Měření (matematika)

V matematice , je pozitivní opatření (nebo jednoduše změřit , kdy neexistuje nebezpečí záměny) je funkce , která přiřazuje číselná veličina s určitými podmnožin jednoho dané sadě . Toto je důležitý koncept v analýze a teorii pravděpodobnosti .

Intuitivně je měření množiny nebo podmnožiny podobné pojmu velikost nebo mohutnost pro jednotlivé množiny . V tomto smyslu je měření zobecněním pojmů délka , plocha nebo objem v prostorech dimenze 1, 2 nebo 3.

Studium prostorů opatřených měřeními je předmětem teorie měření .

Definice

Formálně, míra μ je funkce , která asociuje s každým prvkem S z a σ algebra (nebo kmene) částí X je hodnota u Stabilizátory ( S ), který je pozitivní v reálném nebo nekonečno. ${\ mathcal {A}}$

Definice - Dovolit být měřitelný prostor (tedy pár , kde je množina a je kmen o ). ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}),}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}),}$ $X$ ${\ mathcal {A}}$ $X$

Μ mapa set až má hodnoty v se nazývá opatření , když obě tyto vlastnosti jsou splněny: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}},}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty],}$

prázdná sada má nulovou míru: $\ mu \ left (\ varnothing \ right) = 0$ ;
mapa μ je aditivum σ :

je-li E 1 , E 2 , ... spočetná rodina částí X patřících a pokud jsou tyto části dvě po dvou disjunktních , pak míra μ ( E ) jejich spojení E se rovná součtu měr částí :

{\ displaystyle {\ mathcal {A}},}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigsqcup _ {k = 1} ^ {\ infty} E_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {k}) }

Související terminologie

Když máme měření μ na měřitelném prostoru , říkáme, že triplet je měřený prostor ; $(X, {\ mathcal {A}})$ $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$
Pro S měřitelné set (tj. Pro ), hodnota μ ( S ), se nazývá opatření z S ; ${\ displaystyle S \ v {\ mathcal {A}}}$
Když μ ( X ) je konečný, mluvíme o konečné míře nebo omezené míře ;
Když μ ( X ) = 1, mluvíme o míře pravděpodobnosti . Trojici se pak říká prostor pravděpodobnosti . Pro tento rámec viz článek axiomy pravděpodobností . $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$
Když tam je počitatelné krytina z X podle podskupin konečných opatření, to znamená, více formálně, když existuje řada prvků kmene, všechny konečné opatření s ${\ displaystyle (E_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

{\ displaystyle X = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} E_ {n}}

, mluvíme o σ - konečné míře . I když to znamená nahrazení každý by Dá se předpokládat, že posloupnost podskupin uvedených v definici roste pro zařazení.

E_k

{\ displaystyle E_ {0} \ cup \ ldots \ cup E_ {k},}

O podmnožině S z X se říká, že je zanedbatelná, když je zahrnuta do T patřícího kmeni a nulové míry. ${\ mathcal {A}}$
Míra μ je považována za úplnou, pokud nějaká zanedbatelná množina patří kmenu . ${\ mathcal {A}}$
Měřitelná funkce .

Vlastnosti

Z předchozích axiomů lze snadno získat následující vlastnosti:

Aditivita: Jsou-li E 1 a E 2 dvě disjunktní měřitelné sady , µ ( E 1 ∪ E 2 ) = µ ( E 1 ) + µ ( E 2 ).
Monotónnost: Jsou-li E 1 a E 2 dvě měřitelné množiny, takže E 1 je podmnožinou E 2 , pak μ ( E 1 ) ≤ μ ( E 2 ).
Kontinuita vlevo: Pokud E 1 , E 2 , E 3 ,… jsou měřitelné množiny a pokud E n je podmnožinou E n +1 pro všechna n , pak je spojení E množin E n měřitelné a μ ( E ) = lim μ ( E n ).
Kontinuita vpravo: Jestliže E 1 , E 2 , E 3 , ... jsou měřitelné soubory a jestliže pro všechna n , E n 1 je podmnožina E n , pak průsečík E ze souborů E n je měřitelný; Kromě toho, je-li alespoň jedna z množin E n má konečný opatření, pak μ ( E ) = lim u Stabilizátory ( E n ).

Příklady

Zde je několik důležitých příkladů měření:

počet opatření (nebo počet opatření ), je definován u Stabilizátory ( S ) = počet prvků v S ;
opatření Dirac μ je spojen s bodem A z X, je definován jako μ ( S ) = χ S ( ), kde χ S je funkce indikátoru ze S . Jinými slovy, míra množiny se rovná 1, pokud jinak obsahuje bod a a 0;
Stanovení hustoty pozitivní měřitelné funkce ƒ s ohledem na jiné pozitivní měření? je často známé ƒ.μ;
opatření Lebesgue (omezeno na Borelians ) je unikátní opatření neměnný podle překladu definována na Borelian kmene z ℝ a tak, že μ ([0,1]) = 1;
opatření Haar na místně kompaktní topological skupina je zobecněním opatření Lebesgue, také vyznačuje vlastnost invariance.

Zobecnění

V některých kontextech, zejména pro ukázku konstrukce měr z jejich hodnot na třídách množin menších než kmeny, je hezké mít obecnější definici, která stručně uvede různé výsledky; podle pramenů se slovo „míra“ používá pro funkce ověřující vlastnost spočetné aditivity na algebry množin , prstenech množin nebo dokonce polokroužcích množin . Obecněji se tedy můžeme zeptat:

Definice - Nechť si sadu a sadu dílů obsahujících prázdná množina: $X$ $\ mathcal {C}$ $X$

Μ mapa set až má hodnoty v se nazývá opatření , když obě tyto vlastnosti jsou splněny: $\ mathcal {C}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty]}$

Prázdná sada má nulovou míru:

{\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {C}} \ quad \ mathrm {a} \ quad \ mu \ left (\ varnothing \ right) = 0}

;

Mapa μ je aditivum σ :

jestliže E 1 , E 2 , ... je spočetná rodina částí X patřících do , pokud jsou tyto části dvě po dvou disjunktních a je-li jejich spojení E také prvkem , pak míra μ ( E ) tohoto spojení se rovná součtu rozměrů částí:

\ mathcal {C}

\ mathcal {C}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigsqcup _ {k = 1} ^ {\ infty} E_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {k}) }

V některých případech je užitečné mít „míru“, jejíž hodnoty nejsou omezeny na pozitivní reálné hodnoty a na nekonečno. Například funkce σ -additive definovaná na množinách a která přijímá skutečné hodnoty, se nazývá míra se znaménkem , zatímco taková funkce, která přijímá komplexní hodnoty, se nazývá komplexní míra (in) . Míra, která bere hodnoty v Banachově prostoru, se nazývá vektorová míra, jejíž speciální případ jsou spektrální míry ; tito se používají hlavně ve funkční analýze pro spektrální teorém .

Dalším zobecněním je pojem jednoduše aditivní nebo průměrné míry . Definice je stejná jako definice míry s tím rozdílem, že σ -additivita je nahrazena konečnou aditivitou.

Nakonec se někdy, zejména v teorii čísel , setkáváme s „měřeními“ ověřujícími vlastnosti, které jsou nekompatibilní s vlastnostmi skutečných měření; to je například případ asymptotické hustoty , což umožňuje určit význam vzorců jako „jedno celé číslo ze dvou je sudé“.

Poznámky a odkazy

Marc Briane a Gilles Pagès, Teorie integrace , Paříž, Vuibert , kol. "Velké kurzy Vuibert",Říjen 2000, 2 nd ed. , 302 s. ( ISBN 978-2-7117-8946-7 ) , str. 61.
Briane a Pagès 2000 používají výraz p. 90 nebo str. 97 , mimo jiné.
(in) Martin Väth, The Integration Theory: A Second Course , World Scientific ,2002, 277 s. ( ISBN 978-981-238-115-6 ), str. 8 .
(en) Achim Klenke, Teorie pravděpodobnosti: komplexní kurz , Springer,2008( ISBN 978-1-84800-047-6 ) , str. 12.
Například Briane a Pagès 2000 , s. 195, představují tuto na první pohled další podmínku v definici σ -jemnosti.
Briane a Pagès 2000 , s. 90.
Briane a Pagès 2000 , s. 255.
Briane a Pagès 2000 , s. 63-64.
Briane a Pagès 2000 , s. 62.
Následující definice je uvedena v (v) Inder K. Rana, An Introduction to Measure and Integration , AMS Bookstore2002, 424 s. ( ISBN 978-0-8218-2974-5 , číst online ), definice 3.3.1, s. 59 . Jiní autoři hovoří spíše o „předběžném opatření“ v těchto obecnějších kontextech, například Klenke 2008 , s. 12 (když je třída kroužkem sad). $\ mathcal C.$

Související články

Hausdorffova opatření , který se používá při studiu fraktálů , není opatřením v tom smyslu, která je zde definována, nýbrž vnější opatření
Sbližování opatření
Měření interiéru (v)
Oceňování (teorie měření )