Dokončení opatření

V matematiky , je $μ$ opatření se říká, že kompletní , když některý zanedbatelná sada pro toto opatření patří do kmene , na kterém $μ$ je definována.

Pokud měření není úplné, existuje poměrně jednoduchý proces pro dokončení měření , tj. Vytvoření úplného měření úzce souvisejícího s počátečním měřením. Tak opatření Lebesgue (považovat za opatření na Lebesgue kmene ) je dokončení opatření někdy nazývá „Borel-Lebesgueova míra“, to znamená, že jeho omezení na Borelian kmene .

Metodu, kterou použil Lebesgue ke konstrukci míry, ke které byl jmenován, a to rozumné použití externí míry , lze použít na abstraktní σ-konečnou míru a poskytuje další metodu k jejímu dokončení.

Kompletní měření

Definice - Vzhledem k měřenému prostoru říkáme, že $μ$ je úplné měřítko, když nějaká zanedbatelná množina pro $μ$ patří kmenu . $\ (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$ ${\ mathcal {A}}$

Formálně řečeno, $μ$ je kompletní, když:

{\ displaystyle \ forall M, \, N \ v {\ mathcal {P}} (X) \ quad \ left (N \ podmnožina M, \, M \ v {\ mathcal {A}} {\ hbox {a} } \ mu (M) = 0 \ vpravo) \ Rightarrow N \ v {\ mathcal {A}}.}

Dokončení opatření

Definice dokončeného opatření

U měřeného prostoru si povšimneme $\ (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ mu} '= \ {A \ bigtriangleup N \, \ mid \, A \ v {\ mathcal {A}}, \ N \ {\ hbox {zanedbatelná část }} \ X \}}

kde označuje symetrický rozdíl . ${\ displaystyle \ bigtriangleup}$

Jak připomíná notace, toto kmenové rozšíření závisí na . Část je ve vztahu k danému měření zanedbatelná. ${\ mathcal {A}}$ $\ mu$

Věta - Nechť je měřeným prostorem a rozšířením výše popsaného. Tak : $\ (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$ ${\ mathcal {A}} _ {\ mu} '$ ${\ mathcal {A}}$

${\ mathcal {A}} _ {\ mu} '$ je kmen na ; $X$
pokud pózujeme pro a zanedbatelné, představuje to ucelenou definici, a tak jsme vytvořili míru na měřitelném prostoru ; ${\ displaystyle \ mu '(A \ bigtriangleup N) = \ mu (A)}$ $A \ in {\ mathcal {A}}$ $NE$ $(X, {\ mathcal {A}} _ {\ mu} ')$
toto opatření je komplexním rozšiřujícím opatřením ; $\ mu '$ $\ mu$
$\ mu '$ je minimální v následujícím smyslu: prodlužuje se také jakékoli prodloužení míry . $\ mu$ $\ mu '$

Opatření výše konstruovány se nazývá dokončení opatření z , kmen nazýván vyplněný kmen z relativně k . $\ mu '$ $\ mu$ ${\ mathcal {A}} _ {\ mu} '$ ${\ mathcal {A}}$ $\ mu$

Příklady: Lebesgueovo opatření a dokončení

Dále je kmen Lebesgue doplňkem kmene Borelianů pro opatření Lebesgue (omezeno na Borelians). V závislosti na přijatém úhlu pohledu to může být definice kmene Lebesgue nebo mírně konzistentní věta o důkazu ; v této druhé hypotéze spočívala definice Lebesgueova opatření na konstrukci vnější míry a myšlenky důkazu jsou zhruba stejné jako myšlenky použité k prokázání obecnější věty uvedené níže v části „Dokončené opatření a externí měření“. $\ mathbb {R} ^ {n}$
Všimněte si míry Lebesgue na , definované na kmeni Lebesgue. Pracujeme-li v teorii množin, která zaručuje existenci neměřitelných množin v Lebesgueově smyslu (obvykle s axiomem volby ), produkt není úplným měřítkem. Je-li $A$ skutečně neměřitelná množina, $A$ $\times {0}$ nepatří do produktového kmene, i když je to pro produktovou míru zanedbatelné. Lebesgueova míra se tedy nerovná, ale je pouze jejím doplňkem. $\ lambda$ $\ mathbb {R}$ $\ lambda \ otimes \ lambda$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ $\ lambda \ otimes \ lambda$

Vlastnosti dokončeného opatření

Varianty v definicích

Následující varianty se dají snadno dokázat, pro některé jsou dokonce zřejmé:

Varianty v definici dokončeného kmene. S poznámkami z předchozí části

prvky dokončeného kmene se vyznačují: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ mu} '= \ {A \ bigtriangleup N \, \ mid \, A \ v {\ mathcal {A}}, \ N {\ hbox {zanedbatelná část} } X \}}$ .
také máme :

{\ displaystyle B \ in {\ mathcal {A}} _ {\ mu} '\ iff \ existuje A_ {1}, A_ {2} \ in {\ mathcal {A}} \ quad (A_ {1} \ podmnožina B \ podmnožina A_ {2} \ {\ hbox {et}} \ \ mu (A_ {2} \ setminus A_ {1}) = 0)}

. Varianta v definici dokončeného opatření. Vždy se stejnými zápisy, které můžeme napsat, pro

B

v dokončeném kmeni:

{\ displaystyle \ mu '(B) = \ sup _ {{A \ in {\ mathcal {A}}} \ na vrcholu {A \ podmnožina B}} \ mu (A).}

Stálost tříd měřitelných funkcí

Výsledek níže ukazuje, že i když zřejmě existují měřitelnější funkce se skutečnou hodnotou začínající než začínající , třídy ekvivalence pro rovnost téměř všude (a tedy mezery $L$ $p$ ) jsou stejné. $(X, {\ mathcal {A}} _ {\ mu} ')$ $(X, {\ mathcal {A}})$

Proposition - Dovolit být měří prostor , který označíme úplnost. Pro jakoukoli funkci $f$ se skutečnými hodnotami měřitelnými od , existuje funkce, která je téměř všude stejná a která je měřitelná od . $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$ $(X, {\ mathcal {A}} _ {\ mu} ', \ mu')$ $(X, {\ mathcal {A}} _ {\ mu} ')$ ${\ tilda f}$ $(X, {\ mathcal {A}})$

Pokud je $f$ kladné nebo nulové, můžeme sestrojit ověření: ${\ tilda f}$

{\ displaystyle 0 \ leq {\ tilde {f}} \ leq f.}

Dokončené měření a externí měření

Vzhledem k tomu, měřeno prostor , můžeme definovat na s vnějším opatření $u Stabilizátory$ $*$ podle vzorce: $\ (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$ ${\ mathcal {P}} (X)$

{\ displaystyle \ mu ^ {*} (B) = \ inf \ left \ {\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ mu (A_ {n}) \, \ mid \, A_ {n } \ in {\ mathcal {A}}, \, B \ podmnožina \ bigcup _ {n = 0} ^ {+ \ infty} A_ {n} \ right \}.}

Pak jsme definovat měřitelné sady pro $u Stabilizátory *$ jako částí $B$ z $X,$ které splňují vlastnost:

{\ displaystyle \ forall E \ podmnožina X \ quad \ mu ^ {*} (E \ cap B) + \ mu ^ {*} (E \ setminus B) = \ mu ^ {*} (E).}

Pak označíme množinu měřitelných částí pro $μ$ $*$ . Ukazuje se, že jde o kmen, který se rozšiřuje , a že omezení $μ$ $*$ na tento kmen je míra, která se rozšiřuje o $μ$ . ${\ mathcal {M}} (\ mu ^ {*})$ ${\ mathcal {M}} (\ mu ^ {*})$ ${\ mathcal {A}}$

Když jsou tyto notace a připomenutí dány, můžeme uvést následující větu:

Věta - S výše uvedenými záznamů, omezení $u Stabilizátory *$ k je kompletní opatření. V případě, že míra $μ$ je σ-konečná , toto úplné měří se shoduje s dokončením $u Stabilizátory$ . ${\ mathcal {M}} (\ mu ^ {*})$

Důkaz je založen na následujícím jednoduchém lematu:

Lemma - S výše uvedenými notacemi existuje pro jakoukoli $μ *$ měřitelnou množinu $B$ kontejner $B$ a pro který $A \ in {\ mathcal {A}}$

{\ displaystyle \ mu ^ {*} (B) = \ mu (A).}

Část se nazývá měřitelné pokrytí z $B$ .

Když $μ$ není σ-konečný , kmen může být větší než dokončený kmen. Tak po nastavenou $X$ , který má alespoň dva prvky, pokud vezmeme v úvahu , a $u Stabilizátory$ opatření k tomuto kmeni hodnoceno $+ \infty$ na $X$ , je opatření $μ$ je již kompletní, zatímco prodloužení vnější opatření je rozšíření na celé. ${\ mathcal {M}} (\ mu ^ {*})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ {\ varnothing, X \}}$ ${\ mathcal {P}} (X)$

Reference

Marc Briane a Gilles Pagès, Theory of Integration , Paříž, Vuibert, kol. "Velké kurzy Vuibert",Říjen 2000, 302 s. ( ISBN 2-7117-8946-2 ) , str. 255.
Briane a Pagès 2000 , s. 255. Jinak zřejmá minimalita je výslovně zmíněna (en) Herbertem Amannem a Joachimem Escherem, Analýza III , Springer,2009, 468 s. ( ISBN 978-3-7643-7479-2 , číst online ) , s. 21.
Viz například Briane a Pagès 2000 , s. 257.
Viz například (in) Donald L. Cohn, Measure Theory , Springer,2013( 1 st ed. 1980 Birkhäuser), 373 str. ( ISBN 978-1-4899-0399-0 , číst online ) , s. 37-38 - důkaz pokrývá přibližně jednu stránku.
Briane a Pagès 2000 , s. 263-264.
(in) Gearoid Barra, Teorie měření a integrace , New Age International,2008, 239 s. ( ISBN 978-0-85226-186-6 , číst online ) , s. 101.
Cohn 2013 , str. 36.
Briane a Pagès 2000 , s. 265.
(in) Richard Dudley (in) , Real Analysis and Probability , Cambridge University Press,2002, 555 s. ( ISBN 978-0-521-00754-2 , číst online ) , s. 103.