Sekanční metoda

V numerické analýze je sečen metoda je algoritmus pro nalezení nuly funkčního $f$ .

Metoda

Metoda secant je metoda srovnatelná s metodou Newtonovou , kde ji nahradíme výrazem We obtain the recurrence relationship : $f '(x_ {n}) \,$ ${\ frac {f (x_ {n}) - f (x _ {{n-1}})} {x_ {n} -x _ {{n-1}}}}.$

x _ {{n + 1}} = x_ {n} - {\ frac {x_ {n} -x _ {{n-1}}} {f (x_ {n}) - f (x _ {{n -1}})}} f (x_ {n}).

Inicializace vyžaduje dva body $x 0$ a $x 1$ , pokud možno blízko k hledanému řešení. Není nutné, aby $x 0$ a $x 1$ obsahovaly kořen $f$ . Metodu secant lze také považovat za zobecnění metody falešné polohy , kde jsou výpočty iterovány.

Demonstrace

Vzhledem $k$ tomu, $a$ a $b$ , zkonstruujeme přímku procházející $( a , f ( a ))$ a $( b , f ( b ))$ . Jeho rovnice je:

yf (b) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}} (xb).

Zvolit jsme $c$ , která se rovná úsečky na pořadnice bodu $y = 0$ této linie:

f (b) + {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}} (cb) = 0.

Pokud z této rovnice vyjmeme $c$ , najdeme výše uvedený vztah opakování:

c = b - {\ frac {ba} {f (b) -f (a)}} f (b),

{\ displaystyle c = x_ {n + 1}, \, b = x_ {n}, \, a = x_ {n-1}.}

Konvergence

V případě, že počáteční hodnoty $x 0$ a $x 1$ jsou dostatečně blízko k roztoku, přičemž tento způsob bude mít pořadí konvergence z

\ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ simeq 1 618

což je zlatý řez .

Tento výsledek můžeme prokázat za předpokladu, že funkce $f$ je dvakrát spojitě diferencovatelná a řešením je jednoduchý kořen $f$ .

Ani jedna z těchto dvou podmínek však není nutná, ani k použití metody, ani k zajištění její konvergence. Metodu určitě nelze použít, pokud funkce nepředstavuje změnu znaménka mezi $x 0$ a $x 1$ ( např .: $f ( x ) = x 2$ mezi -1 a 1). Pro každou spojitou funkci, která představuje změnu znaménka a připouští jediný kořen v uvažovaném intervalu, však metoda platí a konverguje alespoň lineárně. Není nutné, aby $f$ bylo diferencovatelné: metodu lze použít na spojitou funkci nikde diferencovatelnou , jako je funkce Weierstrass .

Podívejte se také

Hodnocení a reference

Demonstrace v Nikolai Bakhvalov, Numerické metody , Moskva, Mir Edition ,1976, str. 402-403.

Bibliografie

Jean Dieudonné , Calculus infinitesimal [ detail vydání ], kap. II