Gramův determinant
V euklidovské nebo Hilbert geometrie je determinantou Gram umožňuje vypočítat objemy a otestovat lineární nezávislost na rodině vektorů. Kombinuje výpočty bodových produktů a determinantu . Jeho název je poctou dánskému matematikovi Jørgenovi Pedersenovi Gramovi ( 1850 - 1916 ).
K určení článek ukazuje, jak definovat orientovaný objem o parallelotope tvořené n vektory v prostoru o rozměru n , aniž by bylo nutné zajistit tento prostor se skalárním součinem . Determinanty Grama žádají definovat takový skalární součin , umožňují výpočet objemů rovnoběžníků všech rozměrů, ale bez pojmu orientace.
Obecněji je možné vypočítat Gram determinanty na kvadratickém prostoru . V konečné dimenzi je diskriminátor symetrické bilineární formy zvláštním případem gramatického determinantu.
Definice
Nechť E je skutečný prehilbertiánský prostor. Pokud x 1 , ..., x n jsou n vektory E , přidružená Gramova matice je symetrická matice obecného pojmu ( x i | x j ) ( tečkový součin vektorů x i a x j ). Determinantou Gram je determinant této matice, to znamená,
G(X1,...,Xne)=|(X1|X1)(X1|X2)...(X1|Xne)(X2|X1)(X2|X2)...(X2|Xne)⋮⋮⋮(Xne|X1)(Xne|X2)...(Xne|Xne)|.{\ displaystyle G (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ begin {vmatrix} (x_ {1} | x_ {1}) & (x_ {1} | x_ {2}) & \ tečky & (x_ {1} | x_ {n}) \\ (x_ {2} | x_ {1}) & (x_ {2} | x_ {2}) & \ dots & (x_ {2} | x_ { n}) \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ (x_ {n} | x_ {1}) & (x_ {n} | x_ {2}) & \ dots & (x_ {n} | x_ { n}) \ end {vmatrix}}.}
Gramová matice
Vektory sloupec matice Gram přiznat stejné lineární závislost vztahů (v prostoru z n -tuples reálných čísel) jako vektory x i v E : Označíme-li ( C 1 , ..., C n ) rodina sloupce vektory matice Gram, máme pro jakoukoli rodinu real ( a 1 , ..., a n )Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
∑i=1nenaiXi=0E{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} x_ {i} = 0_ {E}}![\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} a_ {i} x_ {i} = 0_ {E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc685b9e679cb770d96b55c76c6f50845c175b20)
kdyby a jen kdyby .
∑i=1nenaiVSi=0Rne{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} C_ {i} = 0 _ {\ mathbb {R ^ {n}}}}![{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} C_ {i} = 0 _ {\ mathbb {R ^ {n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d201dc6fbc249fd9ad2ba3a2ed1cb3fac78ea48b)
Z toho vyplývá, že rodina vektorů ( x 1 , ..., x n ) a její Gramova matice mají stejnou hodnost.
Gramův determinant
Vlastnosti
Psaní pomocí reprezentativní matice
Nechť , být ortonormální báze prostoru vytvořeného rodiny ( x i ) , a X , je reprezentativní matrice z ( x i ) v . Jinými slovy, X je matice velikosti d × n, jejíž i -tý sloupec obsahuje souřadnice vektoru x i in , d = rg ( x 1 ,…, x n ) ≤ n je rozměr .
B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}
B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}
B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}
B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}![{\ mathcal {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5622de88a69f68340f8dcb43d0b8bd443ba9e13)
Gramová matice ( x i ) je pak t XX . Je tedy pozitivní autoadjoint a je pozitivní definitivní právě tehdy, když jsou x i lineárně nezávislé.
Vliv
elementárních operací
- násobení jeden z vektorů vložila A způsobuje množení determinanta Gram podle 2
- determinant Gram je neměnný permutací x i
- přidání vektoru k lineární kombinaci ostatních vektorů ponechává determinant Gramova invariantu
Vlastnosti
- pokud x 1 ⊥ x i pro všechna i ∈ {2, ..., n } , pak mámeG(X1,...,Xne)=||X1||2G(X2,...,Xne){\ displaystyle G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) = || x_ {1} || ^ {2} \; G (x_ {2}, \ dotsc, x_ {n})}
- Gram determinant rodiny n vektorů je vždy pozitivní
- je nula právě tehdy, pokud je příbuzný příbuzný (což je zvláštní případ tvrzení o hodnosti Gramovy rodiny).
Demonstrace
- Pokud je rodina souvisí, existuje index k, takové, že x k je lineární kombinací ostatních x i , tedy
G(X1,...,Xne)=G(X1,...,Xk-1,0,Xk+1,...,Xne)=0.{\ displaystyle G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) = G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {k-1}, 0, x_ {k + 1}, \ dotsc, x_ { n}) = 0.}
- Pokud je rodina volná, pak je základem jejího generovaného podprostoru a X je matice přechodu mezi dvěma základnami stejné dimenze. X je tedy invertibilní a determinant Gram je det ( t XX ) = det ( X ) 2 , což je přísně pozitivní.
Aplikace na vzdálenost vektoru do vektorového podprostoru
Je F , konečný vektorový prostor dimenze n z e opatřen základnou ( x 1 , ..., x n ) , a x ∈ E . x připouští ortogonální projekci p ( x ) na F a máme
G(X,X1,...,Xne)=‖X-p(X)‖2⋅G(X1,...,Xne)=d(X,F)2⋅G(X1,...,Xne){\ displaystyle G (x, x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) = \ | xp (x) \ | ^ {2} \ cdot G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) = d (x, F) ^ {2} \ cdot G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n})}![{\ displaystyle G (x, x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) = \ | xp (x) \ | ^ {2} \ cdot G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) = d (x, F) ^ {2} \ cdot G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6354bb46bd60a548881db258cda6a72acd16bc34)
Demonstrace
Máme x = x - p ( x ) + p ( x ) a p ( x ) je lineární kombinace x i , takže
G(X,X1,...,Xne)=G(X-p(X),X1,...,Xne)+G(p(X),X1,...,Xne)=G(X-p(X),X1,...,Xne)=|(X-p(X)|X-p(X))(X-p(X)|X1)...(X-p(X)|Xne)(X1|X-p(X))(X1|X1)...(X1|Xne)⋮⋮⋮(Xne|X-p(X))(Xne|X1)...(Xne|Xne)|{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} G (x, x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) & = G (xp (x), x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) + G (p (x), x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) \\ & = G (xp (x), x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) \\ & = {\ begin {vmatrix} (xp (x) | xp (x)) & (xp (x) | x_ {1}) & \ dots & (xp (x) | x_ {n}) \\ (x_ {1} | xp (x)) & (x_ {1} | x_ {1}) & \ dots & (x_ {1} | x_ {n}) \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ (x_ {n} | xp (x)) & (x_ {n} | x_ {1}) & \ dots & (x_ {n} | x_ {n}) \ end {vmatrix}} \ end {zarovnáno}}}![{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} G (x, x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) & = G (xp (x), x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) + G (p (x), x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) \\ & = G (xp (x), x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) \\ & = {\ begin {vmatrix} (xp (x) | xp (x)) & (xp (x) | x_ {1}) & \ dots & (xp (x) | x_ {n}) \\ (x_ {1} | xp (x)) & (x_ {1} | x_ {1}) & \ dots & (x_ {1} | x_ {n}) \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ (x_ {n} | xp (x)) & (x_ {n} | x_ {1}) & \ dots & (x_ {n} | x_ {n}) \ end {vmatrix}} \ end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f793b7ae3455e8efb7ed1acd15ea51df5a50e8c0)
Ale x = x - p ( x ) je podle definice kolmé na x i, proto:
G(X,X1,...,Xne)=|(X-p(X)|X-p(X))0...00(X1|X1)...(X1|Xne)⋮⋮⋮0(Xne|X1)...(Xne|Xne)|=‖X-p(X)‖2 G(X1,...,Xne){\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} G (x, x_ {1}, \ dots, x_ {n}) & = {\ begin {vmatrix} (xp (x) | xp (x)) & 0 & \ dots & 0 \ \ 0 & (x_ {1} | x_ {1}) & \ dots & (x_ {1} | x_ {n}) \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 0 & (x_ {n } | x_ {1}) & \ dots & (x_ {n} | x_ {n}) \ end {vmatrix}} \\ & = \ lVert xp (x) \ rVert ^ {2} ~ G (x_ {1 }, \ dotsc, x_ {n}) \ end {zarovnáno}}}
Aplikace na výpočet složek vektoru v jakékoli základně
Je F , konečný vektorový prostor dimenze n o E má základnu ( x 1 , ..., x n ) , a x ∈ F .
Pózujeme . Takže pro všechny j ∈ {1, ..., n } máme vztah
X=∑i=1nepiXi{\ displaystyle x = \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} x_ {i}}![x = \ suma _ {{i = 1}} ^ {n} p_ {i} x_ {i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad176eb730172bf57631b5d338e59b5436ec9f9d)
pj2G(X1,...,Xne)=G(X1,...,Xj-1,X,Xj+1,...,Xne){\ displaystyle p_ {j} ^ {2} \, {G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n})} = G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {j-1}, x, x_ {j + 1}, \ dotsc, x_ {n})}![{\ displaystyle p_ {j} ^ {2} \, {G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n})} = G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {j-1}, x, x_ {j + 1}, \ dotsc, x_ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7cdfe1b19ecc71637eba43469d5dc7955489509)
Zbývá jen najít znaménko každého p j k určení souřadnic x v ( x 1 , ..., x n ) .
Geometrická interpretace
Výpočet vzdálenosti k podprostoru umožňuje indukcí ukázat, že Gramův determinant rodiny n vektorů se rovná druhé mocnině euklidovského objemu odpovídajícího rovnoběžníku .
Pro n = 1 je tomu skutečně tak, protože G ( x ) = || x || 2 .
Za předpokladu, že vlastnost platí pro jakoukoli rodinu n vektorů, stanovíme ji pro n + 1 : vzdálenost na druhou od x n +1 do F , prostor generovaný prvními n vektory, je druhou mocninou výšky rovnoběžníku , a G ( x 1 , ..., x n ) je druhá mocnina objemu báze indukční hypotézou.
Objem se proto získá převzetím druhé odmocniny determinantu gramu, aniž by bylo možné mu dát znaménko (další podrobnosti o této poslední otázce najdete v orientaci článku ).
externí odkazy
(en) Eric W. Weisstein , „ Gram Determinant “ , na MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">