Darcy-Forchheimerův zákon

Darcy-Forchheimer koriguje zákon Darcyho pro průtoky tekutiny v porézních médiích s přihlédnutím setrvačný účinek. Vychází z tvorby Julesa Dupuita (1863) a Philippa Forchheimera (1901) a ve své současné podobě jej dal JC Ward (1964).

Darcy-Forchheimerův zákon

Když je průtok vysoký, lze vzít v úvahu setrvačné účinky pomocí korekce zahrnující Reynoldsovo číslo na základě charakteristické délky ${\ displaystyle {\ sqrt {K}}}$

{\ displaystyle Re_ {k} = {\ frac {\ rho \, || \ mathbf {V} || {\ sqrt {K}}} {\ mu}}}

$\ rho$ hustota kapaliny,
${\ displaystyle \ mathbf {V}}$ průměrná rychlost v porézním médiu, definovaná kde je hmotnostní tok, ${\ displaystyle \ mathbf {q} = \ rho \ mathbf {V}}$ ${\ mathbf {q}}$
$K.$ propustnost , předpokládaná jako skalární,
$\ mu$ dynamická viskozita .

Tato oprava je vyjádřena v Darcyho-Forchheimerově zákoně následovně

{\ displaystyle K (\ nabla p- \ rho \ mathbf {g} \,) = - \ mu \ mathbf {V} \, (1+ \ alpha Re_ {k})}

nebo

${\ displaystyle \ nabla p}$ je tlakový gradient,
${\ mathbf {g}}$ je pole zrychlení,
$\ alfa$ je číslo Ergün (nebo číslo Ward). Je to řádově 0,5.

Měření charakteristik prostředí

Lze získat pro plyn současně a ze série laboratorních experimentů, kde je zanedbána jednorozměrná situace . $K.$ $\ alfa$ ${\ mathbf {g}}$

Darcy-Forchheimerova rovnice je napsána:

{\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {\ mu} {K}} {\ frac {q} {\ rho}} + {\ frac {\ alpha} {\ sqrt {K}}} {\ frac {q ^ {2}} {\ rho}}}

Stavovou rovnici údajně dokonalého plynu používáme ve tvaru:

{\ displaystyle p = {\ frac {\ rho RT} {M}}}

nebo

Vynásobením výše uvedeného vztahu vlevo a jeho hodnoty vpravo to přijde: $p$

{\ displaystyle -p {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {RT} {M}} q \ vlevo ({\ frac {\ mu} {K} } + {\ frac {\ alpha} {\ sqrt {K}}} {q} \ vpravo)}

což dává odhad

{\ displaystyle - {\ frac {M} {2RTq \ mu}} {\ frac {\ Delta (p ^ {2})} {\ Delta x}} = {\ frac {1} {K}} + {\ frac {\ alpha} {\ sqrt {K}}} {\ frac {q} {\ mu}}}

Změnou tlaku a měřením průtoku v experimentu získáme řadu bodů, ze kterých extrahujeme průsečík y a sklon (viz křivka). ${\ displaystyle {\ frac {1} {K}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ sqrt {K}}}}$

Reference

(in) Ward, JC, Turbulent Flow in Porous Media , Journal Hydraulics Division Proceedings of ASCE , sv. 5, s. 1-12 (1964)
(in) Donald A. Nield, Adrian Bejan , Konvekce v porézních médiích , Springer , 2006 ( ISBN 0-387-29096-6 )
(in) Cornell, D. a Katz, LD, Flow of Gases Through Porous Media Consolidated , Industrial & Engineering Chemistry Research , sv. 45, 1953, str. 2145–2152