském prostoru E 3 (označené na R 3 pomocí systému kartézských souřadnic) a vzhledem k tomu, lokálně v E 3 rovnicí Z = F ( x , y ) je definován jako produkt hlavních zakřivení v tomto bodě ( Berger 2003 )  ; střední zakřivení je definován jako jejich poloviční částky. Hlavní zakřivení jsou maximální a minimální zakřivení (rovinných) křivek získaných řezáním povrchu rovinami kolmými k rovině tečné ke studovanému bodu. Pokud je tento bod zvolen jako počátek souřadného systému, (0, 0, 0), a tečná rovina je dána z = 0, pak po vhodné rotaci kolem osy z, která ruší xy člen , F připouští Taylorovu sériový vývoj

F(X,y)=12k1X2+12k2y2+...{\ displaystyle F (x, y) = {\ frac {1} {2}} k_ {1} x ^ {2} + {\ frac {1} {2}} k_ {2} y ^ {2} + \ ldots}

V tomto případě jsou hlavní zakřivení k 1 a k 2 , Gaussovo zakřivení je dáno a průměrné zakřivení je . K.=k1k2{\ displaystyle K = k_ {1} k_ {2}}K.m=k1+k22{\ displaystyle \ scriptstyle K_ {m} = {\ tfrac {k_ {1} + k_ {2}} {2}}}

Jak je K a K m jsou neměnné pomocí isometries z E 3 , jsme se nakonec získá v obecném případě

K.=∂2F∂X2∂2F∂y2-(∂2F∂X∂y)2(1+(∂F∂X)2+(∂F∂y)2)2=FXXFyy-FXy2(1+FX2+Fy2)2  {\ displaystyle {\ begin {aligned} K & = {\ frac {{\ frac {\ částečné ^ {2} F} {\ částečné x ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} F} {\ částečné y ^ {2}}} - \ levé ({\ frac {\ částečné ^ {2} F} {\ částečné x \ částečné y}} \ pravé) ^ {2}} {\ levé (1+ \ vlevo ({\ frac {\ částečné F} {\ částečné x}} \ pravé) ^ {2} + \ levé ({\ frac {\ částečné F} {\ částečné y}} \ pravé) ^ {2} \ pravé ) ^ {2}}} = {\ frac {F_ {xx} F_ {yy} -F_ {xy} ^ {2}} {\ vlevo (1 + F_ {x} ^ {2} + F_ {y} ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ \ \ end {zarovnáno}}}

a

  K.m=(1+(∂F∂X)2)∂2F∂y2-2∂F∂X∂F∂y∂2F∂X∂y+(1+(∂F∂y)2)∂2F∂X22(1+(∂F∂X)2+(∂F∂y)2)3/2=(1+FX2)Fyy-2FXFyFXy+(1+Fy2)FXX2(1+FX2+Fy2)3/2{\ displaystyle \ \ {\ začátek {zarovnáno} K_ {m} & = {\ frac {\ vlevo (1+ \ vlevo ({\ frac {\ částečné F} {\ částečné x}} \ vpravo) ^ {2} \ right) {\ frac {\ částečné ^ {2} F} {\ částečné y ^ {2}}} - 2 {\ frac {\ částečné F} {\ částečné x}} {\ frac {\ částečné F} { \ částečné y}} {\ frac {\ částečné ^ {2} F} {\ částečné x \ částečné y}} + \ vlevo (1+ \ vlevo ({\ frac {\ částečné F} {\ částečné y}} \ vpravo) ^ {2} \ vpravo) {\ frac {\ částečné ^ {2} F} {\ částečné x ^ {2}}}} {2 \ vlevo (1+ \ vlevo ({\ frac {\ částečné F} {\ částečné x}} \ pravé) ^ {2} + \ levé ({\ frac {\ částečné F} {\ částečné y}} \ pravé) ^ {2} \ pravé) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ left (1 + F_ {x} ^ {2} \ right) F_ {yy} -2F_ {x} F_ {y} F_ {xy} + \ left (1 + F_ {y} ^ {2 } \ right) F_ {xx}} {2 \ left (1 + F_ {x} ^ {2} + F_ {y} ^ {2} \ right) ^ {3/2}}} \ end {aligned}} },

kde parciální derivace jsou převzaty ve studovaném bodě ( Eisenhart 2004 , s.  123) .

U orientovaného povrchu posílá Gaussova mapa každý bod povrchu do normálního vektoru jednotky v tečné rovině v tomto bodě (směřující ven), přičemž tento vektor je identifikován v bodě jednotkové koule. Tato aplikace proto odešle souřadný bod do  ; přímý výpočet ( Singer a Thorpe 1967 , s.  223) poté ukazuje, že Gaussovo zakřivení je jakobiánem Gaussovy mapy. (X,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}NE(X,y,z)=(FX2+Fy2+1)-1/2⋅(FX,Fy,-1){\ displaystyle \ scriptstyle N (x, y, z) = (F_ {x} ^ {2} + F_ {y} ^ {2} +1) ^ {- 1/2} \ cdot (F_ {x}, F_ {y}, - 1)}

Příklady

Revoluční povrchy

Rotační plocha může být například získána otáčením křivku xz roviny kolem z osy , za předpokladu, že křivka neprotíná této osy. Za předpokladu, že křivka je dána (s t v rozmezí od až b ), a že bod parametrizovány t pohybuje po křivce při rychlosti jednotka ( t je tedy délka oblouku), což je -to říci, že se rotační plocha je pak množina bodůX=φ(t),z=ψ(t){\ displaystyle x = \ varphi (t), \, \, z = \ psi (t)}φ˙2+ψ˙2=1{\ displaystyle {\ dot {\ varphi}} ^ {2} + {\ dot {\ psi}} ^ {2} = 1}{M(φ(t)cos⁡θ,φ(t)hřích⁡θ,ψ(t)):t∈]na,b[,θ∈[0,2π[}.{\ displaystyle \ {M (\ varphi (t) \ cos \ theta, \ varphi (t) \ sin \ theta, \ psi (t)) \ dvojtečka t \ v] a, b [, \ theta \ v [0 , 2 \ pi [\}.}

Gaussovo zakřivení a střední zakřivení jsou pak dány ( do Carmo 1976 , s.  161-162)  :

K.=-φ¨φ,K.m=-ψ˙+φ(ψ˙φ¨-ψ¨φ˙)2φ.{\ displaystyle K = - {{\ ddot {\ varphi}} \ přes \ varphi}, \, \, K_ {m} = {- {\ dot {\ psi}} + \ varphi ({\ dot {\ psi }} {\ ddot {\ varphi}} - {\ ddot {\ psi}} {\ dot {\ varphi}}) \ přes 2 \ varphi}.}

Geodetika povrchu revoluce se řídí klairautským vztahem  :

r(t)cos⁡θ(t)={\ Displaystyle r (t) \ cos \ theta (t) =} konstantní.

Kvadrics

Nechť kvadrik definuje

X2na+y2b+z2vs.=1.{\ displaystyle {x ^ {2} \ nad a} + {y ^ {2} \ nad b} + {z ^ {2} \ nad c} = 1.}

Tuto plochu lze parametrizovat ( Eisenhart 2004 , s.  228-229) pomocí

X=na(na-u)(na-proti)(na-b)(na-vs.),y=b(b-u)(b-proti)(b-na)(b-vs.),z=vs.(vs.-u)(vs.-proti)(vs.-b)(vs.-na).{\ displaystyle x = {\ sqrt {a (au) (av) \ over (ab) (ac)}}, \, \, y = {\ sqrt {b (bu) (bv) \ over (ba) ( bc)}}, \, \, z = {\ sqrt {c (cu) (cv) \ over (cb) (ca)}}.}

kde u a v jsou dvě reálné (čímž jsou radicandy kladné)

Gaussovo zakřivení a střední zakřivení jsou pak dány vztahem

K.=nabvs.u2proti2,K.m=-u+proti2nabvs.u3proti3.{\ displaystyle K = {abc \ nad u ^ {2} v ^ {2}}, \, \, K_ {m} = - {u + v \ nad 2} {\ sqrt {abc \ nad u ^ {3 } v ^ {3}}}.}

Vládl povrchy

Rozhodl povrch je povrch, který může být vytvořen pohybem přímky v E 3 . Volba directrix na povrchu, tj. Diferencovatelná křivka c ( t ), cestovala jednotkovou rychlostí a kolmá k přímkám, a poté výběr jednotkových vektorů u ( t ) směřujících v každém bodě c ( t ) přímky procházející touto bodu, vektor rychlosti v ( t ) = c t vyhovuje

u⋅proti=0,‖u‖=1,‖proti‖=1.{\ Displaystyle u \ cdot v = 0, \, \, \ | u \ | = 1, \, \, \, v \ | = 1.}

Povrch je tvořen body s libovolnými s a t . vs.(t)+s×u(t){\ displaystyle c (t) + s \ krát u (t)}

Potom nastavením (kde, stejně jako v , u t označuje derivaci vzhledem k t ), je Gaussova křivka a střední křivka dána vztahem na=‖ut‖,b=ut⋅proti,α=-b/na2,β=(na2-b2)/na4{\ displaystyle a = \ | u_ {t} \ |, \, \, b = u_ {t} \ cdot v, \, \, \ alpha = -b / a ^ {2}, \, \, \ beta = (a ^ {2} -b ^ {2}) / a ^ {4}}

K.=-β2(s-α)2+β2,{\ displaystyle K = - {\ beta ^ {2} \ over (s- \ alpha) ^ {2} + \ beta ^ {2}}, \,}K.m=-r[(s-α)2+β2)]+βt(s-α)+βαt2[(s-α)2+β2]3/2.{\ displaystyle \, K_ {m} = - {r [(s- \ alpha) ^ {2} + \ beta ^ {2})] + \ beta _ {t} (s- \ alpha) + \ beta \ alpha _ {t} \ přes 2 [(s- \ alpha) ^ {2} + \ beta ^ {2}] ^ {3/2}}.}

Gaussovo zakřivení mizí právě tehdy, jsou-li dva vektory u t a v kolineární ( do Carmo 1976 , s.  194) . Tato podmínka je ekvivalentní tomu, zda je povrch obálkou rodiny rovin definovaných body křivky, tečným vektorem v a ortogonálním vektorem u , tj. Povrch je rozvinutelný podél křivky ( Eisenhart 2004 , s.  61- 65) . Obecněji řečeno, povrch E 3 má nulové Gaussovo zakřivení v sousedství bodu tehdy a jen tehdy, pokud je možné jej vyvinout poblíž tohoto bodu ( Eisenhart 2004 ) (ekvivalentní podmínka používající metriku bude uvedena níže).

Minimální povrchy

V roce 1760 Lagrange zobecnil na případ dvou proměnných Eulerovy výsledky týkající se výpočtu variací pro integrály do jedné proměnné. Snažil se vyřešit následující problém: „Vzhledem k uzavřené křivce E 3 určete povrch minimální plochy mající tuto křivku jako hranici. „ Takový povrch se nazývá minimální plocha .

V roce 1776 Meusnier ukázal, že diferenciální rovnice získaná Lagrangeem byla ekvivalentní podmínce středního zakřivení: „Povrch je minimální právě tehdy, pokud je jeho střední zakřivení v kterémkoli bodě nulové. "

Minimální povrchy mají konkrétní fyzikální interpretaci: mají podobu filmu mýdla podporovaného kovovým drátem. To bude experimentálně získat řešení v jednoduchých případech, tato metoda by belgický fyzik používá Joseph Plateau v polovině XIX -tého  století; otázka, zda pro daný obrys vždy existuje minimální plocha, byla nazývána problémem plošiny a byla vyřešena (kladně) v roce 1930 Jessem Douglasem a Tiborem Radóem  ; Douglas obdržel jednu z prvních Fieldových medailí za tuto práci v roce 1936.

Mnoho explicitní příkladů minimální plochy jsou známé, jako je například catenoid , na spirálové , na povrchy Scherk a povrchem Enneper . Jedná se o široké pole výzkumu, jehož syntézu lze nalézt v ( Osserman 2002 ). Zejména Ossermanův výsledek ukazuje, že pro jakýkoli nerovinný minimální povrch je jeho obraz Gaussovým mapováním hustý v S 2 .

Konstantní zakřivené povrchy

Povrch konstantní zakřivení je povrch, který má stejnou Gaussian zakřivení v každém bodě.

• Jednotka koule z E 3 má konstantní zakřivení +1.
• Euklidovská rovina a válec mají konstantní zakřivení nula. Tyto kužele , a obecněji, všechny rozvinutelné plochy , poskytují další příklady nulové zakřivení povrchů.
• Rotační plochy generované (s předchozími notacemi) křivkou , s t křivočarou úsečkou křivky, mají konstantní zakřivení právě tehdy, je-li konstantní. Ve skutečnosti je tento podíl opačný ke zakřivení. Zvláštní případy zakřivení 1 jsou dány vztahem . Případ C = 1 vrací jednotkovou sféru. Určení ostatních povrchů zakřivení 1 vyžaduje k vyjádření z použití eliptických integrálů . Pro zakřivení máme například . První případ s C = 1 odpovídá klasické pseudosféře generované rotací traktoru kolem jeho asymptoty. V roce 1868 Eugenio Beltrami ukázal, že geometrie pseudosféry přímo souvisí s geometrií hyperbolické roviny , kterou nezávisle objevili Lobachevski (v roce 1830) a Bolyai (v roce 1832). Již v roce 1840 získal F. Minding, žák Gaussova, trigonometrické vztahy pro pseudosféru stejné jako pro hyperbolickou rovinu ( Stillwell 1996 , s.  1-5) . Tento povrch je nyní lépe pochopitelný pomocí Poincarého metriky na polorovině nebo na jednotkovém disku a je také popsán jinými modely, jako je Kleinův model nebo Minkowského model získaný uvažováním o hyperboloidním ubrusu v trojrozměrném Minkowského prostoru ( Wilson 2008 ) .X=φ(t),z=ψ(t){\ displaystyle x = \ varphi (t), z = \ psi (t)} φ¨φ{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ varphi}} {\ varphi}}}φ=VShřích⁡(t){\ displaystyle \ varphi = C \ sin (t)}-1{\ displaystyle -1}φ(t)=VSEt,VShovadina⁡(t),VSsinh⁡(t){\ displaystyle \ varphi (t) = Ce ^ {t}, C \ cosh (t), C \ sinh (t)} q(X,y,z)=X2+y2-z2=-1{\ displaystyle q (x, y, z) = x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = - 1}

Každý z těchto povrchů má skupinu symetrií, což je tranzitivní Lieova skupina . Tento výsledek má mnoho důsledků, o to důležitější, že tyto konkrétní povrchy hrají ústřední roli při studiu geometrie obecných povrchů, a to díky Poincarého standardní teorém o standardizaci , jak uvidíme později.

Místní metrická struktura

Pro jakýkoli povrch ponořený do euklidovského prostoru dimenze 3 nebo více je možné měřit délku křivky povrchu, úhel mezi dvěma křivkami a plochu jakékoli ohraničené oblasti povrchu. Tuto strukturu lze reprezentovat „nekonečně“ pomocí Riemannovy metriky, která na povrchu měří „prvky délky“ a „prvky plochy“ . Až do začátku XX th  století, tak plochy vložené v R 3 byly posouzeny a metrika bylo dáno pozitivně definitní matice řádu 2 definované každý bod (v pořadí diferencovatelné) na místním parametrického zastoupení této oblasti. Tyto myšlenky lokálních parametrických reprezentací umožňujících změnu souřadnic byly následně formalizovány, aby vedly k modernímu pojetí diferenciálního potrubí , kde je diferenciální struktura dána sbírkou místních map potrubí, přesně tak, jak je Země v současné době reprezentována atlasem . Opětovné připojení změnou souřadnic mezi různými mapami stejné oblasti musí být rozlišitelné. Pro každou lokální mapu je riemannovská metrika dána maticí (kladná definita řádu 2) v každém bodě; tyto matice se transformují při přechodu z jedné karty na druhou pomocí jakobiánské matice změny souřadnic. Definujeme tedy Riemannovo potrubí dimenze 2.

Prvky délky a plochy

Promítnutím například povrchu na rovinu - (rovnice ) získáme lokální mapu, na kterou lze zapsat prvky délky a plochyX{\ displaystyle x}y{\ displaystyle}z=0{\ displaystyle z = 0}ds{\ displaystyle \ mathrm {d} s}dNA{\ displaystyle \ mathrm {d} A}

ds2=EdX2+2FdXdy+Gdy2{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = E \, \ mathrm {d} x ^ {2} + 2F \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y + G \, \ mathrm {d} y ^ {2}}

a

dNA=EG-F2dXdy{\ displaystyle \ mathrm {d} A = {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y},

Výraz se nazývá první základní forma ( Eisenhart 2004 ) . EdX2+2FdXdy+Gdy2{\ displaystyle E \ mathrm {d} x ^ {2} + 2F \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y + G \ mathrm {d} y ^ {2}}

Matice

(E(X,y)F(X,y)F(X,y)G(X,y)){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} E (x, y) & F (x, y) \\ F (x, y) & G (x, y) \ end {pmatrix}}}

musí být kladně definitivní a jeho koeficienty musí být funkce odvozitelné od a . X{\ displaystyle x}y{\ displaystyle}

Obecněji je tedy možné pomocí místních map asociovat diferenciální prvky délky a plochy s každým bodem Riemannova (abstraktního) potrubí dimenze 2.

Druhá základní forma

Vnější geometrie povrchů studuje vlastnosti povrchů ponořených do euklidovského prostoru, obecně E 3 . Z hlediska vnitřní geometrie jsou dva povrchy „stejné“, pokud je možné se navzájem rozprostřít, aniž by došlo k jeho roztažení, tj. Existuje aplikace jednoho směrem k druhému zachování vzdálenosti. Válec je tedy místně „podobný“ letadlu. V vnějšího geometrii, dvě plochy jsou „stejné“, jsou-li shodné v okolním euklidovském prostoru, to znamená, že je isometry z E 3 vysílá jeden na druhého. Tato přísnější definice odlišuje válec od roviny.

Ačkoli hlavními invarianty při studiu vnitřní geometrie povrchu jsou metrika (první základní forma) a Gaussovo zakřivení, další vlastnosti závisí na vložení do euklidovského prostoru. Nejdůležitějším příkladem je druhá základní forma , definovaná klasicky takto: nechte bod ( x ,  y ) povrchu na místní mapě. Čtverec (euklidovské) vzdálenosti mezi blízkým bodem ( x  +  dx ,  y  +  dy ) a tečnou rovinou v ( x , y ), tj. Čtverec vzdálenosti od tohoto bodu k jeho projekci ortogonální, má tvar

e dx 2 + 2 f dx dy + g dy 2

kromě oprav vyššího řádu. Tento výraz, bilineární forma symetrická v každém bodě (ale která není obecně pozitivní definitivní), je druhou základní formou. Může být reprezentován symetrickou maticí řádu 2:

(E(X,y)F(X,y)F(X,y)G(X,y)){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} e (x, y) & f (x, y) \\ f (x, y) & g (x, y) \ end {pmatrix}}}

jejichž koeficienty závisí (rozdílně) na x a y . Gaussova křivost je pak dána podílem determinantů dvou základních forem:

K.=EG-F2EG-F2{\ displaystyle K = {eg-f ^ {2} \ přes EG-F ^ {2}}}

Toto číslo je vnitřní invariant; tuto pozoruhodnou skutečnost prokázal Gauss (je to jeho věta egregium , o níž bude pojednáno později).

Střední zakřivení K m , definované jako poloviční součet hlavních zakřivení, je dalším důležitým vnějším invariantem (ale není vnitřní: střední zakřivení válce je nenulové, na rozdíl od roviny). Je to dáno vzorcem ( Eisenhart 2004 , s.  123)  :

K.m=12⋅EG+GE-2FFEG-F2{\ displaystyle K_ {m} = {1 \ nad 2} \ cdot {eG + gE-2fF \ přes EG-F ^ {2}}}

Koeficienty dvou základních forem splňují určité podmínky kompatibility známé jako Gauss-Codazziho rovnice , které zahrnují Christoffelovy symboly spojené s první základní formou ( Eisenhart 2004 , s.  156)  : Γijk{\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k}}

Ey-FX=EΓ121+F(Γ122-Γ111)-GΓ112{\ displaystyle e_ {y} -f_ {x} = e \ Gamma _ {12} ^ {1} + f (\ Gamma _ {12} ^ {2} - \ Gamma _ {11} ^ {1}) - g \ Gamma _ {11} ^ {2}} Fy-GX=EΓ221+F(Γ222-Γ121)-GΓ122.{\ displaystyle f_ {y} -g_ {x} = e \ Gamma _ {22} ^ {1} + f (\ Gamma _ {22} ^ {2} - \ Gamma _ {12} ^ {1}) - g \ Gamma _ {12} ^ {2}.}

Tyto rovnice lze také získat (stručněji) v jazyce forem spojení díky Élie Cartan ( O'Neill 1997 , s.  257) . Pierre Bonnet ukázal, že dvě kvadratické formy uspokojující Gauss-Codazziho rovnice vždy (místně) určují  ponořený povrch a pouze jednu ( do Carmo 1976 , s. 309-314) . Z tohoto důvodu jsou tyto rovnice často označovány jako základní rovnice povrchového zapuštění, které přesně identifikují původ vnitřních a vnějších zakřivení. Mají zevšeobecnění povrchů vložených do jakéhokoli Riemannova potrubí .

Operátor tvaru

Rozdíl df mapového Gaussovy f umožňuje definovat jiný druh vnějšího zakřivení, která se nazývá operátor tvar nebo Weingarten mapy. Tento operátor se poprvé objevil v implicitní formě v díle Wilhelma Blaschkeho a následně byl výslovně uveden v pojednání od Burali-Forti a Burgati ( Gray, Abbena a Salamon 2006 , s.  386) .

Protože v každém bodě x plochy je tečná rovina opatřena skalárním součinem, lze operátor tvaru S x definovat jako lineární mapu tohoto prostoru podle vzorce

(SXproti,w)=⟨dF(proti),w⟩{\ displaystyle (S_ {x} v, w) = \ langle df (v), w \ rangle}

pro všechny tangenciální vektory v a w (skalární součin je dobře definovaný, df ( v ) a w jsou vektory E 3 ). Pravá strana je symetrická ve v a w , takže operátor tvaru je samostatně přidaný endomorfismus tečného prostoru. K vlastní čísla z S x jsou hlavní zakřivení K 1 a K 2 na x , a z toho vyplývá, že determinant provozovatele tvaru je Gaussian zakřivení, zatímco jeho stopa je dvojnásobek střední zakřivení. Vlastní vektory určují směry hlavních zakřivení, to znamená těch, které musí křivka nakreslená na povrchu sledovat, aby měla maximální a minimální zakřivení.

Operátor tvaru souvisí s koeficienty základních tvarů podle Weingartenových rovnic ( Gray, Abbena a Salamon 2006 , s.  394)  :

S=1EG-F2(EG-FFFG-GFFE-EFGE-FF).{\ displaystyle S = {\ frac {1} {EG-F ^ {2}}} {\ begin {pmatrix} eG-fF & fG-gF \\ fE-eF & gE-fF \ end {pmatrix}}. }

Geodetika na povrchu

Křivky v povrchu, které minimalizují délku mezi jejich konci, se nazývají geodetické  ; mají tvar pružného pásu nataženého mezi dvěma body. Jejich matematické určení spočívá v řešení parciálních diferenciálních rovnic vycházejících z výpočtu variací . Představují základní nástroj pro studium diferenciální geometrie povrchů. Například otázka, zda nějaká riemannovská metrika na povrchu může pocházet z (místního) vnoření do trojrozměrného prostoru, je stále otevřená; geodetická teorie ukázala, že tento výsledek je pravdivý v důležitém případě, kdy jsou komponenty metriky analytické .

Geodetika

Vzhledem k tomu, že po částech lze odvodit parametrizovaný oblouk c ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) pro t v [ a , b ] (souřadnice jsou převzaty na místní mapě), jeho délka je definována:

L(vs.)=∫nab(EX˙2+2FX˙y˙+Gy˙2)1/2dt{\ displaystyle L (c) = \ int _ {a} ^ {b} (E {\ dot {x}} ^ {2} + 2F {\ dot {x}} {\ dot {y}} + G { \ dot {y}} ^ {2}) ^ {1/2} \, \ mathrm {d} t}

a jeho energie by

E(vs.)=∫nab(EX˙2+2FX˙y˙+Gy˙2)dt.{\ displaystyle E (c) = \ int _ {a} ^ {b} (E {\ dot {x}} ^ {2} + 2F {\ dot {x}} {\ dot {y}} + G { \ dot {y}} ^ {2}) \, \ mathrm {d} t.}

Délka nezávisí na zvoleném nastavení. Podle Euler-Lagrangeových rovnic pro k výpočtu změn , je-li c ( t ) je cesta minimální délka, parametrizovány podle délky oblouku (dále křivočarý na vodorovné ose ), musí splňovat vztah:

X¨+Γ111X˙2+2Γ112X˙y˙+Γ122y˙2=0{\ displaystyle {\ ddot {x}} + \ Gamma ^ {1} {} _ {11} {\ dot {x}} ^ {2} +2 \ Gamma ^ {1} {} _ {12} {\ tečka {x}} {\ dot {y}} + \ Gamma ^ {1} {} _ {22} {\ dot {y}} ^ {2} = 0} y¨+Γ211X˙2+2Γ212X˙y˙+Γ222y˙2=0{\ displaystyle {\ ddot {y}} + \ Gamma ^ {2} {} _ {11} {\ dot {x}} ^ {2} +2 \ Gamma ^ {2} {} _ {12} {\ tečka {x}} {\ dot {y}} + \ Gamma ^ {2} {} _ {22} {\ dot {y}} ^ {2} = 0}

kde jsou symboly Christoffel dány Γkij{\ displaystyle \ Gamma ^ {k} {} _ {ij}}

Γkij=12∑mGkm(∂jGim+∂iGjm-∂mGij){\ displaystyle \ Gamma ^ {k} {} _ {ij} = {1 \ nad 2} \ součet _ {m} g ^ {km} (\ částečný _ {j} g_ {im} + \ částečný _ {i } g_ {jm} - \ částečné _ {m} g_ {ij})}

s , , , a kde je inverzní matice z . Cesta, která splňuje tyto rovnice, se nazývá geodetická . G11=E{\ displaystyle g_ {11} = E}G12=F{\ displaystyle g_ {12} = F}G22=G{\ displaystyle g_ {22} = G}(Gij){\ displaystyle (g ^ {ij})}(Gij){\ displaystyle (g_ {ij})}

Podle Cauchy-Schwarzovy nerovnosti je cesta minimalizující energii geodetickou parametrizací délkou oblouku; obecněji pro jakoukoli geodetiku je parametr t úměrný délce oblouku.

Geodetické zakřivení

Geodetické zakřivení v bodu křivky c ( t ), orientovaného povrchu, parameterized délky oblouku, je definován: kG{\ displaystyle k_ {g}}

kG=vs.¨(t)⋅G(t).{\ displaystyle k_ {g} = {\ ddot {c}} (t) \ cdot \ mathbf {g} (t).}

kde g ( t ) je vektor geodetické jednotky, kolmý ke křivce, vytvořený otáčením v tečné rovině jednotkový vektor tečny ke křivce o kladný pravý úhel. vs.˙(t){\ displaystyle {\ dot {c}} (t)}

• Geodetické zakřivení v bodě je vnitřní invariant, záleží pouze na metrice v sousedství bodu.
• Křivka procházející konstantní rychlostí na povrchu je geodetická právě tehdy, když její geodetické zakřivení v jakémkoli bodě zmizí.
• Křivka c ( t ) cestovaná konstantní rychlostí na povrchu ponořeném do vesmíru je geodetická právě tehdy, je-li jeho vektor zrychlení kolmý k povrchu v jakémkoli bodě.vs.¨(t){\ displaystyle {\ ddot {c}} (t)}

Geodetické zakřivení přesně měří v každém bodě rozdíl mezi křivkou a tečnou geodetickou v daném bodě.

Problém izometrického vkládání

Výsledek ( Jacobowitz 1972 ) a ( Poznjak 1973 ) ukazuje, že jakákoli metrická struktura na povrchu pochází z místního vložení do E 4 . Kromě některých zvláštních případů zůstává otázka, zda je to v E 3 stále možné , a zůstává známá jako „Weylův problém“ ( Han a Hong 2006 ) . V roce 1926 Maurice Janet ukázal, že tento výsledek byl pravdivý, pokud E , F a G jsou analytické  ; Krátce nato Élie Cartan zobecnil tento výsledek na lokální vložení Riemannovských variet dimenze n v E m , kde m = ½ ( n 2 + n ). Aby se dokázala Janetova věta v sousedství (0,0), Cauchy-Kowalevského věta se používá dvakrát ke konstrukci analytické geodetiky kolmé k ose y a k ose x a poté ke změně analytických souřadnic, po kterých E = 1 a F = 0: musí být ověřeno izometrické vložení u

uX⋅uX=1uX⋅uy=0uy⋅uy=G.{\ displaystyle {\ begin {aligned} u_ {x} \ cdot u_ {x} & = 1 \\ u_ {x} \ cdot u_ {y} & = 0 \\ u_ {y} \ cdot u_ {y} & = G. \ Konec {zarovnáno}}}

Diferenciací získáme tři další rovnice

uXX⋅uy=0uXX⋅uX=0uXX⋅uyy=uXy⋅uXy-12GXX{\ displaystyle {\ begin {aligned} u_ {xx} \ cdot u_ {y} & = 0 \\ u_ {xx} \ cdot u_ {x} & = 0 \\ u_ {xx} \ cdot u_ {yy} & = u_ {xy} \ cdot u_ {xy} - {\ tfrac {1} {2}} G_ {xx} \ end {zarovnáno}}}

s u (0, y ) a u x (0, y) pevné. Tyto rovnice lze řešit poblíž (0,0) díky Cauchyho-Kowalevského teorému, což dává řešení problému počátečního vkládání.

Nicméně, globální efektivní řešení tohoto problému, a to i v jednoduchém případě „plochý“ torus (to znamená, že z kvocientu potrubí z R 2 ze strany Z 2 ), již dlouho se zdálo nedostupné; po demonstraci existence globálních řešení Johnem Nashem a Nicolaasem Kuiperem kolem roku 1960 umožnilo používání nových technik (včetně konvexní integrace, díky Mikhaïlovi Gromovovi ) v roce 2012 konečně konstrukci grafických programů umožňujících vizualizovat odpovídající povrch.

Ortogonální souřadnice

Pokud je koeficient F z metriky je nula, paralely s x a y osy jsou kolmé a budovat ortogonální souřadnicový systém . Pokud pózujeme , Gaussovo zakřivení je dáno vztahemH=(EG)12{\ displaystyle H = (EG) ^ {\ frac {1} {2}}}

K.=-12H[∂X(GX/H)+∂y(Ey/H)]{\ displaystyle K = - {1 \ nad 2H} \ vlevo [\ částečné _ {x} (G_ {x} / H) + \ částečné _ {y} (E_ {y} / H) \ pravé]}

Pokud je navíc E = 1 (a tedy ), je průsečík úhlu mezi geodetikou ( x ( t ), y ( t )) a přímkou y = konstanta dán rovnicí H=EG12{\ displaystyle H = EG ^ {\ frac {1} {2}}}φ{\ displaystyle \ varphi}

opálení⁡φ=H⋅y˙X˙.{\ displaystyle \ tan \ varphi = H \ cdot {\ frac {\ dot {y}} {\ dot {x}}}.}

Derivace je dána klasickým vzorcem kvůli Gaussovi . φ{\ displaystyle \ varphi}φ˙=-HX⋅y˙{\ displaystyle {\ dot {\ varphi}} = - H_ {x} \ cdot {\ dot {y}}}

Polární geodetické souřadnice

Metrika daná na povrch a pevný bod, který je považován za počátek, existuje jedinečná geodetická spojující počátek s každým sousedním bodem dostatečně blízko; naopak směr této geodetiky v počátku a vzdálenost určují pouze dosažený bod. Tyto dvě reálné oblasti určují jeden tečnový vektor v počátku a takto definovaná mapa, která přechází od sady vektorů tečen k bodům povrchu, je diferencovatelná a má pro obraz sousedství počátku; tato mapa se nazývá exponenciální mapa a definuje lokální souřadný systém poblíž počátku.

Obraz exponenciální mapy má vlastnosti analogické vlastnostem koulí obvyklého prostoru; libovolné dva body jsou tedy spojeny jedinou geodetikou, vlastností známou jako „  geodetická konvexita “. Odpovídající souřadnice zvané „normální souřadnice“ nebo polární geodetické souřadnice zobecňují obvyklé polární souřadnice .

Explicitní výpočet normálních souřadnic lze provést pomocí diferenciální rovnice splněné geodetikou. Vlastnost konvexity je důsledkem lematu způsobeného Gaussem a jeho zevšeobecněním. Gaussovo zakřivení je pak dáno odchylkami (druhého řádu) metriky vzhledem k euklidovské metrice; jedná se zejména o invariant metriky. Tímto výsledkem je Gaussova slavná věta egregium .

Pohodlný způsob uvažování zakřivení začíná diferenciální rovnicí, nejprve studovanou Gaussem, poté zobecněnou Jacobi , která se objevuje při určování změny normálních souřadnic mezi dvěma odlišnými body. Tato rovnice poskytuje další způsob výpočtu Gaussovy křivosti; v geometrických pojmech popisuje vývoj geodetiky vycházející z pevného bodu, když jeho druhý konec popisuje malý oblouk křivky; z tohoto obrazu můžeme „odvodit“ geodetiku a získat pole tečných vektorů zvané Jacobiho pole ( do Carmo 1976 , s.  357) . Marston Morse poskytl koncepčnější interpretaci Jacobiho pole, pokud jde o druhé derivace energetické funkce na Hilbertově varietě cest ( Milnor 1963 ) .

Exponenciální aplikace

Teorie obyčejných diferenciálních rovnic ukazuje, že pokud je f ( t , v ) diferencovatelné, má diferenciální rovnice dv / dt = f ( t , v ) s počátečními podmínkami v (0) = v 0 jedinečné řešení pro | t | dostatečně malé a že řešení závisí rozdílně na t a v 0 . To znamená, že v daném bodě p = ( x 0 , y 0 ) a pro poměrně malé tečné vektory v existuje geodetický c v ( t ) definovaný na (−2,2) s c v (0) = ( x 0 , y 0 ) a v (0) = v . Navíc, pokud | s | ≤ 1, pak c sv = c v ( st ). Exponenciální mapa je pak definována vs.˙{\ displaystyle {\ dot {c}}}

exp p ( v ) = c v (1);

jedná se o difeomorfismus mezi diskem || v || <5 a sousedství p  ; obecněji, aplikace odesílající ( p , v ) na exp p ( v ) je lokální difeomorfismus v sousedství ( p , v ). Exponenciální mapa umožňuje konstruovat geodetické normální souřadnice poblíž p ( Wilson 2008 ) .

Výpočet normálních souřadnic

Najdeme například v ( Berger 2003 ) následující metodu pro výpočet změny proměnných vedoucí k normálním souřadnicím u , v v bodě: pokud jsou souřadnice x , y v (0,0) lokálně ortogonální, napíšeme

x ( u , v ) = α u + L ( u , v ) + λ ( u , v ) + ··· y ( u , v ) = β v + M ( u , v ) + μ ( u , v ) + ···

kde L , M jsou homogenní polynomy stupně 2 a λ, μ jsou homogenní polynomy stupně 3 v u a v . Pokud jsou u a v pevná, lze x ( t ) = x ( tu , tv ) a y ( t ) = y ( tu , tv ) považovat za formální řešení řady Eulerových rovnic; toto (jednoznačně) určuje α, β, L , M , λ a μ.

Gaussovo lemma

V těchto souřadnicích splňuje matice g ( x ) g (0) = I a „přímky“ jsou geodetické procházející 0. Eulerovy rovnice vedou k maticové rovnici g ( v ) v = v  ; tento zásadní výsledek se obecně nazývá Gaussovo lemma . Tvrdí to geometricky t↦tproti{\ displaystyle t \ mapsto tv}

Geodetika procházející počátkem je kolmá ke kružnicím, které mají střed počátku.

Z polárních souřadnic ( r , θ) vyplývá, že metrika má tvar ds 2 = dr 2 + G ( r , θ) d θ 2 .

V geodetických souřadnicích geodetika (procházející 0) minimalizuje délku. Topologie Riemannova potrubí je proto dána vzdáleností d ( p , q ), která je spodní mezí délek cest mezi p a q  ; tato vzdálenost se provádí lokálně geodetikou, a proto v normálních souřadnicích d (0, v ) = || v ||. Pokud je poloměr δ dostatečně malý, mírné zpřesnění Gaussova lematu ukazuje, že obraz U disku || v || <δ exponenciální mapy je geodeticky konvexní , tj. dva body U jsou spojeny jedinou geodetikou zcela obsaženou v U ( Berger 2003 ) .

Věta egregium

Vezmeme-li souřadnice tak, že rovnice povrchu E 3 nechá z = F ( x , y ) = k 1 x 2 + k 2 y 2 + ···, metrika v normálních souřadnicích ( u , v ) je (do druhého řádu) ( Berger a Gostiaux 1992 )

ds 2 = du 2 + dv 2 + K ( u dv - v du ) 2 + o ( u 2 + v 2 ).

Tento výsledek Gauss, na Theorema egregium ( „pozoruhodné věta“, v latině ), ukazuje, že Gaussova zakřivení povrchu lze vypočítat pouze pomocí metrický, a je proto vnitřní neměnné (není závislý na jeho zabudování v E ³) . Zejména izometrie zachovávají Gaussovo zakřivení ( Berger 2003 ) .

Gauss-Jacobiho rovnice

Změna souřadnic procházejících z normálních souřadnic na p , které jsou v sousedním bodu q vede k Sturm-Liouvilleova rovnice ověřena , rovnice objevil Gauss a pak generalizované podle Jacobi , H(r,θ)=G(r,θ)12{\ displaystyle \ scriptstyle H (r, \ theta) = G (r, \ theta) ^ {\ frac {1} {2}}}

∂2∂r2H=-K.H{\ displaystyle {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné r ^ {2}}} H = -KH}

Jakobián matice této změny souřadnic je rovna (v q ), aby . To poskytuje další ukázku přirozeného charakteru Gaussova zakřivení: jak lze interpretovat jako délku geodetického prvku ve směru θ, Gauss-Jacobiho rovnice ukazuje, že zakřivení v bodě měří, jak se geodetika odchyluje, když se vzdalujeme tento bod ( O'Neill 1997 , s.  395) . ∂∂rH{\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné r}} H}H(r,θ){\ displaystyle H (r, \ theta)}

Operátor Laplace-Beltrami

Pro místní metrickou oblast

ds2=EdX2+2FdXdy+Gdy2{\ displaystyle ds ^ {2} = E \, dx ^ {2} + 2F \, dx \, dy + G \, dy ^ {2}}

pro provozovatele Laplace-Beltrami

ΔF=1H(∂XGH∂XF-∂XFH∂yF-∂yFH∂XF+∂yEH∂yF),{\ displaystyle \ Delta f = {1 \ nad H} \ vlevo (\ částečné _ {x} {G \ nad H} \ částečné _ {x} f- \ částečné _ {x} {F \ nad H} \ částečné _ {y} f- \ částečné _ {y} {F \ nad H} \ částečné _ {x} f + \ částečné _ {y} {E \ nad H} \ částečné _ {y} f \ pravé),}

kde H 2 =  EG  -  F 2 je Gaussovo zakřivení v bodě dáno vztahem:

K.=-3limr→0Δ(log⁡r),{\ displaystyle K = -3 \ lim _ {r \ rightarrow 0} \ Delta (\ log r),}

r označuje geodetickou vzdálenost od tohoto bodu. Jelikož Δ je vnitřní invariant, poskytuje to ještě další důkaz vnitřního charakteru Gaussova zakřivení.

V izotermických souřadnicích , které Gauss nejprve zvážil, má metrika konkrétní formu

ds2=Eφ(dX2+dy2).{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ rm {e}} ^ {\ varphi} (dx ^ {2} + dy ^ {2}).}

V tomto případě je operátor Laplace-Beltrami dán vztahem

Δ=E-φ(∂2∂X2+∂2∂y2){\ displaystyle \ Delta = {\ rm {e}} ^ {- \ varphi} \ vlevo ({\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné y ^ {2}}} \ vpravo)}

a ověřuje Liouvilleovu rovnici ( O'Neill 1997 , s.  286)φ{\ displaystyle \ varphi}

Δφ=-2K..{\ displaystyle \ Delta \ varphi = -2K.}

Izotermické souřadnice existují v blízkosti jakéhokoli bodu na povrchu, ale jediný známý důkaz tohoto výsledku je založen na netriviálních výsledcích z teorie parciálních diferenciálních rovnic ( do Carmo 1976 , s.  227) . V případě minimálních povrchů však o tom existuje elementární důkaz ( Osserman 2002 , s.  31-32) .

Vzorec Gauss-Bonnet

Na kouli nebo hyperboloidu je plocha trojúhelníku, jehož všechny strany jsou geodetické, úměrná rozdílu mezi součtem vnitřních úhlů a π. Konstanta proporcionality je Gaussovo zakřivení (které je pro tyto povrchy konstantní). Na torusu nebo válci je rozdíl nulový, stejně jako Gaussovo zakřivení. Gauss zobecnil tyto výsledky na libovolný povrch tím, že ukázal, že integrál Gaussova zakřivení uvnitř geodetického trojúhelníku je stále stejný s tímto úhlovým rozdílem. Je proto možné vypočítat tento integrál po celé ploše jeho rozložením na trojúhelníky a ve zvláštním případě toho, co je nyní známé jako vzorec Gauss-Bonnet , Gauss ukázal, že tento integrál je vždy celočíselný násobek 2π, čímž získá topologický invariant povrchu zvaný Eulerova charakteristika . Po tomto neočekávaném vztahu mezi analýzou a topologií mělo následovat mnoho podobných geometrických výsledků, které vyvrcholily Atiyah-Singerovou teorémem o indexu .

Geodetické trojúhelníky

Gauss ukázal, že pokud Δ je geodetický trojúhelník s úhly α, β a γ na vrcholech A , B a C (to znamená, že například AB a AC jsou geodetika, jejichž tečné vektory v A tvoří úhel α ), pak

∫ΔK.dNA=α+β+y-π{\ displaystyle \ int _ {\ Delta} K \, \ mathrm {d} A = \ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi}.

Ve skutečnosti je umístění v geodetických polárních souřadnicích počátku A s AB a AC polárních úhlů 0 a α,

∫ΔK.dNA=∫ΔK.Hdrdθ=-∫0α∫0rθHrrdrdθ=∫0α(1-Hr(rθ,θ))dθ=∫0αdθ+∫π-βydφ=α+β+y-π{\ displaystyle \ int _ {\ Delta} K \, \ mathrm {d} A = \ int _ {\ Delta} KH \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta = - \ int _ {0} ^ {\ alpha} \ int _ {0} ^ {r _ {\ theta}} H_ {rr} \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta = \ int _ {0 } ^ {\ alpha} (1-H_ {r} (r _ {\ theta}, \ theta)) \, \ mathrm {d} \ theta = \ int _ {0} ^ {\ alpha} \, \ mathrm {d} \ theta + \ int _ {\ pi - \ beta} ^ {\ gamma} \, \ mathrm {d} \ varphi = \ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi},

kde druhá rovnost vyplývá z Gauss-Jacobiho rovnice a čtvrtá z Gaussova derivačního vzorce v ortogonálních souřadnicích ( r , θ).

Gaussův vzorec ukazuje, že zakřivení v bodě lze vypočítat jako limit kvocientu úhlového přebytku α + β + γ - π plochou pro menší a menší geodetické trojúhelníky obklopující bod. Zejména kvalitativně je znamení zakřivení stejné jako u úhlového přebytku pro poměrně malé trojúhelníky ( Eisenhart 2004 ) .

Gauss-Bonnetova věta

Protože jakýkoli orientovatelný kompaktní povrch M může být triangulován malými geodetickými trojúhelníky, vyplývá z toho

∫MK.dNA=2π⋅χ(M),{\ displaystyle \ int _ {M} K \ mathrm {d} A = 2 \ pi \ cdot \ chi (M),}

kde χ ( M ) je Eulerova charakteristika povrchu; pokud existují plochy F , hrany A a vrcholy S , pak 3 F = 2 A a integrál je π (2 S - F ) = 2π ( S - A + F ) = 2π.χ ( M ).

Tímto výsledkem je slavná věta Gauss-Bonnet  : ukazuje, že integrál Gaussovy křivky je topologický invariant povrchu. Tato věta připouští mnoho interpretací; mezi jeho nejvzdálenější důsledky patří věta o indexu pro eliptický operátor na M , který je jedním z nejjednodušších případů věty o indexu Atiyah-Singer . Dalším důležitým výsledkem, který lze demonstrovat pomocí vzorce Gauss-Bonnet, je Poincaré-Hopfova věta o vektorových polích o M mizejících v konečném počtu bodů: uvádí, že součet indexů v těchto bodech se rovná Eulerově charakteristice M ( Eisenhart 2004 ) .

Zakřivení a vložení

Pokud je Gaussovo zakřivení povrchu M všude kladné, jeho Eulerova charakteristika je kladná, a proto M je homeomorfní (a dokonce difeomorfní) ke kouli S 2 . Pokud je navíc povrch izometricky ponořen do E 3 , je Gaussova mapa výslovným difeomorfismem. Jak poznamenal Hadamard , povrch je pak konvexní  ; toto kritérium konvexity lze chápat jako dvourozměrné zobecnění kritéria konvexity rovinných křivek pomocí druhé derivace. Hilbert ukázal, že jakýkoli kompaktní povrch ponořený izometricky připouští alespoň jeden bod pozitivního zakřivení. Uzavřený povrch záporného zakřivení tedy nelze izometricky ponořit do E 3  ; jak však Adriano Garsia  (in) ukázal pomocí rovnice Beltrami pro téměř vyhovující aplikace , je tento pokles vždy možný pro metrickou shodu ekvivalentní původní metrice.

Konstantní zakřivené povrchy

Jednoduše spojené povrchy konstantního zakřivení 0, +1 a –1 jsou euklidovská rovina, jednotková koule E 3 a hyperbolická rovina . Každý z těchto povrchů má skupinu izometrií (zachování orientace), což je Lieova skupina G , která umožňuje studovat jejich geometrii. Obecněji řečeno, jakýkoli povrch M s konstantním zakřivením připustí jeden z těchto tří povrchů jako univerzální povlak . Podle Poincarého uniformizační věty z toho vyplývá, že jakýkoli kompaktní orientovatelný Riemannovo potrubí o dimenzi 2 je odpovídajícím způsobem ekvivalentní povrchu konstantního zakřivení 0, +1 nebo –1 (toto číslo je znamením charakteristiky Eulerovy odrůdy), proto zájem o studium tří odpovídajících geometrií.

Euklidovská geometrie

V případě euklidovské roviny je skupinou symetrií skupina přemístění , polopřímý produkt skupiny překladů skupinou otáčení. Geodetika jsou čáry a geometrie sestupuje k elementárním vzorcům trigonometrie (které samy souvisejí s existencí skalárního součinu ), jako je Al Kashiho vzorec pro trojúhelník stran a , b , c a úhlů α, β, γ:

vs.2=na2+b2-2nabcos⁡y.{\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \, \ cos \ gamma.}

Kompaktní povrchy nulové zakřivení jsou tori , získaný tím, že kvocient z R 2, o síť , to znamená, že podskupina hodnosti 2. Tyto povrchy nemohou být ponořen izometricky v E 3 , ale že je možné v E 4  ; to vychází ze skutečnosti, že torus je identifikován s produktem dvou kruhů E 2 ( do Carmo 1976 ) .

Sférická geometrie

Skupina isometries v jednotkové kouli E ' 3 , S 2 , je ortogonální skupina O (3), částečně přímým produktem ze skupiny rotací SO (3) s protilehlého mapě vysílající x k - x . Skupina SO (3) působí přechodně na S 2 . Stabilizátor z jednotkového vektoru (0,0,1), může být identifikována jako tak (2), a proto S 2 = SO (3) / SO (2).

Geodetika mezi dvěma body koule jsou oblouky velké kružnice . Pokud body nejsou antipodální, existuje jedinečný oblouk minimalizující vzdálenost mezi nimi.

Geodetický trojúhelník koule se nazývá sférický trojúhelník . Je definován třemi body A , B , C , přičemž strany BC , CA , AB jsou oblouky velkých kruhů o délce menší než π. Pokud jsou délky stran a , b , ca úhly mezi stranami α, β, γ, pak kosinový vzorec (který lze považovat za sférický analog vzorce Al-Kashiho ) říká, že

cos⁡vs.=cos⁡nacos⁡b+hřích⁡nahřích⁡bcos⁡y.{\ displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gama.}

Plocha trojúhelníku je α + β + γ - π.

Pomocí stereografické projekce ze severního pólu lze kouli identifikovat pomocí Riemannovy koule C {∞}. Explicitní forma této aplikace je ∪{\ displaystyle \ cup}

π(X,y,z)=X+iy1-z≡u+iproti.{\ displaystyle \ pi (x, y, z) = {x + iy \ nad 1-z} \ ekv u + iv.}

Podle této mapy, každé otočení S 2 odpovídá Möbius transformace na jednotné zvláštní skupiny SU (2), unikátní kromě znamení. V souřadnicích komplexní roviny ( u , v ) se stává metrika koule ( Eisenhart 2004 , s.  110)

ds2=4(du2+dproti2)(1+u2+proti2)2.{\ displaystyle ds ^ {2} = {4 (du ^ {2} + dv ^ {2}) \ over (1 + u ^ {2} + v ^ {2}) ^ {2}}.}

Jednotková koule je jediný kompaktní rozdělovač s konstantním zakřivením +1. Kvocient SO (3) / O (2) lze identifikovat ve skutečné projektivní rovině . Je neorientovatelný a je také identifikován kvocientem S 2 vynásobením –1. Koule je jednoduše spojená, zatímco základní skupina projektivní roviny je Z 2 . V konečné podskupiny tak (3) , odpovídající konečné podskupiny O (2), a na symetrické skupiny platonické pevné látky , nejsou volně působí na S 2  ; odpovídající kvocienty proto nejsou odrůdy, ale pouze orbifolds .

Hyperbolická geometrie

Geometrie neeuklidovských se poprvé objevil v Gauss písmem na počátku XIX -tého  století; postavil na tom důležitý analytický vývoj, který obíhal pouze jako soukromá osoba. Lobachevskij v roce 1830 a nezávisle Bolyai (syn jednoho z Gaussových korespondentů ) v roce 1832 publikovali syntetické přístupy k této nové geometrii, což jim vyneslo ostrou kritiku. Avšak až v roce 1868 dal Beltrami , následovaný Kleinem v roce 1871 a Poincaré v roce 1882, konkrétní analytické modely toho, co Klein nazval hyperbolickou geometrií . Byly tedy konstruovány čtyři modely dvourozměrné hyperbolické geometrie:

1. model Beltrami-Klein  ;
2. model hyperboloidu v trojrozměrném Minkowski prostoru, vzhledem k Wilhelm Killing .
3. Poincaré disk  ;
4. poloviny-rovina Poincaré  ;

První z těchto modelů, založený na disku, má pro geodetiku skutečné euklidovské linie (nebo přesněji průsečík těchto linií s diskem otevřené jednotky). Druhý používá konstrukci zcela analogickou konstrukci sférické geometrie (ve skutečnosti jde o „imaginární“ sférickou geometrii). Vzhledem k jejich aplikacím na komplexní analýzu jsou však nejčastěji používány modely Poincaré; jsou zaměnitelné díky Möbiově transformaci mezi diskem a polorovinou.

Nechte disk jednotky v komplexní rovině, obdařený Poincarého metrikouD={z:|z|<1}{\ displaystyle D = \ {z \, \ dvojtečka | z | <1 \}}

ds2=4(dX2+dy2)(1-X2-y2)2.{\ displaystyle ds ^ {2} = {4 (dx ^ {2} + dy ^ {2}) \ over (1-x ^ {2} -y ^ {2}) ^ {2}}.}

V polárních souřadnicích ( r , θ) je metrika dána vztahem

ds2=4(dr2+r2dθ2)(1-r2)2.{\ displaystyle ds ^ {2} = {4 (dr ^ {2} + r ^ {2} \, d \ theta ^ {2}) \ over (1-r ^ {2}) ^ {2}}. }

Délka křivky γ: [ a , b ] D je dána vztahem →{\ displaystyle \ rightarrow}

ℓ(y)=∫nab2|y′(t)|dt1-|y(t)|2.{\ displaystyle \ ell (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} {2 | \ gamma ^ {\ prime} (t) | \, dt \ přes 1- | \ gamma (t) | ^ { 2}}.}

Skupina G = SU (1,1) daná vztahem

G={(αββ¯α¯):α,β∈VS,|α|2-|β|2=1}{\ displaystyle G = \ left \ {{\ begin {pmatrix} \ alpha & \ beta \\ {\ overline {\ beta}} & {\ overline {\ alpha}} \ end {pmatrix}}: \ alpha, \ beta \ in \ mathbf {C}, \, | \ alpha | ^ {2} - | \ beta | ^ {2} = 1 \ vpravo \}}

působí přechodně na D podle Möbius transformace , a stabilizátor 0 je skupina otáček

K.={(ζ00ζ¯):ζ∈VS,|ζ|=1}.{\ displaystyle K = \ left \ {{\ begin {pmatrix} \ zeta & 0 \\ 0 & {\ overline {\ zeta}} \ end {pmatrix}}: \ zeta \ in \ mathbf {C}, \, | \ zeta | = 1 \ vpravo \}.}

Kvocientová skupina SU (1,1) / ± I je skupina izometrií D zachovávající orientaci. Dvěma body z a w pro D jsou spojeny jednoduchou přímou linií nesené řádku nebo kruhu procházejícího Z a W , která je kolmá ke kruhové hranice jednotky D . Vzdálenost mezi z a w je dána vztahem

d(z,w)=2Artanh⁡|z-w|/|1-w¯z|.{\ displaystyle d (z, w) = 2 \ operatorname {artanh} | zw | / | 1 - {\ overline {w}} z |.}

Zejména d (0, r ) = 2 artanh r , a c ( t ) = tanh t / 2 je geodetická odpovídající osě reálných čísel, parametrizovaná délkou oblouku.

Topologie definovaná touto metrikou je obvyklá topologie, ale jako metrický prostor je ( D , d ) úplná .

Hyperbolické trojúhelník je geodetická trojúhelník této metriky. Pokud mají strany délky a , b , c , odpovídající úhly se označují jako α, β, γ, pak je „  hyperbolický vzorec Al-Kashi “

hovadina⁡vs.=hovadina⁡nahovadina⁡b-sinh⁡nasinh⁡bcos⁡y.{\ displaystyle \ cosh c = \ cosh a \, \ cosh b- \ sinh a \, \ sinh b \, \ cos \ gama.}

Plocha tohoto trojúhelníku je π - α - β - γ.

Jednotkový disk a horní polorovina jsou v konformní bijekci Möbiovými transformacemi (spojené s Cayleyovou transformací ) H={w=X+iy:y>0}{\ displaystyle H = \ {w = x + iy \, \ dvojtečka \, y> 0 \}}

w=i1+z1-z,z=w-iw+i.{\ displaystyle w = já {1 + z \ nad 1-z}, \, \, z = {wi \ nad w + i}.}

Tímto korespondence, působením SL (2, R) H odpovídá SU (1,1) na D . Metrika na H je dána vztahem

ds2=dX2+dy2y2.{\ displaystyle ds ^ {2} = {dx ^ {2} + dy ^ {2} \ přes y ^ {2}}.}

Kruhy, které jsou zachovány Möbiově transformací, jsou geodetické linie nebo kruhy kolmé ke skutečné ose.

Jednotkový disk dodávaný s Poincarého metrikou je jediným jednoduše spojitelným orientovatelným povrchem konstantní křivosti -1. Ostatní orientovatelné povrchy M konstantního zakřivení -1 připouštějí D jako univerzální povlak. Jejich základní skupinu lze identifikovat jako kompaktní podskupinu bez torzí Γ SU (1,1), takovou

M=Γ∖G/K..{\ displaystyle M = \ Gamma \; \ zpětné lomítko \; G / K.}

Γ je pak konečná prezentační skupina . Mohou být kódovány generátory z této skupiny a jejich vztahy pomocí základní geodetická polygon z D (nebo H ), jehož strany odpovídají uzavřených geodesics M .

Tato konstrukce dává například povrch Bolzy , rodu 2, kvartiku Kleina , rodu 3, povrchu Macbeatha , rodu 7 nebo opět první triplet Hurwitze, rodu 14.

Standardizace

Vzhledem k orientovatelné uzavřené ploše M Gaussovy křivky K lze metriku M konformně změnit vynásobením koeficientem e 2 u . Nové zakřivení K ' je pak dáno vztahem

K.′(X)=E-2u(K.(X)-Δu),{\ displaystyle K ^ {\ prime} (x) = {\ rm {e}} ^ {- 2u} (K (x) - \ Delta u),}

kde Δ je Laplacian počáteční metriky. Abychom tedy ukázali, že daný povrch je odpovídajícím způsobem ekvivalentní metrice konstantního zakřivení K ' , postačí vyřešit následující variantu Liouvilleovy rovnice  :

Δu=K.′E2u+K.(X).{\ displaystyle \ Delta u = K ^ {\ prime} {\ rm {e}} ^ {2u} + K (x).}

Když M má nulovou Eulerovu charakteristiku, a proto je difeomorfní s torusem, K ' = 0, a to se rovná řešení

Δu=K.(X).{\ displaystyle \ Delta u = K (x).}

Klasická teorie eliptických operátorů ukazuje, že tato řešení existují, protože integrál K nad M je podle věty Gauss-Bonnet nulový.

Když M má zápornou Eulerovu charakteristiku, K ' = -1, a rovnice se stává:

Δu=-E2u+K.(X).{\ displaystyle \ Delta u = - {\ rm {e}} ^ {2u} + K (x).}

Pomocí kontinuity exponenciální mapy na Sobolevových prostorech , což je výsledek Neila Trudingera , jsme ukázali, že tato nelineární rovnice má vždy řešení.

Nakonec, v případě 2-sféry, K ' = 1 a rovnice se stane:

Δu=E2u+K.(X).{\ displaystyle \ Delta u = {\ rm {e}} ^ {2u} + K (x).}

Tato nelineární rovnice dosud nebyla přímo analyzována, ale klasické výsledky, jako je Riemann-Rochova věta, nám umožňují ukázat, že vždy připouští řešení. Metoda Ricciho toku , vyvinutá Richardem S. Hamiltonem , poskytuje další důkaz založený na studiu nelineárních parciálních diferenciálních rovnic. Ve skutečnosti je Ricciho tok konformních metrik S 2 definován pro funkce u ( x , t ) pomocí

ut=4π-K.′(X,t)=4π-E-2u(K.(X)-Δu).{\ displaystyle u_ {t} = 4 \ pi -K '(x, t) = 4 \ pi - {\ rm {e}} ^ {- 2u} (K (x) - \ Delta u).}

Chow ukázal, že K 'se stává pozitivním v konečném čase; Hamiltonovy předchozí výsledky pak ukazují, že K ' konverguje k +1.

Negativní zakřivené povrchy

V oblasti povrchu, kde K ≤0, geodetické trojúhelníky splnění nerovnosti geometrie srovnání z CAT oblastí (0) , nebo prostorů Hadamardova  (en) , prověřených Cartan , Alexandrov a Toponogov  (en) , a předpokládané následně z A jiný pohled ze strany Bruhat a kozy  ; díky práci Gromova měla tato charakterizace negativního zakřivení z hlediska geodetické vzdálenosti zásadní dopad na moderní geometrii, zejména na teorii geometrických skupin .

Alexandrovova nerovnost

Nejjednodušší forma srovnávacích nerovností, poprvé demonstrovaná Alexandrovem pro plochy záporného zakřivení kolem roku 1940, uvádí, že:

Vzdálenost mezi vrcholem geodetického trojúhelníku a středem protilehlé strany je vždy menší než délka příslušného mediánu srovnávacího trojúhelníku , tj. Euklidovského trojúhelníku se stejnými délkami stran.

Tato nerovnost vyplývá ze skutečnosti, že pokud c ( t ) popisuje geodetickou parametrizovanou délkou oblouku a a je pevný bod, pak

f ( t ) = d ( , c ( t )) 2 - t 2

je konvexní funkce , a proto

F¨(t)≥0.{\ displaystyle {\ ddot {f}} (t) \ geq 0.}

V geodetických polárních souřadnicích počátku a , s || c ( t ) || = r ( t ), konvexita je ekvivalentní k

rr¨+r˙2≥1.{\ displaystyle r {\ ddot {r}} + {\ dot {r}} ^ {2} \ geq 1.}

V normálních souřadnicích u , v až c ( t ) se tato nerovnost stává

u 2 + H - 1 H r v 2 ≥ 1,

kde ( u , v ) odpovídá jednotkovému vektoru . vs.˙(t){\ displaystyle {\ dot {c}} (t)}

To vyplývá z nerovnost H r ≥ H , důsledkem toho, co derivace Wronskien z H a r (pocházející z teorie Sturm-Liouville ) se silovým stykem.

Existence a jedinečnost geodetiky

Na úplném spojeném povrchu jsou dva body vždy spojeny alespoň jednou geodetikou. Toto je speciální případ Hopf-Rinowovy věty , která platí pro varietní potrubí jakékoli dimenze. Předpoklad úplnosti je nezbytný: v euklidovské rovině zbavené bodu neexistuje geodetické spojení dvou bodů symetrických vzhledem k tomuto.

Pokud má navíc povrch přísně negativní zakřivení všude, je geodetické spojení libovolných dvou bodů jedinečné. Ačkoli jsou známé klasické přístupy k tomuto výsledku ( Milnor 1963 ) , George Birkhoff našel důkaz, který platí obecněji pro jakýkoli Riemannovský varietu záporného zakřivení; je založen na jeho způsobu zkrácení , publikoval v roce 1917, který měl vynést jemu prestižní Bôcher cenu a mít hluboký vliv na vývoj ze strany Marston Morse o teorii Morse v nekonečném rozměru ( Milnor 1963 ) , jakož i o teorii dynamických systémů .

Von Mangoldt-Hadamardova věta

Pro kompaktní povrchy se záporným zakřivením von Mangoldt (1881) a Hadamard (1898) prokázali, že exponenciální mapa v bodě je zakrytí , a proto je univerzální zakrytí potrubí E ². Tento výsledek zobecnil Cartan na vyšší dimenze a v této podobě je známý jako Cartan-Hadamardova věta . U povrchů se objeví následující tři důležité výsledky:

• Jacobian exponenciální mapy nikdy nezmizí pro povrchy záporného zakřivení, protože H r nezmizí.
• Geodetika „se rozšiřuje do nekonečna“, to znamená, že c (t) se nepřiblíží k meznímu bodu, když t má sklon k nekonečnu; toto je další důsledek Hopf-Rinowovy věty .
• Každá třída homotopy sady cest spojujících dva body obsahuje pouze jednu geodetickou, jak jsme viděli dříve.

Riemannovo spojení a paralelní doprava

Pojmy Riemannových (zavedenému Bernhard Riemann v roce 1850) a spojení (vyvinutý Tullio Levi-Civita , Elie Cartan a Hermann Weyl na počátku XX -tého  století), by umožnilo větší koncepční přístup a dokonce i pojem křivosti klasické Gaussian přístup , a to nejen zobecnitelný na vyšší dimenzionální potrubí, ale umožňuje definovat nové geometrické invarianty, charakteristické třídy .

Kovovariantní derivát

Spoje na povrchu lze definovat několika ekvivalentními metodami. Riemannian připojení , také volal připojení Levi-Civita ( Levi-Civita 1917 ) je možná snadněji chápat jako zvyšování vektorových polí , považovaný za prvního řádu diferenciální operátory (jednající na základě funkcí definovaných na potrubí), směrem k provozovatelům tangenty svazku nebo referenčního svazku .

V případě povrchu ponořeného do R 3 je toto ložisko, nazývané kovarianční derivace , jednoduše popsáno pomocí ortogonální projekce. Vektorové pole na povrchu lze považovat za funkci přecházející z povrchu do R 3 . Další vektorové pole pak funguje jako diferenciální operátor na každé komponentě. Výsledné pole není tečné k povrchu, ale stačí jej promítnout do každého bodu na odpovídající tečné rovině. Jak si Ricci a Levi-Civita uvědomili, tento postup závisí pouze na metrice a lze jej vyjádřit lokálně pomocí Christoffelových symbolů .

Paralelní doprava

Pojem paralelního přenosu vektoru po křivce poté zavedl Levi-Civita ( Levi-Civita 1917 ) . Lze jej definovat jako monodromy diferenciální rovnice definované na křivce kovariantním derivátem s ohledem na vektor rychlosti křivky. Spolu s geodetikou to znamená říci, že paralelní transport vektoru tečné roviny je jediné pole vektorů, které jej obsahují, vytvořené z vektorů konstantní normy a vytvářející konstantní úhel s vektorem tečny ke geodetice. U obecné křivky je možný analogický popis pomocí geodetické křivosti ( Berger 2003 )  :

• Pole vektorů v ( t ), podél křivky c ( t ) cestované jednotkovou rychlostí, geodetické křivosti k g ( t ), se říká, že je rovnoběžné (podél křivky), pokud
  • má stálý standard
  • úhel θ ( t ) s vektorem rychlosti vyhovuje .vs.˙(t){\ displaystyle {\ dot {c}} (t)}θ˙(t)=-kG(t){\ displaystyle {\ dot {\ theta}} (t) = - k_ {g} (t)}

Tento přístup umožňuje ukázat existenci paralelního přenosu, přičemž θ ( t ) lze vypočítat jako integrál geodetického zakřivení. Vzhledem k tomu, že závisí průběžně na L 2 normy z k g , paralelní dopravní pro libovolnou křivku lze také získat jako limit paralelních přeprav na přiblížení pomocí po částech geodetické křivky.

Spojení lze tedy popsat zvednutím cest rozdělovače směrem k cestám tečného svazku nebo svazku referenčních rámců, čímž se formuje klasická teorie „  mobilního referenčního rámce  (in)  “ ( Darboux 1887 ) . Zrušení tkaniček kolem bodu vede ke skupině holonomy v tomto bodě. Gaussovu křivku lze získat pomocí ložisek menších a menších smyček, nebo ekvivalentním způsobem vypočítat přímo „nekonečně malým“ způsobem pomocí háčků Lie z ložisek vektorových polí.

Formulář 1 připojení

Přístup Cartana a Weyl, za použití 1-formy připojení na svazku referenčních snímků z M , je další způsob, jak definovat Riemannově připojení.

Všimli si, že paralelní transport ukládá, že obnova cesty na povrchu je cesta ve svazku referenčních rámců tak, že jeho tangenciální vektory patří do velmi přesného podprostoru codimension 1 v trojrozměrném tangenciálním prostoru svazku. Projekce v tomto podprostoru je definována diferenciálním 1-formulářem na referenčním svazku, formuláři připojení . To umožňuje kódovat vlastnosti zakřivení povrchu pomocí diferenciálních tvarů a vzorců zahrnujících jejich externí derivace .

Tento přístup je obzvláště jednoduchý v případě povrchu ponořeného do E 3 . Díky výsledku ( Kobayashi 1956 ) ukážeme, že forma připojení je pak jednoduše reciproční obraz Gaussovy aplikace formy připojení na S 2 ( Kobayashi a Nomizu 1969 ) . Identifikace S 2 s homogenním prostorem SO (3) / SO (2), tento tvar je součástí tvaru Maurer-Cartan na SO (3) ( Ivey a Landsberg 2003 ) .

Globální diferenciální geometrie povrchů

Ačkoli charakterizace zakřivení zahrnuje pouze lokální geometrii povrchu, viděli jsme, že souvisí s důležitými globálními aspekty, jako je věta Gauss-Bonnet nebo věta o uniformizaci . Těmito metodami procházejí i další globální otázky; zde je několik příkladů.

• Studium poloměru injektivity , definovaného jako největší r tak, že dva body ve vzdálenosti menší než r jsou spojeny jedinou geodetikou. Wilhelm Klingenberg v roce 1959 ukázal, že poloměr injektivity uzavřeného povrchu je zmenšen o (kde K je Gaussovo zakřivení) a o délku jeho nejmenší geodetiky. Jednalo se o zlepšení Bonnetova výsledku z roku 1855, což ukazuje, že průměr uzavřeného povrchu pozitivního zakřivení se vždy zvětšil o δ, jinými slovy, že geodetika mezi dvěma body dosahující minimální vzdálenosti nemohla být delší než δ.δ=π/supK.{\ displaystyle \ delta = \ pi / {\ sqrt {\ sup K}}}
• Tuhost . V roce 1927 Cohn-Vossen ukázal, že pokud jsou dva uzavřené povrchy E 3 s pozitivními zakřiveními izometrické, jsou nutně shodné s izometrií E 3 . Navíc takový povrch s konstantním středním zakřivením je nutně koule (Liebmann 1899). Heinz Hopf v roce 1950 ukázal, že povrch konstantního středního zakřivení a homeomorfní pro kouli je jedním z nich; nakonec v roce 1955 Alexandrov ukázal, že od topologické hypotézy lze upustit.
• Carathéodory hypotéza  : tento domněnku je stanoveno, že konvexní uzavřenou plochu třikrát diferencovatelné připouští alespoň dvě pupeční body, to znamená, že místa, kde se obě hlavní zakřivení jsou stejné.

• Izoperimetrické nerovnosti . V roce 1939 Schmidt ukázal, že klasická izoperimetrická nerovnost pro rovinné křivky stále platí na kouli nebo v hyperbolické rovině, to znamená, že mezi všemi křivkami ohraničujícími oblast pevné oblasti je minimální obvod dosažen pro kružnice (v smysl metriky). Další zobecnění pojednává článek Isoperimetric theorem .
• Systolické nerovnosti . Systola uzavřeného povrchu je nejmenší délka než stažitelném křivky nakreslené na to. V roce 1949 Charles Loewner ukázal torickou nerovnost týkající se metrik, konkrétně to, že plocha torusu dělená druhou mocninou jeho systoly je snížena o , rovnost probíhá, když je zakřivení konstantní. Podobné nerovnosti existují pro projektivní rovinu (se spodní mezí 2 / π) a pro Kleinovu láhev (se spodní mezí ); obecněji Mikhaïl Gromov stanovil (neoptimální) hranice pro povrchy jakéhokoli rodu g ( Katz 2007 ) .3/2{\ displaystyle {\ sqrt {3}} / 2}8/π{\ displaystyle {\ sqrt {8}} / \ pi}

Poznámky a odkazy

Poznámky

1. Gauss provedl kartografické práce pro krále Jiřího III  ; to by mohlo vysvětlit, proč tyto články obsahují jako příklad efektivní výpočty zakřivení Země pouze na základě měření vzdáleností na jejím povrchu.
2. To také odpovídá tvaru, který by měl elastický pás protažený přes povrch mezi těmito dvěma body.
3. „Atlas“ je také název, který je v diferenciální geometrii dán těmto sadám aplikací.
4. V některých novějších textech se tato symetrická bilineární forma nazývá druhou základní formou, ale obecně neodpovídá klasické formě definované dříve.
5. Jedná se o integrál zavedený s odkazem na fyzickou energii a modelování energie výše zmíněného elastického pásu.
6. Na malém kruhu kolem každé izolované nuly pole definuje tato mapa na jednotkové kružnici, „počet otáček“ ( index ve smyslu holomorfních map) provedený druhou je indexem bodu.
7. Tento výsledek je velmi obtížné zobecnit na vyšší dimenzionální potrubí; v dimenzi 3 nelze dosáhnout lepších výsledků než Thurstonova domněnka o geometrizaci , kterou v roce 2003 předvedl Grigori Perelman .
8. Ve skutečnosti z vnějšího hlediska jde o úhly mezi rovinami velkých kruhů.

Reference

1. Toto pojednání je k dispozici (ale není digitalizováno) na Gallice a také na webu University of Michigan  : zde je faksimile jedné z jejích stránek .
2. Eisenhart 2004 , s.  241-250; do Carmo 1976 , s.  188-197.
3. Eisenhart 2004 , s.  250-269; do Carmo 1976 , s.  197-213.
4. Douglasovo řešení je popsáno v Courant 1950 .
5. Eisenhart 2004 , s.  270-291; O'Neill 1997 , s.  249-251; Hilbert a Cohn-Vossen 1952 .
6. O'Neill 1997 , str.  249-251; do Carmo 1976 , s.  168-170; Gray, Abbena a Salamon 2006 .
7. Eisenhart 2004 , s.  114-115; Pressley 2001 , s.  123-124; Wilson 2008 , s.  123-124.
8. Viz část věnovaná Gauss-Codazziho rovnicím v článku Riemannovo spojení na ploše  (in) .
9. O'Neill 1997 , str.  195-216; do Carmo 1976 , s.  134-153; Singer a Thorpe 1967 , str.  216-224.
10. Berger 2003 , Wilson 2008 , Milnor 1963 .
11. Eisenhart 1947 , str.  131; Berger 2003 , s.  39; do Carmo 1976 , s.  248; O'Neill 1997 , s.  237.
12. Viz Nashova věta o vložení .
13. David Spring, Konvexní teorie integrace - řešení h-principu v geometrii a topologii , Monografie v matematice 92, Birkhauser-Verlag, 1998
14. Vincent Borelli, „  Gnash, plochý torus  “ , na obrázcích z matematiky .
15. Eisenhart 2004  ; Taylor 1996a , dodatek C.
16. Eisenhart 2004 , Berger 2003 .
17. Helgason , str.  92
18. Singer a Thorpe 1967 a (en) Adriano M. Garsia , „  Vložení uzavřených Riemannův povrchů do euklidovského prostoru  “ , Komentář. Matematika. Helv. , sv.  35,1961, str.  93 - 110 ( DOI  10.1007 / BF02567009 ).
19. Berger 1977 , Taylor 1996a .
20. Wilson 2008 , str.  1-23, kap. Já, euklidovská geometrie .
21. Wilson 2008 , str.  25-49, Kapitola II, Sférická geometrie .
22. Wilson 2008 , kap. 2.
23. Stillwell 1996  ; Bonola, Carslaw a Enriques 1955 .
24. Wilson 2008 , kap. 5.
25. Taylor 1996b , str.  107; Berger 1977 , s.  341-343.
26. Berger 1977 , str.  222-225; Taylor 1996b , s.  101-108.
27. Chow 1991 , Taylor 1996b .
28. Chen, Lu a Gang 2006 dokončili chybějící krok v přístupu Hamiltona a Chowa.
29. Berger 2003 a (en) Jürgen Jost , Nepozitivní zakřivení: geometrické a analytické aspekty , Basilej, ETH Curych, kol.  "Přednášky z matematiky",1997, 112  s. ( ISBN  978-3-7643-5736-8 , LCCN  97011973 , číst online ).
30. do Carmo 1976 , Berger 2003 .
31. Eisenhart 2004 , Kreyszig 1991 , Berger 2003 , Wilson 2008 .
32. Kobayashi a Nomizu 1969 , kap. XII.
33. Arnold 1989 , s.  301-306, dodatek I; Berger 2003 , s.  263-264.
34. Berger 2003 , s.  145-161; do Carmo 1976  ; Chern 1967  ; Hopf 1989 .

• (fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „  Diferenciální geometrie povrchů  “ ( viz seznam autorů ) .

Francouzsky

• Marcel Berger a Bernard Gostiaux , Diferenciální geometrie: odrůdy, křivky a povrchy ,1992[ detail vydání ]
• Élie Cartan , Lekce geometrie prostor od Riemanna , Paříž, Gauthier-Villard,1946, 2 nd  ed. , 378  s. ( ISBN  978-2-87647-008-8 a 2-87647-008-X )
• Gaston Darboux , Lekce obecné teorie povrchů: Svazek I , Svazek II , Svazek III , Svazek IV , Gauthier-Villars , 1887,1889,1896
• Leonhard Euler , „  Výzkum zakřivení povrchů  “, Memoirs of the Berlin Academy of Sciences , sv.  16,1760, str.  119-143 ( číst online ) (publikováno v roce 1767)
• Georges Valiron , Pojednání o analýze (svazek 2: Funkční rovnice) ,1950 ; přeložil do angličtiny (en) James Glazebrook , The Classical Differential Geometry of Curves and Surfaces , Brookline, Math Sci Press,1986, 268  s. ( ISBN  978-0-915692-39-2 a 0915692392 , LCCN  86023882 , číst online )

jiný

• (en) AD Aleksandrov a VA Zalgaller  (en) , Intrinsic Geometry of Surfaces , AMS , coll.  "Překlady matematické Monographs" ( n o  15)1967
• (en) VI Arnold , Matematické metody klasické mechaniky , New York, Springer-Verlag, kol.  "  GTM  " ( n o  60)1989, 2 nd  ed. ; přeložili z ruštiny K. Vogtmann a A. Weinstein
• (en) Marcel Berger , Panoramatický pohled na Riemannovu geometrii ,2003 [ detail vydání ]
• (en) Melvyn S. Berger , nelinearita a funkční analýza , New York, Academic Press,1977, 417  str. ( ISBN  978-0-12-090350-4 a 0-12-090350-4 , LCCN  76026039 )
• (en) Roberto Bonola , HS Carslaw a F. Enriques , neeuklidovská geometrie: kritická a historická studie jejího vývoje , New York, Dover,1955, 1 st  ed. , 389  s. , kapsa ( ISBN  978-0-486-60027-7 a 0-486-60027-0 , LCCN  55014932 , číst online )
• (en) Élie Cartan , Riemannova geometrie v ortogonálním rámci (z přednášek, které přednesl E. Cartan na Sorbonně v letech 1926-27) , World Scientific,2001, 259  s. ( ISBN  978-981-02-4747-8 a 981-02-4747-8 , číst online ) ; přeloženo z ruštiny VV Goldberg s předmluvou Shiing-Shen Chern .
• (en) Xiuxiong Chen , Peng Lu a Tian Gang , „  Poznámka k uniformizaci Riemannův povrchů pomocí Ricciho toku  “ , Proc. Hořký. Matematika. Soc. , sv.  134,2006, str.  3391-3393 ( DOI  10.1090 / S0002-9939-06-08360-2 )
• (en) SS Chern , křivky a povrchy v euklidovských prostorech , MAA , kol.  "MAA Studies in Mathematics",1967
• (en) B. Chow , „  Ricci proudí na 2 sféře  “ , J. Diff. Geom. , sv.  33,1991, str.  325-334
• (en) Richard Courant , Dirichletův princip, konformní mapování a minimální povrchy , John Wiley & Sons ,1950( ISBN  978-0-470-17886-7 a 0-470-17886-8 )
• (en) W. Ding , „  Důkaz věty o uniformizaci na S 2  “ , J. Parciální diferenciální rovnice , sv.  14,2001, str.  247-250
• (en) Manfredo P. do Carmo , Diferenciální geometrie křivek a povrchů , Horní sedlo, Prentice-Hall,1976( ISBN  978-0-13-212589-5 a 0-13-212589-7 , LCCN  75022094 , číst on-line )
• (en) Luther Eisenhart  (en) , An Introduction to Differential Geometry with Use of the Tensor Calculus , PUP , coll.  "Princeton Matematická Series" ( n o  3),1947
• (en) Luther Eisenhart , Pojednání o diferenciální geometrii křivek a povrchů , Mineola, Dover,2004, 474  s. ( ISBN  978-0-486-43820-7 a 0-486-43820-1 , LCCN  2005271929 , číst online ) Celý text z roku 1909 (nyní bez autorských práv)
• (la) Leonhard Euler , „  De solidis quorum superficiem in planum explicare licet  “ , Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae , sv.  16,1771( číst online ) (publikováno v roce 1772)
• (en) Carl Friedrich Gauss , General Investigations of Curved Surfaces , New York, Raven Press,1965( číst online )přeloženy z latiny AMHiltebeitel a JCMorehead; (la) Carl Friedrich Gauss , „  Disquisitiones generales circa superficies curvas  “ , Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis recentiores , sv.  VI,1827, str.  99-146 ( číst online )
• (en) Alfred Gray , Elsa Abbena a Simon Salamon , Moderní diferenciální geometrie křivek a povrchů pomocí Mathematica , CRC Press ,2006( ISBN  1-58488-448-7 )
• (en) Qing Han a Jia-Xing Hong , izometrické zabudování Riemannova potrubí do euklidovských prostorů , Providence, AMS,2006, 260  s. ( ISBN  978-0-8218-4071-9 a 0-8218-4071-1 , LCCN  2006045898 , číst online )
• (en) David Hilbert a Stephan Cohn-Vossen , Geometry and the Imagination [ detail vydání ]
• (en) Heinz Hopf , Přednášky o diferenciální geometrii ve velkém , Springer-Verlag, kol.  "Lecture Notes in Mathematics" ( n O  1000),1989
• (en) Y. Imayoshi a M. Taniguchi , An Introduction to Teichmüller spaces , Tōkyō, Springer-Verlag,1992, 279  s. ( ISBN  978-0-387-70088-5 a 0-387-70088-9 , LCCN  92013893 )
• (en) Thomas A. Ivey a JM Landsberg , Cartan pro začátečníky: Diferenciální geometrie pomocí pohyblivých rámů a vnějších systémů , AMS, kol.  "Absolvent studia v Mathematics" ( n O  61),2003( ISBN  978-0-8218-3375-9 a 0-8218-3375-8 , číst online )
• (en) Howard Jacobowitz , „  Místní izometrické vložení povrchů do euklidovského čtyřprostoru  “ , Indiana Univ. Matematika. J. , sv.  21,1972, str.  249-254 ( DOI  10.1512 / iumj.1971.21.21019 , číst online )
• (en) Mikhail G. Katz , Systolická geometrie a topologie , Providence, AMS, kol.  "Matematické Průzkumy a monografie" ( n o  137)2007, 222  s. ( ISBN  978-0-8218-4177-8 , LCCN  2007060668 , číst online )
• (en) Shoshichi Kobayashi  (en) , „  Indukované spojení a zapuštěný Riemannův prostor  “ , Nagoya Math. J. , sv.  10,1956, str.  15-25
• (en) Shoshichi Kobayashi , „  Theory of connections  “ , Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta , sv.  43,1957, str.  119-194 ( DOI  10.1007 / BF02411907 )
• (en) Shoshichi Kobayashi a Katsumi Nomizu  (en) , Základy diferenciální geometrie , sv.  Já, Wiley ,1996( 1 st  ed. 1963), 344  str. ( ISBN  978-0-471-15733-5 )
• (en) Shoshichi Kobayashi a Katsumi Nomizu , Základy diferenciální geometrie , sv.  II, New York, Wiley,1969, 799  s. ( ISBN  978-0-470-49648-0 )
• (en) Erwin Kreyszig , Diferenciální geometrie , New York, Dover,1991, 352  s. , kapsa ( ISBN  978-0-486-66721-8 a 0-486-66721-9 , LCCN  91014321 , číst online )
• (en) Wolfgang Kühnel ( překlad  z němčiny), Diferenciální geometrie: Křivky - Povrchy: Rozdělovače , Providence, AMS,2006, 2 nd  ed. , 380  s. ( ISBN  978-0-8218-3988-1 a 0-8218-3988-8 , LCCN  2005052798 , číst online )
• (it) Tullio Levi-Civita , „  Nozione di parallelismo in una varieta qualunque  “ , Rend. Circ. Stožár. Palermo , sv.  42,1917, str.  173-205 ( DOI  10.1007 / BF03014898 )
• (en) John Milnor , Morseova teorie , Princeton, NJ, PUP, kol.  "Annals matematiky studií" ( n o  51)1963, 5 th  ed. , 153  s. ( ISBN  978-0-691-08008-6 a 0-691-08008-9 , číst online ), poznámky M. Spivaka a R. Wellse
• (en) Barrett O'Neill , Elementární diferenciální geometrie , San Diego, Academic Press,1997, 2 nd  ed. , 482  s. ( ISBN  978-0-12-526745-8 a 0-12-526745-2 , LCCN  96041799 )
• (en) Robert Osserman , Průzkum minimálních povrchů , New York, Dover,2002, 207  s. ( ISBN  978-0-486-49514-9 a 0-486-49514-0 )
• (en) EG Poznjak , „  Izometrické zabudování dvourozměrných Riemannovských metrik do euklidovských prostorů  “ , ruský matematik. Průzkumy , sv.  28,1973, str.  47-77 ( DOI  10.1070 / RM1973v028n04ABEH001591 )
• (en) Andrew Pressley , Elementární diferenciální geometrie , Londýn, Springer-Verlag, kol.  "Springer Undergraduate Mathematics Series",2001, 7 th  ed. , 332  s. , kapsa ( ISBN  978-1-85233-152-8 a 1-85233-152-6 , LCCN  00058345 , číst online )
• (en) J. Sacks a Karen Uhlenbeck , „  Existence minimálního ponoření do dvou sfér  “ , Ann. Matematika. , sv.  112, n o  1,devatenáct osmdesát jedna, str.  1-24 ( DOI  10.2307 / 1971131 , číst online )
• (en) Isadore M. Singer a John A. Thorpe , Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry , New York, Springer-Verlag,1967, 232  s. ( ISBN  978-0-387-90202-9 a 0-387-90202-3 , LCCN  76026137 , číst online )
• (en) John Stillwell , Zdroje hyperbolické geometrie , Providence, AMS,1996, 153  s. , kapsa ( ISBN  978-0-8218-0922-8 a 0-8218-0922-9 , LCCN  96003894 , číst online )
• (en) Dirk Jan Struik , Přednášky o klasické diferenciální geometrii: Druhé vydání , New York, Dover,1988, 2 nd  ed. , 232  s. , kapsa ( ISBN  978-0-486-65609-0 a 0-486-65609-8 , číst online )
• (v), Michael E. Taylor , parciálních diferenciálních rovnic II: Kvalitativní studie lineárních rovnic , New York, Springer-Verlag, 1996a, 2 th  ed. , 610  str. ( ISBN  978-0-387-94651-1 a 0-387-94651-9 )
• (v), Michael E. Taylor , parciálních diferenciálních rovnic III: nelineárních rovnic , New York, Springer-Verlag, 1996 b, 2 th  ed. , 610  str. ( ISBN  978-0-387-94652-8 a 0-387-94652-7 )
• (en) Victor Toponogov  (en) , Diferenciální geometrie křivek a povrchů: Stručný průvodce , Boston, Springer-Verlag,2005, 206  s. ( ISBN  978-0-8176-4384-3 a 0-8176-4384-2 , LCCN  2005048111 , číst online )
• (en) Pelham Wilson , Curved Space: From Classical Geometries to Elementary Differential Geometry , Cambridge, Cambridge University Press ,2008, 186  s. ( ISBN  978-0-521-71390-0 )

Související článek

• Diferenciální geometrie křivek  (in)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">