Diskriminační
Uvědomuje
V matematice je známý diskriminant nebo známý realizátor algebraický pojem . Používá se k řešení kvadratických rovnic . Generalizuje pro polynomy libovolného stupně> 0 a jejichž koeficienty se vybírají ze sad opatřených sčítáním a násobením . V této souvislosti poskytuje diskriminující informace o existenci nebo nepřítomnosti více kořenů .
Δ{\ displaystyle \ Delta}ρ{\ displaystyle \ rho}
Diskriminační se používá v jiných oborech, než je pole studia polynomů. Jeho použití nám umožňuje lépe porozumět kuželosečkám a kvadrikům obecně. To je nalezené ve studiu kvadratických forem nebo to číselných polí v rámci Galois teorie nebo to algebraických čísel . Jeho definice je založena na výpočtu determinantu .
Historický
Historie a objev diskriminujícího jsou součástí obecnějších dějin algebry a zejména řešení kvadratických rovnic . Objevuje se zejména, když jsou tyto rovnice řešeny pomocí pozoruhodných identit .
Kvadratický polynom
Řešení rovnice se skutečnými koeficienty
Vezměme si kvadratickou rovnici, zde a , b a c jsou tři skutečné koeficienty , takže a se liší od nuly :
naX2+bX+vs.=0.{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0.}
Diskriminační rovnice druhého stupně -
Diskriminační předchozí rovnice je číslo Δ definované:
Δ=b2-4navs..{\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac.}
Znalost diskriminátoru umožňuje vyřešit rovnici:
Řešení rovnice -
Pokud je diskriminátor kladný, rovnice připouští dvě řešení x 1 a x 2 daná následujícími vzorci:
X1=-b+Δ2naaX2=-b-Δ2naanaX2+bX+vs.=na(X-X1)(X-X2).{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {-b + {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}} \ quad {\ text {a}} \ quad x_ {2} = {\ frac {-b - {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}} \ quad {\ text {et}} \ quad ax ^ {2} + bx + c = a (x-x_ {1}) (x-x_ {2 }).}
Pokud je diskriminátor nula, jsou obě získaná řešení stejná, říkáme, že rovnice připouští dvojitý kořen :
naX2+bX+vs.=na(X+b2na)2aX1=X2=-b2na.{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a \ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} \ quad {\ text {and}} \ quad x_ {1 } = x_ {2} = - {\ frac {b} {2a}}.}
Pokud je diskriminátor přísně negativní, nemá žádnou skutečnou druhou odmocninu, a proto rovnice nepřipouští skutečné řešení.
V druhém případě má ale diskriminující komplexní kořen, a proto komplexní řešení:
Řešení rovnice pomocí řešení nebo komplexních koeficientů
V případě, že komplexní číslo řešení jsou povoleny rovnice, nebo v případě, že koeficienty , b a c jsou složité, je situace poněkud odlišná. D'Alembert, Gaussova věta upřesňuje, že tam je vždy alespoň jedno řešení rovnice. V množině komplexů číslo vždy připouští dvě odmocniny, existuje hodnota δ taková, že jeho druhá odmocnina δ 2 se rovná Δ:
Komplexní kořeny -
Rovnice připouští dvě řešení x 1 a x 2 daná následujícími vzorci:
X1=-b+δ2naaX2=-b-δ2na.{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {-b + \ delta} {2a}} \ quad {\ text {et}} \ quad x_ {2} = {\ frac {-b- \ delta} {2a }}.}
Pokud je diskriminátor nula, objeví se stejné řešení dvakrát: rovnice připouští dvojitý kořen rovný:
X1=X2=-b2na.{\ displaystyle \ quad x_ {1} = x_ {2} = - {\ frac {b} {2a}}.}.
Snížený diskriminátor
Tyto snížené diskriminační objeví, když napíšeme kvadratickou rovnici ve tvaru
naX2+2b′X+vs.=0,{\ displaystyle ax ^ {2} + 2b'x + c = 0,}
změnou proměnné
V tomto případě jsou „2“ a „4“ objevující se ve výrazu řešení a diskriminačního zjednodušeny a získá se:
b′=b2{\ displaystyle b '= {\ frac {b} {2}}}
Snížený diskriminační -
Snížený diskriminační z předchozí rovnice je číslo Δ 'definované:
Δ′=b′2-navs..{\ displaystyle \ Delta '= b' ^ {2} -ac.}
Výraz kořenů, pokud existují, se stává:
X1=-b′+δ′naaX2=-b′-δ′nasδ′2=Δ′=b′2-navs..{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {-b '+ \ delta'} {a}} \ quad {\ text {et}} \ quad x_ {2} = {\ frac {-b '- \ delta '} {a}} \ quad {\ text {with}} \ quad \ delta' ^ {2} = \ Delta '= b' ^ {2} -ac.}
Příklady
Pokusme se vyřešit následující rovnici:
5X2-5X+1=0.{\ displaystyle 5x ^ {2} -5x + 1 = 0,}
Výpočet diskriminačního Δ a kořenů x 1 a x 2 dává:
Δ=(-5)2-4×5×1=5aX1=5+510,X2=5-510.{\ displaystyle \ Delta = (- 5) ^ {2} -4 \ krát 5 \ krát 1 = 5 \ quad {\ text {et}} \ quad x_ {1} = {\ frac {5 + {\ sqrt { 5}}} {10}}, \ quad x_ {2} = {\ frac {5 - {\ sqrt {5}}} {10}}.}
V případě následující rovnice je redukovaný diskriminátor nulový a existuje pouze jeden kořen, který se rovná –3.
X2+6X+9=0 : Δ′=32-1×9=0 ; tak jakoX2+6X+9=(X+3)2, my máme X1=X2=-3.{\ displaystyle x ^ {2} + 6x + 9 = 0 \ quad {\ text {:}} \ quad \ Delta '= 3 ^ {2} -1 \ krát 9 = 0 \ quad {\ text {; jako}} \ quad x ^ {2} + 6x + 9 = (x + 3) ^ {2} \; {\ text {, máme}} \ quad x_ {1} = x_ {2} = - 3. }
Poslední příklad popisuje situaci, kdy je diskriminující přísně negativní, zde se rovná –3. Všimněte si, že i √ 3 je druhá odmocnina diskriminačního, pokud i označuje imaginární jednotku . To umožňuje určit řešení:
X2+X+1=0⇒Δ=12-4×1×1=-3aX1=-12+i32,X2=-12-i32.{\ displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad \ Delta = 1 ^ {2} -4 \ krát 1 \ krát 1 = -3 \ quad {\ text {a}} \ quad x_ {1} = - {\ frac {1} {2}} + {\ rm {i}} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}, \ quad x_ {2} = - {\ frac {1} {2}} - {\ rm {i}} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}.}
Můžeme si všimnout, že tyto dva kořeny jsou kořeny jednoty : mají pro krychli (pro třetí mocninu) číslo 1. Zvolený polynom je zvláštní případ cyklotomického polynomu .
Zlatý poměr je pouze pozitivní řešení rovnice x 2 = x + 1 : zde , tedy .
Δ=5{\ displaystyle \ Delta = 5}φ=1+52{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}
Geometrická interpretace
Rovnice definuje (pro nenulovou) parabolu a nalezení řešení y = 0 znamená nalezení průsečíku této paraboly s osou x. Diskriminační umožňuje zjistit, zda tato křižovatka existuje, podle tří možností ilustrovaných obrázkem v horní části článku:
naX2+bX+vs.=y.{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = y.}na{\ displaystyle a}
- modrá křivka (pozitivní diskriminátor): parabola protíná osu x dvakrát; protože mezi těmito dvěma řešeními má opačné znaménko a stejné znaménko jako venku;X{\ displaystyle x}y{\ displaystyle}na{\ displaystyle a}na{\ displaystyle a}
- červená křivka (nulová diskriminace): parabola tečná k ose x v jednom bodě (dvojité řešení);
- žlutá křivka (negativní diskriminátor): parabola nepřekročí osu x, má vždy stejné znaménko jako .y{\ displaystyle}na{\ displaystyle a}
Kvadratická forma v dimenzi 2
Na množině reálných čísel se kvadratická forma φ v dimenzi 2 spojuje se dvěma proměnnými x a y s číslem pomocí následujícího vzorce:
φ(X,y)=naX2+bXy+vs.y2sna,b,vs.∈R.{\ displaystyle \ varphi (x, y) = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2} \ quad {\ text {with}} \ quad a, b, c \ in \ mathbb {R}.}
Kvadratická forma má také maticový výraz :
φ(X,y)=(Xy)(nab2b2vs.)(Xy).{\ displaystyle \ varphi (x, y) = {\ begin {pmatrix} x & y \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a & {\ frac {b} {2}} \\ {\ frac { b} {2}} & c \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}.}
Determinant výrazu matice se rovná - ( b 2 - 4 ac ) / 4; najdeme výraz blízký předchozímu. Změna báze pomocí průchozí matice P upravuje hodnotu determinantu. Přesněji řečeno, hodnota na nové bázi se rovná hodnotě na staré bázi vynásobené druhou mocninou determinantu P , znaménko determinantu zůstává neměnné. Tato vlastnost je analyzována v podrobném článku.
Z tohoto důvodu existují tři různé definice diskriminátoru kvadratické formy v dimenzi dva. Discriminant kvadratické formy v základnové B je determinant matrice spojené s kvadratické formy v základním B . Analogie s předchozí situací umožňuje definovat diskriminační kvadratické formy jako rovnou b 2 - 4 ac . Nakonec, jako jediný invariant spojený s determinantem kvadratické formy, je diskriminátor také definován jako znaménko determinantu, které může nabývat hodnot +1, 0 nebo –1.
Diskriminační rozděluje kvadratické formy do tří rodin. Ve dvou rozměrech, s definicí rozlišování hodnotu determinantu v kanonickém základu , v případě, že diskriminační je pozitivní signál pro hodnotu již uvedeny všechny E má bodů ( x , y ), vyhovující cp ( x , y ) = odpovídá elipsa nebo prázdné množině. V případě, že diskriminační je nula, pak je množina E A odpovídá parabole . Pokud je diskriminátor záporný, E a je hyperbola . Kvadratické tvary tak umožňují získat tři různé tvary kuželoseček .
Polynom libovolného stupně
Kořenová extrakce polynomu pomocí diskriminátoru se nezobecňuje na stupně větší než dva. Diskriminant polynomu si přesto zachovává užitečnost.
V případě rovnic druhého stupně je diskriminační nula právě tehdy, má-li polynom vícečetný kořen. Existence více kořenů může mít důležité důsledky. V lineární algebře přítomnost více kořenů v minimálním polynomu endomorfismu upravuje jeho povahu. Tato přítomnost zakazuje diagonalizaci . U rozšíření racionálních čísel, neredukovatelné polynomy, tj. Polynomy, které nelze faktorizovat, nikdy nemají více kořenů (viz článek Oddělitelné rozšíření ) , tato situace neplatí pro všechny tělo. V kontextu Galoisovy teorie je toto rozlišení důležité, výsledky se liší v závislosti na konfiguraci.
Definice a vlastnosti
Zobecnění diskriminátoru polynomu jakéhokoli stupně nabízí nástroj umožňující určit, zda jsou jeho kořeny jednoduché nebo vícenásobné. V tomto odstavci A označuje integrální kruh a P polynom stupně n, jehož koeficienty patří k A a jsou označeny následovně:
P=naneXne+nane-1Xne-1+⋯+na1X+na0anane≠0.{\ displaystyle P = a_ {n} X ^ {n} + a_ {n-1} X ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} X + a_ {0} \; {\ text {and} } \ quad a_ {n} \ neq 0.}
Formální derivát z P je označován P " , existuje i v případě, se liší od oblasti skutečných nebo komplexních čísel. Nakonec R označuje výslednici ; jedná se o speciální aplikace, která v sobě spojuje dva polynomy prvek A .
- Diskriminant P , obecně označovaný jako Δ ( P ), je hodnota definovaná následujícím vzorcem, když deg ( P ' ) = n - 1 (což je vždy případ charakteristiky 0):
Δ(P)=(-1)ne(ne-1)2naneR(P,P′).{\ displaystyle \ Delta (P) = {\ frac {(-1) ^ {\ frac {n (n-1)} {2}}} {a_ {n}}} R (P, P ').}
Normalizační koeficient je důležitý; diskriminujícího lze tedy také interpretovat jako orientovaný svazek. Použití takového přístupu je evidentní při analýze diskriminátoru kvadratické formy nebo Dedekindova kruhu v rámci algebraické teorie čísel .
Určité výsledky Galoisovy teorie platí pro diskriminační, je pak nutné rozšířit prstenec A koeficientů. Jak je unitární integruje komutativní, že má pole frakce F komutativních a P mohou být považovány jako polynom s koeficienty v F . Zde K označuje pole rozklad z P , to znamená, že nejmenší pole obsahující F a všechny kořeny P , s výjimkou izomorfizmem. Diskriminační má následující vlastnost:
- Diskriminant polynomu P je nenulový právě tehdy, když P je oddělitelný (to znamená, že nepřipouští žádný vícenásobný kořen).
Tento výsledek je důsledkem obecné vlastnosti výslednice dvou polynomů: je nenulový právě tehdy, pokud jsou dva polynomy coprime. Lze jej také odvodit z následujícího vzorce:
-
Nechť α i pro i měnící se od 1 do n, kořeny polynomu P, diskriminant splňuje následující rovnost:
Δ(P)=nane2ne-2∏i<j(αi-αj)2{\ displaystyle \ Delta (P) = a_ {n} ^ {2n-2} \ prod _ {i <j} {(\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) ^ {2}}}.
Demonstrace
Podle vlastností výsledku se diskriminátor rovná:
R(P,P′)=(-1)ne(ne-1)nanene-1∏i=1neP′(αi)=nanene-1∏i=1neP′(αi){\ displaystyle R (P, P ') = (- 1) ^ {n (n-1)} a_ {n} ^ {n-1} \ prod _ {i = 1} ^ {n} P' (\ alpha _ {i}) = a_ {n} ^ {n-1} \ prod _ {i = 1} ^ {n} P '(\ alpha _ {i})}
Polynom P splňuje následující rovnost, která derivací dává:
P=nane∏j=1ne(X-αj)aP′=nane∑k=1ne∏j=1j≠kne(X-αj).{\ displaystyle P = a_ {n} \ prod _ {j = 1} ^ {n} (X- \ alpha _ {j}) \ quad {\ text {a}} \ quad P '= a_ {n} \ součet _ {k = 1} ^ {n} \ prod _ {j = 1 \ na vrcholu j \ neq k} ^ {n} (X- \ alpha _ {j}).}
Dedukujeme výraz P ' (α j ):
P′(αi)=nane∑k=1ne∏j=1j≠kne(αi-αj)=nane∏j=1j≠ine(αi-αj),{\ displaystyle P '(\ alpha _ {i}) = a_ {n} \ součet _ {k = 1} ^ {n} \ prod _ {j = 1 \ na vrcholu j \ neq k} ^ {n} (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) = a_ {n} \ prod _ {j = 1 \ na vrcholu j \ neq i} ^ {n} (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j} ),}
který poskytuje následující výraz pro diskriminujícího:
R(P,P′)=nane2ne-1∏i≠j(αi-αj)=nane2ne-1∏i<j(αi-αj)(αj-αi).{\ displaystyle R (P, P ') = a_ {n} ^ {2n-1} \ prod _ {i \ neq j} (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) = a_ {n} ^ {2n-1} \ prod _ {i <j} (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i}).}
Protože existuje přesně n ( n - 1) / 2 páry ( i , j ), takže i je striktně menší než j , odvodíme:
R(P,P′)=(-1)ne(ne-1)2nane2ne-1∏i<j(αi-αj)2.{\ displaystyle R (P, P ') = (- 1) ^ {\ frac {n (n-1)} {2}} a_ {n} ^ {2n-1} \ prod _ {i <j} ( \ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) ^ {2}.}
Definice diskriminujícího nám umožňuje učinit závěr.
Příklady
- Diskriminant polynomu stupně 1 je vždy roven 1.
- Pro kvadratické polynomy as notacemi prvního odstavce získáme:Δ(P)=(-1)2(2-1)2na|na2na0bb2navs.0b|=-|120bb2navs.0b|=-|b2na0b|+2|b2navs.b|=b2-4navs.{\ displaystyle \ Delta (P) = {\ frac {(-1) ^ {\ frac {2 (2-1)} {2}}} {a}} {\ begin {vmatrix} & a & 2a & 0 & \\ & b & b & 2a & \\ & c & 0 & b & \\\ end {vmatrix}} = - {\ begin {vmatrix} & 1 & 2 & 0 & \\ & b & b & 2a & \\ & c & 0 & b & \\\ end {vmatrix}} = - {\ begin {vmatrix} b & 2a & \\ 0 & b & \\\ end {vmatrix}} + 2 {\ begin { vmatrix} b & 2a & \\ c & b & \\\ end {vmatrix}} = b ^ {2} -4ac}v charakteristice odlišné od 2.
- Pro polynomy stupně tři obecně považujeme normalizovaný polynom, tj. Ten, jehož dominantní monomiál je roven 1. as následujícími notacemi:P=X3+naX2+bX+vs..{\ displaystyle P = X ^ {3} + aX ^ {2} + bX + c.}Dostaneme, pokud :NA=Q{\ displaystyle A = \ mathbb {Q}}Δ(P)=(-1)3(3-1)2|1nabvs.001nabvs.32nab00032nab00032nab|=na2b2+18nabvs.-4b3-4na3vs.-27vs.2.{\ displaystyle \ Delta (P) = (- 1) ^ {\ frac {3 (3-1)} {2}} {\ begin {vmatrix} & 1 & a & b & c & 0 \\ & 0 & 1 & a & b & c & \\ & 3 & 2a & b & 0 & 0 & \\ & 0 & 3 & 2a & b & 0 & \\ & 0 & 0 & b & 0 & \\ & 0 & b & b & 0 & \\ & 0 & b & b & 0 \ end {vmatrix}} = a ^ {2} b ^ {2} + 18abc-4b ^ {3} -4a ^ {3} c-27c ^ {2}.}Výraz je trochu složitý; z tohoto důvodu je tradicí nahrazování.
Získáme následující obecný výsledek: Předpokládejme, že A je komutativní pole s jinou charakteristikou než 2 a 3. Pak můžeme dát jednotkový polynom ve tvaruP(X)∈NA[X]{\ displaystyle P (X) \ v A [X]}P=X3+pX+qaΔ(P)=-22p3-33q2.{\ displaystyle P = X ^ {3} + pX + q \ quad {\ text {a}} \ quad \ Delta (P) = - 2 ^ {2} p ^ {3} -3 ^ {3} q ^ {2}.}
- V případě polynomiální rovnice stupně 3 se skutečnými koeficienty, pokud je tento diskriminátor přísně pozitivní, rovnice připouští tři odlišná reálná řešení, pokud je tento diskriminátor nulový, kořen je více a všechny jsou reálné, pokud je tento diskriminátor přísně negativní , rovnice připouští pouze skutečné řešení, další dva jsou komplexní konjugáty . (Například pro binomickou rovnici X 3 - a = 0 je tento diskriminátor –27 a 2 <0, pokud a je nenulová realita.)
Demonstrace
Připomeňme především, že alespoň jeden kořen je skutečná (dále polynom funkce z oblasti přičemž kladné a záporné hodnoty a je spojitá), a že lze předpokládat součinitel funkčního období nejvyššího stupně rovnice rovna 1 Let být tři kořeny (ne nutně odlišné) rovnice. Diskriminační je pak dán
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}αj{\ displaystyle \ alpha _ {j}} (1≤j≤3){\ displaystyle \ left (1 \ leq j \ leq 3 \ right)}
Δ=∏j<k≤3(αj-αk)2.{\ displaystyle \ Delta = \ prod \ limity _ {j <k \ leq 3} \ left (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {k} \ right) ^ {2}.}
Pokud jsou tedy tři kořeny skutečné a odlišné, nutně to máme . Pokud je kořen dvojitý nebo trojitý (což odpovídá případu ), nemůže být složitý, protože jeho konjugát by byl také kořen. Zbývá případ ze tří odlišných kořenů, dva spojené komplexů a a jedné reálné . Poté se můžeme zeptat:
Δ>0{\ displaystyle \ Delta> 0}Δ=0{\ displaystyle \ Delta = 0}α1{\ displaystyle \ alpha _ {1}}α2{\ displaystyle \ alpha _ {2}}α3{\ displaystyle \ alpha _ {3}}
{α1=r+isα2=r-isα3=t{\ displaystyle {\ begin {cases} \ alpha _ {1} = r + je \\\ alpha _ {2} = r-je \\\ alpha _ {3} = t \ end {případů}}}
r , s , t jsou reálná čísla. Pak máme
Δ=(r+is-r+is)2(r+is-t)2(r-is-t)2=(2is)2[(r-t+is)(r-t-is)]2=-4s2[(r-t)2-(is)2]2=-4(s[(r-t)2+s2])2<0.{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ Delta & = (r + je-r + je) ^ {2} (r + je-t) ^ {2} (r-je-t) ^ {2} \\ & = (2is) ^ {2} [(rt + is) (rt-is)] ^ {2} \\ & = - 4s ^ {2} [(rt) ^ {2} - (je) ^ {2 }] ^ {2} \\ & = - 4 \ left (s [(rt) ^ {2} + s ^ {2}] \ right) ^ {2} <0. \\\ end {zarovnáno}}}Protože jsme vyčerpali všechny možné případy, je výsledek demonstrován.
- Řešení rovnice na komutativní pole K z charakteristického odlišný od 2 a 3 jsou dány „ kloubového vzorce “, který může, v algebraické uzavření z K , dát ve forměX3+pX+q=0{\ displaystyle X ^ {3} + pX + q = 0} jk12(-q+-Δ33)3+j-k12(-q--Δ33)3{\ displaystyle {\ rm {j}} ^ {k} {\ sqrt [{3}] {{\ frac {1} {2}} \ left (-q + {\ sqrt {\ frac {- \ Delta} {3 ^ {3}}}} \ right)}} + {\ rm {j}} ^ {- k} {\ sqrt [{3}] {{\ frac {1} {2}} \ left (- q - {\ sqrt {\ frac {- \ Delta} {3 ^ {3}}}} \ vpravo)}}}
(0≤k≤2){\ displaystyle \ left (0 \ leq k \ leq 2 \ right)}kde je výše uvedený diskriminátor a kde j je primitivní kubický kořen jednoty. Oba pojmy a tato částka spolu souvisejí . Příklad řešení rovnice třetího stupně v konečné charakteristice lze najít v článku Cardanova metoda .Δ{\ displaystyle \ Delta}Δ(P){\ displaystyle \ Delta (P)}uk{\ displaystyle u_ {k}}protik{\ displaystyle v_ {k}}3ukprotik=-p{\ displaystyle 3u_ {k} v_ {k} = - p}
- Tyto eliptické křivky jsou zvláštní případ třetího stupně polynomů dvou proměnných. Pro jednoduchý případ eliptické křivky tvaru , kde jsou koeficienty reálná čísla, je diskriminátor opět definován .y2=X3+pX+q{\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + px + q} q,p{\ displaystyle q, p}Δ=-4p3-27q2{\ displaystyle \ Delta = -4p ^ {3} -27q ^ {2}}
Obecný výraz
Obecné vyjádření diskriminátoru polynomu P definované:
P=naneXne+nane-1Xne-1+⋯+na1X+na0{\ displaystyle P = a_ {n} X ^ {n} + a_ {n-1} X ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} X + a_ {0} \;}
je následující:
Δ(P)=(-1)ne(ne-1)2nanenane0⋯0nane-1nane⋱⋮⋮nane-1⋱0na2⋮⋱nanena1na2⋱nane-1na0na1⋱⋮0na0⋱na2⋮⋱⋱na10⋯0na0⏞ne-1 sloupcenenane0⋯⋯0(ne-1)nane-1nenane⋱⋮⋮(ne-1)nane-1⋱⋱⋮2na2⋮⋱nenane0na12na2⋱(ne-1)nane-1nenane0na1⋱⋮(ne-1)nane-1⋮⋱⋱2na2⋮⋮⋱na12na20⋯⋯0na1⏞ne sloupce{\ displaystyle \ Delta (P) = {\ frac {(-1) ^ {\ frac {n (n-1)} {2}}} {a_ {n}}} \ overbrace {\ begin {pole} { | cccc} a_ {n} & 0 & \ cdots & 0 \\ a_ {n-1} & a_ {n} & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & a_ {n-1} & \ ddots & 0 \ \ a_ {2} & \ vdots & \ ddots & a_ {n} \\ a_ {1} & a_ {2} & \ ddots & a_ {n-1} \\ a_ {0} & a_ {1} & \ ddots & \ vdots \\ 0 & a_ {0} & \ ddots & a_ {2} \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & a_ {1} \\ 0 & \ cdots & 0 & a_ {0} \\ \ end {pole}} ^ {n-1 {\ text {sloupce}}} \ overbrace {\ begin {pole} {ccccc |} na_ {n} & 0 & \ cdots & \ cdots & 0 \\ (n- 1) a_ {n-1} & na_ {n} & \ ddots && \ vdots \\\ vdots & (n-1) a_ {n-1} & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 2a_ {2} & \ vdots & \ ddots & na_ {n} & 0 \\ a_ {1} & 2a_ {2} & \ ddots & (n-1) a_ {n-1} & na_ {n} \\ 0 & a_ { 1} & \ ddots & \ vdots & (n-1) a_ {n-1} \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 2a_ {2} & \ vdots \\\ vdots && \ ddots & a_ {1} & 2a_ {2} \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & a_ {1} \\\ end {array}} ^ {n {\ text {columns}}}}
a po zjednodušení koeficientu v první řadě determinantu, abychom získali definici platnou pro libovolný komutativní kruh:
nane{\ displaystyle a_ {n}}
Δ(P)=(-1)ne(ne-1)210⋯0nane-1nane⋱⋮⋮nane-1⋱0na2⋮⋱nanena1na2⋱nane-1na0na1⋱⋮0na0⋱na2⋮⋱⋱na10⋯0na0⏞ne-1 sloupcene0⋯⋯0(ne-1)nane-1nenane⋱⋮⋮(ne-1)nane-1⋱⋱⋮2na2⋮⋱nenane0na12na2⋱(ne-1)nane-1nenane0na1⋱⋮(ne-1)nane-1⋮⋱⋱2na2⋮⋮⋱na12na20⋯⋯0na1⏞ne sloupce{\ displaystyle \ Delta (P) = (- 1) ^ {\ frac {n (n-1)} {2}} \ overbrace {\ begin {pole} {| cccc} 1 & 0 & \ cdots & 0 \ \ a_ {n -1} & a_ {n} & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & a_ {n-1} & \ ddots & 0 \\ a_ {2} & \ vdots & \ ddots & a_ {n } \\ a_ {1} & a_ {2} & \ ddots & a_ {n-1} \\ a_ {0} & a_ {1} & \ ddots & \ vdots \\ 0 & a_ {0} & \ ddots & a_ {2} \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & a_ {1} \\ 0 & \ cdots & 0 & a_ {0} \\\ end {array}} ^ {n-1 {\ text { sloupce}}} \ overbrace {\ begin {pole} {ccccc |} n & 0 & \ cdots & \ cdots & 0 \\ (n-1) a_ {n-1} & na_ {n} & \ ddots && \ vdots \\\ vdots & (n-1) a_ {n-1} & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 2a_ {2} & \ vdots & \ ddots & na_ {n} & 0 \\ a_ {1 } & 2a_ {2} & \ ddots & (n-1) a_ {n-1} & na_ {n} \\ 0 & a_ {1} & \ ddots & \ vdots & (n-1) a_ {n- 1} \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 2a_ {2} & \ vdots \\\ vdots && \ ddots & a_ {1} & 2a_ {2} \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & a_ {1} \\\ end {array}} ^ {n {\ text {columns}}}}
Použití diskriminujícího
Vraťme se k používání diskriminujícího.
- V případě rovnic druhého nebo třetího stupně umožňuje diskriminační výpočet kořenů a jeho znaménko umožňuje jejich charakterizaci (viz výše ).
- Uvažujme obecněji o polynomu se skutečnými koeficienty stupně . Pokud jsou kořeny tohoto polynomu skutečné a odlišné, jeho diskriminační kontroly . Pokud , kořeny jsou odlišné a alespoň dva z nich jsou komplexní konjugáty. Obecněji nechť k je komutativní pole a polynom stupně . Pokud kořeny v algebraickém uzavření k patří k , je diskriminační čtverec v k .F(X){\ displaystyle f \ left (X \ right)}ne>0{\ displaystyle n> 0}Δ{\ displaystyle \ Delta}Δ>0{\ displaystyle \ Delta> 0}Δ<0{\ displaystyle \ Delta <0}F(X){\ displaystyle f \ left (X \ right)}F(X)∈k[X]{\ displaystyle f \ left (X \ right) \ in k \ left [X \ right]}≥2{\ displaystyle \ geq 2}F(X){\ displaystyle f \ left (X \ right)}
Demonstrace
Jen zvažte výraz
Δ=nane2ne-2∏i<j≤ne(αi-αj)2{\ displaystyle \ Delta = a_ {n} ^ {2n-2} \ prod \ nolimits _ {i <j \ leq n} \ left (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j} \ right) ^ { 2}}kde je koeficient termínu nejvyššího stupně a jsou kořeny .
nane{\ displaystyle a_ {n}}αi{\ displaystyle \ alpha _ {i}}F(X){\ displaystyle f \ left (X \ right)}
- Nechť k je komutativní pole a polynom stupně . Tento polynom je oddělitelná tehdy a jen tehdy, pokud její discriminant je (viz výše ).F(X)∈k[X]{\ displaystyle f \ left (X \ right) \ in k \ left [X \ right]}≥2{\ displaystyle \ geq 2}Δ{\ displaystyle \ Delta}≠0{\ displaystyle \ neq 0}
- Nechť k je charakteristická pole , oddělitelný polynom stupně , jeho lámání tělo, a kořeny f v E . Následující podmínky jsou ekvivalentní:≠2{\ displaystyle \ neq 2}F(X)∈k[X]{\ displaystyle f \ left (X \ right) \ in k \ left [X \ right]}ne≥2{\ displaystyle n \ geq 2}E⊇k{\ displaystyle E \ supseteq k}α1,...,αne{\ displaystyle \ alpha _ {1}, ..., \ alpha _ {n}}
(a) Skupina Galois jako skupina permutací je zahrnuta do
alternativní skupiny .
G(E/k){\ displaystyle G \ vlevo (E / k \ vpravo)}α1,...,αne{\ displaystyle \ alpha _ {1}, ..., \ alpha _ {n}} NAne{\ displaystyle A_ {n}}(b) patří k .
δ=∏i<j(αi-αj){\ displaystyle \ delta = \ prod \ nolimits _ {i <j} \ vlevo (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j} \ vpravo)}(c) Diskriminační je čtverec v k .
Δ{\ displaystyle \ Delta}
Demonstrace
Pokud je permutace sudá (resp. Lichá), změní se na (resp. ). Proto pokud všechny prvky jednají sudými permutacemi , pak je invariantní touto skupinou a . Takže . Konverzace je zřejmá, jak je .
δ{\ displaystyle \ delta}δ{\ displaystyle \ delta}-δ{\ displaystyle - \ delta}G(E/k){\ displaystyle G \ vlevo (E / k \ vpravo)}α1,...,αne{\ displaystyle \ alpha _ {1}, ..., \ alpha _ {n}}δ{\ displaystyle \ delta}δ∈k{\ displaystyle \ delta \ v k}(na)⇒(b){\ displaystyle (a) \ Rightarrow (b)}(b)⇔(vs.){\ displaystyle (b) \ Šipka vlevo (c)}
Rozlišuje kruh algebraických celých čísel
Algebraická teorie čísel používá pojem diskriminující z definice, která se zdá být zcela odlišná. To odpovídá determinant kvadratické formy a používá komutativní kruh A . Obě definice však úzce souvisí. Pokud existuje algebraické celé číslo a takové, že kruh A se rovná ℤ [ a ] - zde ℤ označuje relativní celá čísla - pak minimální polynom a má koeficienty v ℤ. Jeho diskriminační ve smyslu polynomů se rovná diskriminační pro kruh ve smyslu algebraické teorie čísel.
Poznámky a odkazy
-
„Kvadratická rovnice“ na webu UCLouvain .
-
touto situací se setkáváme například při studiu elektrických obvodů: impedance je komplexní číslo.
-
Tato definice je běžná. Najdeme jej například v (en) Eric W. Weisstein , „ Polynomial Discriminant “ , na MathWorld (v obecnější podobě v případě, že P ' nemá stupeň n - 1), nebo dokonce Resultant a diskriminační na bibmatu web .net. Nicméně ve výsledku. Při diskriminaci na webu les-mathematiques.net chybí standardizační koeficient.
-
(in) Granino A. Korn a Theresa M. Korn, Matematická příručka pro vědce a inženýry: Definice, věty a vzorce pro reference a recenze , Dover ,1968( Repr. 2000), 2 e ed. ( 1 st ed. 1961), 1152 str. ( ISBN 978-0-486-32023-6 , číst online ) , s. 16.
-
Vydání (v) RWD Nickallse a RH Dye , „ The geometry of the discriminant of a polynomial “ , The Mathematical Gazette , Vol. 80,Červenec 1996, str. 279-285 ( číst online ).
-
Tento vzorec je například v článku (in) Discriminant the Encyclopaedia Britannica .
-
Je skutečně vhodné správně stýkat dva dvěma kubických kořenů algebraické uzavření pole K : viz H. Weber , „ kloubové vzorec modifikován Cayley “, New Annals of matematiky, 3 rd série , vol. 14,1895, str. 347-349 ( číst online ). Omezení charakteristiky K pochází z dělení na 2 a 3: viz Mac Lane a Birkhoff 1999 , §XIII.1.
-
Konvence se někdy liší a v literatuře lze najít tento výraz vynásobený přísně kladným číslem.
-
Cohn 2005 , Thm. 7.10.5.
Bibliografie
- Nicolas Bourbaki , Algebra, kapitoly 4 až 7 , Springer ,2006, 432 s. ( ISBN 3-540-34398-9 )
- (en) Paul Moritz Cohn , základní algebra , Springer,2005, 480 s. ( ISBN 81-8128-047-4 )
- Serge Lang , Algebra [ detail vydání ]
- (en) Saunders Mac Lane a Garrett Birkhoff , Algebra , AMS ,1999, 3 e ed. , 626 s. ( ISBN 0-8218-1646-2 , číst online )
- Pierre Samuel , Algebraická teorie čísel [ detail vydání ]
- Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detail vydání ]
-
(en) Robert J. Walker, Algebraic curves , Springer, 1978 ( ISBN 978-03-879-0361-3 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">