Medián (statistika)

V teorii a statistice pravděpodobnosti je medián hodnota, která odděluje spodní polovinu od horní poloviny množiny ( vzorek , populace , rozdělení pravděpodobnosti ). Medián je tedy intuitivně středem celku. Je to centrální indikátor tendence řady. Můžeme určit medián pro sadu nečíselných hodnot, pokud si můžeme vybrat kritérium pro seřazení těchto hodnot.

Metoda výpočtu

Obecný přístup

Chcete-li určit medián sady hodnot, stačí uspořádat hodnoty v rostoucím seznamu a vybrat hodnotu, která je ve středu tohoto seznamu. U uspořádaného seznamu n prvků, přičemž n je liché, je hodnota prvku v pozici (n + 1) / 2 střední hodnota. Pokud je počet n prvků sudý, je jakákoli hodnota mezi prvky v pozicích (n-1) / 2 a (n + 1) / 2 medián; v praxi se v případě seznamu čísel nejčastěji používá aritmetický průměr těchto dvou centrálních hodnot .

Složitost algoritmu pro výpočet mediánu je proto složitost třídění algoritmu použitého, a to O ( n log n ), v nejlepším případě .

Příklady

Sada 7 celých čísel : {12; 5; 6; 89; 5; 2390; 1}. Po třídění, série je 1, 5, 5, 6, 12, 89, 2390. Medián je 4 tý prvek z řady, tedy 6: čtyři hodnoty v sadě menší nebo rovno 6 a čtyři větší než nebo rovno 6.
Sada 6 celých čísel: {12; 5; 6; 89; 5; 1}. Po třídění, série je 1, 5, 5, 6, 12, 89. Každá hodnota mezi 3 rd a 4 th prvky této řady, tedy mezi 5 a 6, může být zvolen jako medián. Tři prvky jsou menší nebo rovny 5,6 a tři jsou větší než to, takže 5,6 je medián, ale stejně je 5,141, 5,9 nebo 5,5. Tato poslední hodnota bude obecně brána jako medián, protože se jedná o aritmetický průměr dvou centrálních prvků 5 a 6.
Předpokládejme 21 lidí v místnosti. Každá si vezme peníze ze své kapsy a položí je na stůl: 20 lidí odložilo 5 eur a poslední 10 000 eur. Medián je ústředním prvkem, jedenáctým, objednaného seznamu 5, 5, 5,…, 5, 10 000. Je to tedy 5: jedenáct lidí drželo nejméně 5 eur a jedenáct nejvýše 5 eur. Všimli jsme si, že kdyby se nejbohatší člověk nezúčastnil, medián by byl stejný (5 EUR), ale průměr by se radikálně změnil (5 EUR namísto 480,95 EUR ).
Expresní průzkum mezi 50 uživateli Wikipedie odhalil, že 12 z dotázaných uvedlo, že jsou velmi spokojení, 7 velmi nespokojených, 20 poněkud spokojených a ostatní tvrdí, že jsou poněkud nespokojeni. Tuto sadu odpovědí lze seřadit podle zvýšení spokojenosti a získáme seznam padesáti položek v tomto pořadí: 7 velmi nespokojených, 11 poněkud nespokojených, 20 poněkud spokojených, 12 velmi spokojených. Obě centrální prvků, 25 th a 26 th , mají stejnou hodnotu: „spíše spokojen“. Tato hodnota je tedy střední hodnotou všech odpovědí.

Jiný přístup

K určení mediánu sady hodnot stačí vypočítat rostoucí kumulativní procenta a vezmeme první hodnotu řady, jejíž kumulativní procento přesahuje 50%.

Tato metoda je praktičtější, pokud máte velký počet hodnot.

Efektivita algoritmů

Existují algoritmy lineární složitosti (v O ( n )), tedy účinnější. Jedná se o algoritmy, které obecně umožňují určit k -tý prvek seznamu n prvků (viz Výběrový algoritmus ); k = n / 2 pro medián. Jedná se o úpravy třídicích algoritmů, které jsou však efektivnější, protože nás nezajímají všechny hodnoty. Například můžeme použít algoritmus divide and conquer pouze v operacích O ( n ); v případě algoritmu QuickSelect změňte rychlé řazení ( quicksort ), které je obecně v O ( n ), ale v nejhorším případě může být v O ( n 2 ).

V praxi, pokud hledáme medián seznamu n celých čísel, a pokud máme štěstí, že zjistíme, že maximální hodnota m je menší než n 2 (toto zjištění stojí O ( n )), pak způsob počítání , implementace velmi snadné a náklady, které v tomto případě představují operace O ( m ), umožňují získat medián v méně než operacích O ( n 2 ). Tento případ se týká zejména případů známek z 20 (bez desetinných míst) ve třídě více než 5 žáků (5 na druhou je větší než 20).

Statistické měření disperze

Když se k vyhledání hodnot v popisné statistice použije medián , existují různé možnosti vyjádření variability: rozsah , mezikvartilní rozsah a absolutní rozsah . Vzhledem k tomu, že medián má stejnou hodnotu jako druhý kvartil , je jeho výpočet podrobně uveden v článku o kvartilech .

Mediány v rozdělení pravděpodobnosti

Pro všechna reálná rozdělení pravděpodobnosti splňuje medián m rovnost:

{\ displaystyle \ operatorname {P} (X \ leq m) \ geq {\ frac {1} {2}} {\ text {et}} \ operatorname {P} (X \ geq m) \ geq {\ frac { 1} {2}} \, \!}

tj. pokud jde o distribuční funkci :

F_ {X} (m) = 1- \ lim _ {{x \ až m ^ {-}}} F_ {X} (x).

Takže pro distribuci pravděpodobnosti rozptýlení (funkce spojitého rozdělení):

F_ {X} (m) = {\ frac {1} {2}}.

Mediány některých distribucí

Pro všechna symetrická rozdělení je střední hodnota rovná očekávání.

Medián normálního rozdělení očekávání μ a rozptylu σ 2 je μ. Pro toto rozdělení očekávání = medián = režim .
Medián spojitého rovnoměrného rozdělení v intervalu [ a , b ] je ( a + b ) / 2, což je také očekávání .
Medián Cauchyova zákona s kritériem polohy x 0 a parametrem měřítka y je x 0 , kritérium pozice.
Medián exponenciálního zákona s faktorem měřítka λ je dělením přirozeného logaritmu 2 faktorem měřítka, tj. (Ln 2) / λ.
Medián Weibullova rozdělení s tvarovým faktorem k a měřítkovým faktorem λ je λ (log 2) 1 / k .

Mediány v popisné statistice

Medián se používá hlavně pro zkosené distribuce, protože je představuje lépe než aritmetický průměr. Zvažte množinu {1, 2, 2, 2, 3, 9}. Medián je 2, stejně jako režim, který je lepším měřítkem centrální tendence než aritmetický průměr 3,166….

Výpočet mediánu se běžně provádí tak, aby představoval různá rozdělení, a je snadno pochopitelný i pro výpočet. Je také robustnější než průměr za přítomnosti extrémních hodnot.

Teoretické vlastnosti

Optimální vlastnost

Medián je také centrální hodnotou, která minimalizuje střední hodnotu absolutních odchylek. V sériích {1, 2, 2, 2, 3, 9} uvedených dříve by to bylo (1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 7) / 6 = 1,5, spíše než 1,944 od průměru, což pro jeho část, minimalizuje kvadratické odchylky. V teorii pravděpodobnosti hodnota c, která minimalizuje

E (\ left | Xc \ right |) \,

je medián rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X .

Nerovnost zahrnující prostředky a mediány

Pro kontinuální rozdělení pravděpodobnosti je rozdíl mezi mediánem a očekáváním nejvýše jedna směrodatná odchylka .

Poznámky a odkazy

"Výpočet mediánu" , Statistics Canada .
Fabrice Mazerolle, „ Medián “ ,2012(zpřístupněno 13. února 2012 ) .
[ (en) Výběr (deterministický a randomizovaný): nalezení mediánu v lineárním čase ]