Diagonální matice
V lineární algebře , je diagonální matice je čtvercová matice , jejíž koeficienty mimo hlavní diagonály jsou nulové. Koeficienty úhlopříčky mohou nebo nemusí být nulové.
Diagonální matice je matice, která odpovídá reprezentaci části diagonalizable endomorfismů v základu z vektorů . Matice diagonalizovatelného endomorfismu je podobná diagonální matici.
Libovolná diagonální matice je symetrická , normální a trojúhelníková . Matice identity I n je diagonální.
Definice
O čtvercové matici se říká, že je diagonální, pokud:
D=(di,j)1≤i,j≤ne{\ displaystyle D = (d_ {i, j}) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}![{\ displaystyle D = (d_ {i, j}) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9360ec36f95f38bf7c18a23a9f4325533a96f971)
∀(i,j)∈[[1,ne]]2, i≠j ⇒ di,j=0.{\ displaystyle \ forall (i, j) \ v [\! [1, n] \!] ^ {2}, \ i \ neq j \ \ Rightarrow \ d_ {i, j} = 0.}![{\ displaystyle \ forall (i, j) \ v [\! [1, n] \!] ^ {2}, \ i \ neq j \ \ Rightarrow \ d_ {i, j} = 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626a0f06514adff2b92480186d3fcc67b41b3a39)
Příklady
Následující matice jsou diagonální:
(10000i0000-10000-i),(10000000-3),(0001),(1).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ mathrm {i} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \ mathrm {i} \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 0 a 0 \\ 0 a 1 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 \ end {pmatrix}}.}![{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ mathrm {i} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \ mathrm {i} \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 0 a 0 \\ 0 a 1 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 \ end {pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3651640dc5dada7c781f3731c0103d2f9a3a954a)
Na druhou stranu následující matice nejsou diagonální:
(000100-100i001000),(10002100-3),(0100).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & \ mathrm {i} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & - 3 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 a 0 \ end {pmatrix}}.}![{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & \ mathrm {i} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & - 3 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 a 0 \ end {pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37a3ebae0a3e17409f17d09f24cfd135ee4f93ff)
Hodnocení
Vzhledem k tomu, že diagonální matice je zcela určena seznamem jejích diagonálních prvků, je často přijata následující stručnější notace:
diag(na1,na2,...,nane)=(na10...00na2⋱⋮⋮⋱⋱00...0nane).{\ displaystyle \ operatorname {diag} (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}) = {\ begin {pmatrix} a_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & a_ {2} & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 \\ 0 & \ ldots & 0 & a_ {n} \ end {pmatrix}}.}![{\ displaystyle \ operatorname {diag} (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}) = {\ begin {pmatrix} a_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & a_ {2} & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 \\ 0 & \ ldots & 0 & a_ {n} \ end {pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9c7033ce5aaff97d89a3b3935159ffc3d2e3b4)
Použití
Diagonální matice se objevují téměř ve všech oblastech lineární algebry. Násobení diagonálních matic je velmi jednoduchá; pokud lze zajímavou matici určitým způsobem nahradit diagonální maticí, pak budou výpočty, které ji zahrnují, rychlejší a matice se snáze uloží do paměti. Jedním ze způsobů vytvoření úhlopříčky některých matic je diagonalizace .
Téměř diagonální matice (pak se říká, že je to dominantní diagonální matice ) může být obrácena, aniž by došlo k průniku jejích Gershgorinových kruhů .
Diagonální matice řádu n s koeficienty v K má přirozeně vlastních vektorů (vektorů podle kanonické základě z K n ) a jeho diagonální koeficienty jsou spojené vlastní hodnoty .
Je-li normální matice je trojúhelníkový , pak je úhlopříčka.
Složitá matice je normální, právě když je jednotně podobná diagonální matici.
Viz také rozklad singulární hodnoty , podle kterého je jakákoli složitá matice (ne nutně čtvercová) jednotně ekvivalentní pozitivní diagonální matici lemované nulami.
Vlastnosti
Násobení
- Pokud je matice, pak:
M{\ displaystyle M}
ne×m{\ displaystyle n \ krát m}![{\ displaystyle n \ krát m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d82325a2a02ad79bc7c347ba9702ad46eb0de824)
-
diag(na1,...,nane)M{\ displaystyle \ operatorname {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) M}
se odvodí z vynásobením, pro všechny z až se tý řádek o ;M{\ displaystyle M}
i{\ displaystyle i}
1{\ displaystyle 1}
ne{\ displaystyle n}
i{\ displaystyle i}
M{\ displaystyle M}
nai{\ displaystyle a_ {i}}![mít}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f)
-
Mdiag(b1,...,bm){\ displaystyle M \ operatorname {diag} (b_ {1}, \ dots, b_ {m})}
se odvodí z vynásobením pro všechny od do , na tý sloupec o .M{\ displaystyle M}
j{\ displaystyle j}
1{\ displaystyle 1}
m{\ displaystyle m}
j{\ displaystyle j}
M{\ displaystyle M}
bj{\ displaystyle b_ {j}}![b_j](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa56eff4488494085785b7b0d6e2069bd45a3ce5)
- Zejména, diag(na1,...,nane)diag(b1,...,bne)=diag(na1b1,...,nanebne){\ displaystyle \ operatorname {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ operatorname {diag} (b_ {1}, \ dots, b_ {n}) = \ operatorname {diag} (a_ { 1} b_ {1}, \ dots, a_ {n} b_ {n})}
proto .∀k∈NE∗diag(na1,...,nane)k=diag(na1k,...,nanek){\ displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ operatorname {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) ^ {k} = \ operatorname {diag} (a_ {1} ^ {k}, \ dots, a_ {n} ^ {k})}![{\ displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ operatorname {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) ^ {k} = \ operatorname {diag} (a_ {1} ^ {k}, \ dots, a_ {n} ^ {k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b63d3491d18c74c881efc6d5f34c301a57a1d2)
- Pro každý komutativní kruhu A , diagonální matice, aby n tvoří komutativní podalgebry zMne(NA){\ displaystyle \ mathrm {M} _ {n} (A)}
Jinými slovy, pro všechny diagonální matice a my máme:D=diag((di)1≤i≤ne){\ displaystyle D = \ operatorname {diag} ((d_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n})}
E=diag((Ei)1≤i≤ne){\ displaystyle E = \ operatorname {diag} ((e_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n})}![{\ displaystyle E = \ operatorname {diag} ((e_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1eefdde0d5ec38c8d870d363215937f5e2327d)
- ∀(λ,μ)∈NA2λD+μE=diag((λdi+μEi)1≤i≤ne){\ displaystyle \ forall (\ lambda, \ mu) \ v A ^ {2} \ quad \ lambda D + \ mu E = \ operatorname {diag} ((\ lambda d_ {i} + \ mu e_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n})}
![{\ displaystyle \ forall (\ lambda, \ mu) \ v A ^ {2} \ quad \ lambda D + \ mu E = \ operatorname {diag} ((\ lambda d_ {i} + \ mu e_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c66247b49666a9bbfbc77484300db811bfca6c)
- DE=ED=diag((diEi)1≤i≤ne){\ displaystyle DE = ED = \ operatorname {diag} ((d_ {i} e_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n})}
![{\ displaystyle DE = ED = \ operatorname {diag} ((d_ {i} e_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab6806407f561592194f6d71a1199633f54e215)
Určující
Determinant z diagonální matice je rovna součinu jeho diagonální prvky:
det(diag(na1,na2,...,nane))=|na10...00na2⋱⋮⋮⋱⋱00...0nane|=∏k=1nenak{\ displaystyle \ det (\ operatorname {diag} (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})) = {\ begin {vmatrix} a_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \ \ 0 & a_ {2} & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 \\ 0 & \ ldots & 0 & a_ {n} \ end {vmatrix}} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}![{\ displaystyle \ det (\ operatorname {diag} (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})) = {\ begin {vmatrix} a_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \ \ 0 & a_ {2} & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 \\ 0 & \ ldots & 0 & a_ {n} \ end {vmatrix}} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e0a73adc5e6bfb69600b74fff0be495aa62a3a)
Reverzibilita
Podle expresi produktů diagonální matice jakýmkoli matice ( viz výše ), diagonální matice, s koeficienty v jednotné kruhu A (ne nutně komutativní) je invertibilní v právě tehdy, když všechny jsou invertibilní v A (tj non -zero, pokud A je pole ) a v tomto případě,
diag(na1,na2,...,nane){\ displaystyle \ operatorname {diag} (a_ {1}, a_ {2}, \ tečky, a_ {n})}
Mne(NA){\ displaystyle \ mathrm {M} _ {n} (A)}
nai{\ displaystyle a_ {i}}![mít}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f)
diag(na1,na2,...,nane)-1=diag(1/na1,1/na2,...,1/nane){\ displaystyle \ operatorname {diag} (a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n}) ^ {- 1} = \ operatorname {diag} (1 / a_ {1}, 1 / a_ { 2}, \ tečky, 1 / a_ {n})}![{\ displaystyle \ operatorname {diag} (a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n}) ^ {- 1} = \ operatorname {diag} (1 / a_ {1}, 1 / a_ { 2}, \ tečky, 1 / a_ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e22ecd670b3e48bd22df56dccbfd023567dd55)
.
Díky tomu je možné pro invertibilní diagonální matici rozšířit na celočíselné relativní exponenty pravidlo pro výpočet pravomocí, které jsme viděli dříve.
Skalární matice
Skalární matice je diagonální matice (s koeficienty v kruhu ), z nichž všechny diagonální koeficienty jsou stejné, to znamená, že ve tvaru λ I n , kde λ je skalární a I n identita matice řádu n .
Jinými slovy, je skalární matice, pokud D je čtverec a pokud:
D=(nai,j){\ displaystyle D = (a_ {i, j})}![{\ displaystyle D = (a_ {i, j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8fa19d4b5b79fdcce8af2b269cad534cecf27ce)
nai,j={λ-li i=j0-li i≠j{\ displaystyle a_ {i, j} = {\ začátek {případů} \ lambda & {\ text {si}} i = j \\ 0 & {\ text {si}} i \ neq j \ end {případů}} }
to znamená, že všechny prvky na hlavní úhlopříčce jsou stejné a všechny ostatní prvky jsou nulové.
To je matice v každém základě na vektoru škálování poměru .
λ{\ displaystyle \ lambda}![\ lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
Jestliže K je komutativní těleso je střed na lineární skupiny GL ( n , K ) je vytvořena skalární nenulové matice v n řádků a n sloupců a s koeficienty v K . Obecněji, v případě, je jednotkový kruh, centrum GL ( n , ) je tvořena nenulových skalárních matric o velikosti n koeficientů v centru A .
Poznámky a odkazy
-
N. Bourbaki , Algebra , kap. 2, Paříž, 1970, s. II.151.
-
Viz například (v) JJ Rotman, Úvod do teorie skupin , 4 th edition, vydání 1999, Věty 8,9, s. 222.
-
(in) VP Platonov , „General linear group“ in Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , číst online ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">