Hypergeometrický zákon
Hypergeometrický zákon
|
|
Hromadná funkce
|
Distribuční funkce
|
|
Nastavení
|
NE∈0,1,2,...p∈[0;1]ne∈0,1,2,...,NE{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} N & \ v 0,1,2, \ tečky \\ p & \ v [0; 1] \\ n & \ v 0,1,2, \ tečky, N \ konec {zarovnáno}} \,}
|
---|
Podpěra, podpora
|
k∈max(0,ne-qNE),...,min(pNE,ne){\ displaystyle \ scriptstyle {k \, \ v \, \ max {(0, \, n-qN)}, \, \ tečky, \, \ min {(pN, \, n)}} \,}
|
---|
Hromadná funkce
|
(pNEk)(qNEne-k)(NEne){\ displaystyle {\ frac {{pN \ zvolit k} {qN \ vybrat nk}} {N \ zvolit n}}}
|
---|
Naděje
|
nep{\ displaystyle np \!}
|
---|
Móda
|
⌊(ne+1)(pNE+1)NE+2⌋{\ displaystyle \ left \ lfloor (n + 1) {\ frac {(pN + 1)} {N + 2}} \ right \ rfloor}
|
---|
Rozptyl
|
nepq(NE-ne)(NE-1){\ displaystyle npq {\ frac {(Nn)} {(N-1)}}}
|
---|
Asymetrie
|
(NE-2ne)(q-p)(NE-1)12[nepq(NE-ne)]12(NE-2){\ displaystyle {\ frac {(N-2n) (qp) (N-1) ^ {\ frac {1} {2}}} {[npq (Nn)] ^ {\ frac {1} {2}} (N-2)}}}
|
---|
Normalizovaná špičatost
|
(NE-1)[NE2(1-6pq)+NE(1-6ne)+6ne2]nepq(NE-ne)(NE-2)(NE-3){\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {(N-1) [N ^ {2} (1-6pq) + N (1-6n) + 6n ^ {2}]}} {npq (Nn) (N-2) (N-3)}}}
+6NE2(NE-2)(NE-3)-6{\ displaystyle + {\ frac {6N ^ {2}} {(N-2) (N-3)}} - 6}
|
---|
Funkce generující momenty
|
(qNEne)2F1(-ne,-pNE;qNE-ne+1;Et)(NEne){\ displaystyle {\ frac {{qN \ zvolit n} \ scriptstyle {\, _ {2} F_ {1} (- n, -pN; qN-n + 1; e ^ {t})}}} {N \ zvolte n}} \, \!}
|
---|
Charakteristická funkce
|
(qNEne)2F1(-ne,-pNE;qNE-ne+1;Eit)(NEne){\ displaystyle {\ frac {{qN \ vyberte n} \ scriptstyle {\, _ {2} F_ {1} (- n, -pN; qN-n + 1; e ^ {it})}}} {N \ zvolte n}}}
|
---|
Hypergeometric zákon souvisejících parametrů , a je diskrétní pravděpodobnost zákon , který popisuje následující model:
ne{\ displaystyle n}p{\ displaystyle p}NE{\ displaystyle N}
To
současně přitahuje koule v krabici obsahující výhru koule a ztráty koule (s celkovým počtem kuliček rovná = ). Pak jsme spočítat vítězné míčky vytěžené a říkáme o
náhodnou veličinu dává toto číslo.
ne{\ displaystyle n}NE1=pNE{\ displaystyle N_ {1} = pN}NE2=qNE{\ displaystyle N_ {2} = qN}q=1-p{\ displaystyle q = 1-p}pNE+qNE{\ displaystyle pN + qN}NE{\ displaystyle N}X{\ displaystyle X}Vesmír je množina celých čísel od 0 do . Proměnná se poté řídí zákonem pravděpodobnosti definovaným
X(Ω){\ displaystyle X \! (\ Omega)}ne{\ displaystyle n}X{\ displaystyle X}
P(X=k)=PX(k)=(pNEk)(qNEne-k)(NEne){\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = \ mathbb {P} _ {X} (k) = {\ frac {{pN \ zvolit k} {qN \ vybrat nk}} {N \ zvolit n} }}(pravděpodobnost úspěchu).
k{\ displaystyle k}Tento zákon pravděpodobnosti se nazývá hypergeometrický zákon parametrů a označujeme jej .
(ne,p,NE){\ displaystyle (n, p, N)}X∼H(ne,p,NE){\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {H}} (n, p, N)}
Je nutné, aby to byla realita mezi 0 a 1, to je celé číslo a to . Pokud tyto podmínky nejsou uloženy, množina možností je množina celých čísel mezi a .
p{\ displaystyle p}pNE{\ displaystyle pN}ne⩽NE{\ displaystyle n \ leqslant N}X(Ω){\ displaystyle X \! (\ Omega)}max(0,ne-qNE){\ displaystyle \ max (0, n-qN)}min(pNE,ne){\ displaystyle \ min (pN, n)}
Jednoduchý příklad
Jezero obsahuje sto ryb, z nichž čtvrtinu tvoří štiky. 10 ryb je chyceno; zákon o počtu štik v úlovku je .
X{\ displaystyle X}H(10,1/4,100){\ displaystyle H (10,1 / 4 100)}
Poté pro následující páry najdeme :
(k,P(X=k)){\ displaystyle (k, \ mathbb {P} (X = k))}
(0,5%), (1,18%), (2,30%), (3,26%), (4,15%), (5,5%), (6,1%), (7,0%), (8,0%), (9,0%), (10,0%)
Takže maximální šance na 2 nebo 3 štiky. Očekávání počtu štik je navíc 10/4 = 2,5.
Výpočet pravděpodobnostního zákona
Jedná se o simultánní kreslení (to znamená, že nenařídil a bez náhrady, i když zákon pravděpodobnosti zůstane na stejné úrovni, pokud jsme se rozhodli objednat výkres, protože by to znamenalo vynásobení čitatele a jmenovatele množství všech prvků mezi nakreslete kterou člověk považuje za rovnocennou.
ne!{\ displaystyle n!}P(X=k){\ displaystyle P (X = k)}ne{\ displaystyle n}NE{\ displaystyle N}
Tato kombinace řekněme kardinál vesmíru .
(NEne){\ displaystyle \ textstyle {N \ zvolit n}}
|
Kreslit
|
Zůstalo v urnách
|
Celkový
|
---|
Úspěch
|
k{\ displaystyle k}
|
pNE-k{\ displaystyle pN-k}
|
pNE{\ displaystyle pN}
|
Šachy
|
ne-k{\ displaystyle nk}
|
qNE-ne+k{\ displaystyle qN-n + k}
|
qNE{\ displaystyle qN}
|
Celkový
|
ne{\ displaystyle n}
|
NE-ne{\ displaystyle Nn}
|
NE{\ displaystyle N}
|
Událost (viz tabulka) představuje případ, kdy člověk vytáhl vítězné míčky a z nich prohrál . Kardinál této události je tedy .
{X=k}{\ displaystyle \ {X = k \}}k{\ displaystyle k}pNE{\ displaystyle pN}ne-k{\ displaystyle nk}qNE{\ displaystyle qN}(pNEk)(qNEne-k){\ displaystyle \ textstyle {pN \ vyberte k} {qN \ vyberte nk}}
Pravděpodobnost události tedy je .
Poznámka: stejně jako u jakékoli hustoty pravděpodobnosti je součet roven 1, což dokazuje identitu Vandermonde .
P(X=k)=PX(k)=(pNEk)(qNEne-k)(NEne){\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = \ mathbb {P} _ {X} (k) = {\ frac {{pN \ zvolit k} {qN \ vybrat nk}} {N \ zvolit n} }}
P(X=k){\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k)}
Očekávání, rozptyl a směrodatná odchylka
Očekávání náhodné proměnné následující po Hypergeometrické rozdělení s parametry , je stejný jako u binomické proměnné parametry y : .
X{\ displaystyle X}(ne,p,NE){\ displaystyle (n, p, N)}(ne,p){\ displaystyle (n, p)}E(X)=nep{\ displaystyle \ mathbb {E} (X) = np \,}
Demonstrace
Dáme si: X∼H(ne,p,NE){\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {H}} (n, p, N)}
(Odkážeme-li na model uren se simultánním kreslením, to znamená neobjednané a bez náhrady. Máme tedy : počet koulí typu „úspěch“ a : počet koulí typu „selhání“.)
NENE=pNE{\ displaystyle N_ {N} = pN}NEB=qNE=(1-p)NE{\ displaystyle N_ {B} = qN = (1-p) N}
P(X=k)=(NENEk)(NEBne-k)(NEne){\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = {\ frac {{N_ {N} \ zvolit k} {N_ {B} \ zvolit nk}} {N \ zvolit n}}}Pojďme číslovat od 1 do koulí typu „success“ a definujme vše mezi 1 a událostí:
NENE{\ displaystyle N_ {N}}k{\ displaystyle k}NENE{\ displaystyle N_ {N}}
Ek={stříleli jsme mezi ne koule úspěch typu koule k}{\ displaystyle E_ {k} = \ {{\ text {jsme stříleli mezi}} \ n \ {\ text {míčky úspěšný míč}} \ k \}}.
Protože celkový počet vylosovaných koulí typu „úspěch“ jeX{\ displaystyle X}X=∑k=1NENE1Ek{\ displaystyle X = \ součet _ {k = 1} ^ {N_ {N}} \ mathbf {1} _ {E_ {k}} \,}
(kde 1 je funkce indikátor z ), od linearity naděje .
Ek{\ displaystyle E_ {k}}E(X)=NENEP(E1){\ displaystyle \ mathbb {E} (X) = N_ {N} \ mathbb {P} (E_ {1}) \,}
Nyní pojďme vyhodnotit . Přepnutím na doplňkové
P(E1){\ displaystyle \ mathbb {P} (E_ {1}) \,}
P(E1)¯=(NE-1ne)(NEne)=(NE-1)!ne!(NE-1-ne)!ne!(NE-ne)!NE!=NE-neNE{\ displaystyle \ mathbb {P} {\ bar {(E_ {1})}} = {\ frac {N-1 \ zvolit n} {N \ zvolit n}} = {\ frac {(N-1)! } {n! (N-1-n)!}} {\ frac {n! (Nn)!} {N!}} = {\ frac {Nn} {N}} \,}což je pravděpodobnost, že daný míč nikdy nezastřelíte.
Proto P(E1)=1-NE-neNE=neNE=neNENE+NEB{\ displaystyle \ mathbb {P} (E_ {1}) = 1 - {\ frac {Nn} {N}} = {\ frac {n} {N}} = {\ frac {n} {N_ {N} + N_ {B}}} \,}
Proto z toho usuzujeme E(X)=neNENENENE+NEB=neNENENE{\ displaystyle \ mathbb {E} (X) = {\ frac {nN_ {N}} {N_ {N} + N_ {B}}} = {\ frac {nN_ {N}} {N}} \,}
Pamatujeme-li, že to je přesně pravděpodobnost úspěchu, máme dobře .
NENENE=p{\ displaystyle {\ frac {N_ {N}} {N}} = p \,}E(X)=nep{\ displaystyle \ mathbb {E} (X) = np \,}
Rozptyl náhodné veličiny po hypergeometric zákona parametrů je , kterou jsme si všimnout, že inklinuje k očekávání , když má tendenci k nekonečnu.
ne,p,NE{\ displaystyle n, p, N}nepqNE-neNE-1{\ displaystyle npq {\ frac {Nn} {N-1}}}nepq{\ displaystyle npq}NE{\ displaystyle N}
Standardní odchylka je pak .
nepqNE-neNE-1{\ displaystyle {\ sqrt {npq}} {\ sqrt {\ frac {Nn} {N-1}}}}
Konvergence
Jak má sklon k nekonečnu, hypergeometrický zákon konverguje k binomickému zákonu parametrů a . Navíc intuitivně, pro velké, natáčení koulí současně činí plnění jednou Bernoulliho zkouškou , jejíž pravděpodobnost úspěchu bude ( je podíl na vítězství petanque v sadě petanque), protože to je velmi nepravděpodobné, že by na stejné míče, a to i pokud je v urně nahrazen.
NE{\ displaystyle N}ne{\ displaystyle n}p{\ displaystyle p}NE{\ displaystyle N}ne{\ displaystyle n}ne{\ displaystyle n}p{\ displaystyle p}p{\ displaystyle p}
Důkaz konvergence k binomickému zákonu
Pojďme to rozebrat .
(pNEk)(qNEne-k)(NEne){\ displaystyle {\ frac {{pN \ zvolit k} {qN \ vybrat nk}} {N \ zvolit n}}}
(pNEk)(qNEne-k)(NEne)=(pNE)!k!(pNE-k)!⋅(qNE)!(ne-k)!(qNE-ne+k)!⋅ne!(NE-ne)!NE!{\ displaystyle {\ frac {{pN \ zvolit k} {qN \ vybrat nk}} {N \ zvolit n}} = {\ frac {(pN)!} {k! (pN-k)!}} \ cdot {\ frac {(qN)!} {(nk)! (qN-n + k)!}} \ cdot {\ frac {n! (Nn)!} {N!}}}
=(nek)(pNE)!(pNE-k)!⋅(qNE)!(qNE-ne+k)!⋅(NE-ne)!NE!{\ displaystyle = {n \ vyberte k} {\ frac {(pN)!} {(pN-k)!}} \ cdot {\ frac {(qN)!} {(qN-n + k)!}} \ cdot {\ frac {(Nn)!} {N!}}}
- Pro první semestr: (pNE)!(pNE-k)!=1⋅2⋅3⋅...⋅pNE1⋅2⋅3⋅...⋅(pNE-k)=pNE⋅(pNE-1)⋅...⋅(pNE-k+1){\ displaystyle {\ frac {(pN)!} {(pN-k)!}} = {\ frac {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot ... \ cdot pN} {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot ... \ cdot (pN-k)}} = pN \ cdot (pN-1) \ cdot ... \ cdot (pN-k + 1)}
Protože máme:
NE→+∞{\ displaystyle N \ rightarrow + \ infty}
(pNE)!(pNE-k)!(pNE)k=∏i=1kpNE-k+ipNE=∏i=1k(1+Ó(1))=1+Ó(1){\ displaystyle {\ frac {(pN)!} {(pN-k)! (pN) ^ {k}}} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {pN-k + i } {pN}} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} (1 + o (1)) = 1 + o (1)}a máme pNE!(pNE-k)!∼(pNE)k{\ displaystyle {\ frac {pN!} {(pN-k)!}} \ sim (pN) ^ {k}}
- To samé platí pro druhý termín stanoví: .(qNE)!(qNE-ne+k)!∼(qNE)ne-k{\ displaystyle {\ frac {(qN)!} {(qN-n + k)!}} \ sim (qN) ^ {nk}}
- Konečně třetí termín: .NE!(NE-ne)!∼NEne{\ displaystyle {\ frac {N!} {(Nn)!}} \ sim N ^ {n}}
Na závěr máme: (pNEk)(qNEne-k)(NEne)∼NE→+∞(nek)(pNE)k(qNE)ne-kNEne=(nek)pkqne-k{\ displaystyle {\ frac {{pN \ zvolit k} {qN \ vybrat nk}} {N \ zvolit n}} \ sim _ {N \ rightarrow + \ infty} {n \ zvolit k} {\ frac {(pN ) ^ {k} (qN) ^ {nk}} {N ^ {n}}} = {n \ vyberte k} p ^ {k} q ^ {nk}}
Jde skutečně o binomické rozdělení parametrů .
(ne,p){\ displaystyle (n, p)}
V praxi můžeme k hypergeometrickému zákonu parametrů přistupovat pomocí binomického zákona parametrů, jakmile je vzorek 10krát menší než populace .
(ne,p,NE){\ displaystyle (n, p, N)}(ne,p){\ displaystyle (n, p)}ne/NE<0,1{\ displaystyle n / N <0,1}ne{\ displaystyle n}NE{\ displaystyle N}
Velmi klasický příklad této náhrady se týká průzkumů veřejného mínění . Průzkum mezi lidmi se často považuje za nezávislý průzkum, když je průzkum ve skutečnosti vyčerpávající (nikdy nehovoríte se stejnou osobou dvakrát). Protože ( počet respondentů ) < ( zjišťovaná populace ) / 10, je toto přiblížení legitimní.
ne{\ displaystyle n}ne{\ displaystyle n}ne{\ displaystyle n}NE{\ displaystyle N}
Původ hypergeometrického názvu
Název „hypergeometrický zákon“ vychází ze skutečnosti, že jeho generující řada je zvláštním případem hypergeometrické řady, řady zobecňující geometrickou řadu. Opravdu je to racionální zlomek v .
E(XX)=∑k=0neP(X=k)Xk{\ displaystyle E (x ^ {X}) = \ součet _ {k = 0} ^ {n} \ mathbb {P} (X = k) x ^ {k}}P(X=k+1)P(X=k)=(NE1-k)(ne-k)(k+1)(NE2-ne+k+1){\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {P} (X = k + 1)} {\ mathbb {P} (X = k)}} = {\ frac {(N_ {1} -k) (nk)} {(k + 1) (N_ {2} -n + k + 1)}}}k{\ displaystyle k}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">