Frekvenční modulace
Frekvenční modulace nebo MF ( FM v angličtině) je způsob modulace spočívá v přenosu signálu modulací kmitočtu nosného signálu (nosné).
Mluvíme o frekvenční modulaci na rozdíl od amplitudové modulace . Ve frekvenční modulaci jsou informace přenášeny změnou frekvence nosné, a nikoli změnou amplitudy. Frekvenční modulace je robustnější než amplitudová modulace pro přenos zprávy za obtížných podmínek (vysoký útlum a šum ).
U digitálních signálů se používá varianta nazývaná modulační frekvenční posun nebo v angličtině klíčování s frekvenčním posunem (FSK). FSK používá omezený počet diskrétních frekvencí.
Historický
Příklady použití
Frekvenční modulace je široce používána, zejména v oblasti telekomunikací. Mezi další aplikace můžeme uvést:
- Některé modemy ( mo dulateur- dem odulateur) za použití nízkých rychlostí frekvenční modulace;
- rádia „ pásma FM “ vyzařují, jak naznačuje jejich název, frekvenční modulace (v pásmu VHF II );
- FM syntéza , hudební metoda vytváření zvuků pomocí modulace frekvencí mezi několika elektronických oscilátorů, původně legendární syntezátor DX7 Yamaha a více nedávno různých softwarových syntezátorů, jako FM7 a FM8 od Native Instruments nebo provozovatele ‚Ableton.
- analogové telefony používají k vytáčení čísel podobnou techniku : každá číslice je kódována současným přenosem kombinace dvou frekvencí (mezi 8), aby se vytvořil kód DTMF . Toto je varianta modulace FSK, která využívá více než dvě frekvence.
Teorie
Obecný případ
Všimněte si vysílaného signálu s omezenou amplitudou, například:
Xm(t),{\ displaystyle x _ {\ mathrm {m}} (t),}
|Xm(t)|≤1.{\ displaystyle | x _ {\ mathrm {m}} (t) | \ leq 1.}Všimněte si sinusového nosiče :
Xp{\ displaystyle x _ {\ mathrm {p}}}
Xp(t)=NApcos(2πFpt),{\ displaystyle x _ {\ mathrm {p}} (t) = A_ {p} \ cos (2 \ pi f _ {\ mathrm {p}} t),}S:
-
Fp{\ displaystyle f_ {p}}, frekvence nosiče v hertzích ;
-
NAp{\ displaystyle A_ {p}}, amplituda nosné.
Frekvenčně modulovaný signál je pak následující:
y(t)=NApcos(2π∫0tF(τ)dτ){\ displaystyle y (t) = A_ {p} \ cos \! \ vlevo (2 \ pi \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) \, d \ tau \ vpravo)}S představuje okamžité frekvence oscilátoru (který se pohybuje se vstupem modulátoru). Lze jej vyjádřit jako funkci odchylky frekvence , tj. Maximální odchylku od nosné frekvence ( omezenou na interval [−1, 1]):
F{\ displaystyle f} FΔ{\ displaystyle f _ {\ Delta}} Fp{\ displaystyle f _ {\ mathrm {p}}}Xm(t){\ displaystyle x _ {\ mathrm {m}} (t)}
F(t)=Fp+FΔXm(t){\ displaystyle f (t) = f _ {\ mathrm {p}} + f _ {\ Delta} x _ {\ mathrm {m}} (t)}.
Signál
y(t)=NApcos(2π∫0tF(τ)dτ)=NApcos(2π∫0t[Fp+FΔXm(τ)]dτ)=NApcos(2πFpt+2πFΔ∫0tXm(τ)dτ){\ displaystyle {\ begin {aligned} y (t) & = A_ {p} \ cos \! \ left (2 \ pi \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) \, d \ tau \ vpravo) \\ & = A_ {p} \ cos \! \ vlevo (2 \ pi \ int _ {0} ^ {t} \ vlevo [f _ {\ mathrm {p}} + f _ {\ Delta} x _ {\ mathrm {m}} (\ tau) \ right] \, d \ tau \ right) \\ & = A_ {p} \ cos \! \ left (2 \ pi f _ {\ mathrm {p}} t + 2 \ pi f _ {\ Delta} \ int _ {0} ^ {t} x _ {\ mathrm {m}} (\ tau) \, d \ tau \ right) \\\ end {zarovnáno}} }Poznámka
Ačkoli si na první pohled lze představit, že frekvence jsou omezeny na interval ± , toto uvažování zanedbává rozdíl mezi okamžitou frekvencí a spektrální frekvencí . Harmonické spektrum skutečného FM signálu obsahuje součásti, které jdou do nekonečných kmitočtů, i když se rychle stávají zanedbatelné.
Fp{\ displaystyle f _ {\ mathrm {p}}}FΔ{\ displaystyle f _ {\ Delta}}
Případ sinusové modulace
Vývoj a zjednodušení
Zajímavým případem je monochromatická modulace, to znamená sinusový modulační signál.
Xm(t)=NAmcos(2πFmt){\ displaystyle x_ {m} (t) = A_ {m} \ cos (2 \ pi f_ {m} t)}V takovém případě můžeme vyvinout integrál modulačního signálu ve výrazu přenášeného signálu dříve vyjádřeného v obecném případě:
y(t){\ displaystyle y (t)}
∫0tXm(τ)dτ=NAmhřích(2πFmt)2πFm{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} x_ {m} (\ tau) d \ tau = {\ frac {A_ {m} \ sin (2 \ pi f_ {m} t)} {2 \ pi f_ {m}}}}Konečně můžeme vyvinout výraz použití Besselovy funkce , která umožňuje formálně modelovat spektrální obsazení FM modulace:
y(t){\ displaystyle y (t)} Jne(β){\ displaystyle J_ {n} (\ beta)}
y(t)=NApcos(2πFpt+NAmFmFΔhřích(2πFmt)){\ displaystyle y (t) = A_ {p} \ cos (2 \ pi f _ {\ mathrm {p}} t + {\ frac {A_ {m}} {f_ {m}}} {f _ {\ Delta}} \ sin (2 \ pi f _ {\ mathrm {m}} t))}Poté můžeme zavést modulační index , který umožňuje jednodušší zápis:
β=NAmFmFΔ{\ displaystyle \ beta = {\ frac {A_ {m}} {f_ {m}}} {f _ {\ Delta}}}
y(t)=NApcos(2πFpt+βhřích(2πFmt)){\ displaystyle y (t) = A_ {p} \ cos (2 \ pi f _ {\ mathrm {p}} t + \ beta \ sin (2 \ pi f _ {\ mathrm {m}} t))}
Modelování pomocí Besselových funkcí
Pro zjednodušení výpočtů je snazší uvažovat o komplexech , konkrétně tím, že si všimneme imaginární jednotky:
j{\ displaystyle j}
y_(t)=NApE2jπFptEjβhřích(2πFmt)=X~(t)⋅E2jπFpt{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ underline {y}} (t) & = A_ {p} e ^ {2j \ pi f _ {\ mathrm {p}} t} e ^ {j \ beta \ sin (2 \ pi f _ {\ mathrm {m}} t)} \\ & = {\ tilde {x}} (t) \ cdot e ^ {2j \ pi f _ {\ mathrm {p}} t} \ konec {zarovnáno}}}Kde jsme si všimli , komplexní obálku modulovaného signálu (nosnou). Je frekvenčně periodický a lze jej proto vyvinout v Fourierových řadách :
X~=NApEjβhřích(2πFmt){\ displaystyle {\ tilde {x}} = A_ {p} e ^ {j \ beta \ sin (2 \ pi f _ {\ mathrm {m}} t)}}Fm{\ displaystyle f_ {m}}
X~_(t)=NAp∑ne=-∞+∞VSne_E2πjneFmt{\ displaystyle {\ underline {\ tilde {x}}} (t) = A_ {p} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} {\ podtržení {C_ {n}}} e ^ {2 \ pi jnf_ {m} t}}S koeficienty:
VSne_=Fm∫-1/2Fm1/2FmEjβhřích(2πFmt)E-2jneπFmtdt=12π∫-ππE-j(neX-βhříchX)dX{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ underline {C_ {n}}} & = f_ {m} \ int _ {- 1 / 2f_ {m}} ^ {1 / 2f_ {m}} e ^ {j \ beta \ sin (2 \ pi f_ {m} t)} e ^ {- 2jn \ pi f_ {m} t} dt \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} e ^ {- j (nx- \ beta \ sin x)} dx \ end {zarovnáno}}}Tento poslední integrál není nic jiného než Besselova funkce prvního typu, řádu a argumentu . Naše Fourierova řada je proto vyjádřena jednoduše:
ne{\ displaystyle n}β{\ displaystyle \ beta}
X~_(t)=NAp∑ne=-∞+∞Jne(β)E2jπneFmt{\ displaystyle {\ underline {\ tilde {x}}} (t) = A_ {p} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} J_ {n} (\ beta) e ^ {2j \ pi nf_ {m} t}}Zbývá pouze nahradit tento výsledek , poté se zúčastnit skutečné části a získat konečný výsledek:
y_(t){\ displaystyle {\ underline {y}} (t)}
y(t)=NAp∑ne=-∞+∞Jne(β)cos(2π(Fp+neFm)t).{\ displaystyle y (t) = A_ {p} \ součet _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} J_ {n} (\ beta) \ cos (2 \ pi (f _ {\ mathrm {p }} + nf _ {\ mathrm {m}}) t).}
S následujícími notacemi:
NA{\ displaystyle A \, \!} : amplituda signálu
|
Jne(β){\ displaystyle J_ {n} (\ beta) \, \!} : Besselova funkce prvního druhu
|
Fp{\ displaystyle f _ {\ mathrm {p}} \, \!} : nosná frekvence
|
β=NAmFmFΔ{\ displaystyle \ beta = {\ frac {A_ {m}} {f_ {m}}} {f _ {\ Delta}} \, \!} : index modulace
|
Fm{\ displaystyle f _ {\ mathrm {m}} \, \!} : modulační frekvence
|
ne{\ displaystyle n \, \!} : Harmonické pořadí of ,Fm{\ displaystyle f _ {\ mathrm {m}}}ne∈NE{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}
|
Změnou měníme intenzitu modulace, tedy rozdíl mezi největší a nejmenší frekvencí, které se na frekvenci střídají .
β{\ displaystyle \ beta}Fm{\ displaystyle f _ {\ mathrm {m}}}
Koeficienty lze vypočítat pomocí následující řady:
Jne(β){\ displaystyle J_ {n} (\ beta)}
Jne(β)=∑k=0∞(-1)kk!(β2)ne+2k(ne+k)!{\ displaystyle J_ {n} (\ beta) = \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}} {\ frac {\ left ( {\ frac {\ beta} {2}} \ vpravo) ^ {n + 2k}} {(n + k)!}}}
Případ FSK
Ve FSK může signál nabývat sadu diskrétních hodnot (například dvě v binárních modulacích), která během přenosu hodnoty dává :
Xm{\ displaystyle x _ {\ mathrm {m}}}Xi{\ displaystyle x_ {i}}Xi{\ displaystyle x_ {i}}
y(t)=NAcos[2π∫0t(Fp+FΔXi)dτ]=NAcos[2π(Fp+FΔXi)t].{\ displaystyle y (t) = A \ cos \ left [2 \ pi \ int _ {0} ^ {t} (f_ {p} + f _ {\ Delta} x_ {i}) \, d \ tau \ right] = A \ cos [2 \ pi (f_ {p} + f _ {\ Delta} x_ {i}) t].}Je tedy vidět, že okamžitá frekvence může trvat pouze diskrétní sadu hodnot, jednu hodnotu pro každou hodnotu přenášeného signálu.
Xi{\ displaystyle x_ {i}}
V praxi lze frekvenci řídit pomocí napětí přiváděného na OCT ( napěťově řízený oscilátor ) nebo VCO ( napěťově řízený oscilátor ), což je prvek v jádru generátorů proudových funkcí. Modulace digitalizovaného informačního signálu, sled vysokých a nízkých stavů proměnné doby trvání, se po modulaci přepíše do analogového signálu. Modulovaný signál vykazuje frekvenční skoky na každém okraji informačního signálu.
Velmi běžná demodulační technika využívá smyčku fázového závěsu . Spojeno s dekódovacím systémem logickými obvody, bylo použito například v telefonii k detekci tónu signálů vydávaných v číslovacích systémech telefonních klávesnic.
Carsonovo pravidlo
Přibližně Carsonovo pravidlo naznačuje, že zhruba veškerý výkon (~ 98%) frekvenčně modulovaného signálu je ve frekvenčním pásmu:
2(FΔ+FmnaX),{\ displaystyle 2 (f _ {\ Delta} + f _ {\ mathrm {max}}),}kde je maximální odchylka okamžité frekvence od nosné frekvence (za předpokladu, že je v intervalu [-1,1]) a je největší frekvencí přenášeného signálu .
FΔ{\ displaystyle f _ {\ Delta}}F(t){\ displaystyle f (t)}Fp{\ displaystyle f _ {\ mathrm {p}}}Xm(t){\ displaystyle x _ {\ mathrm {m}} (t)}FmnaX{\ displaystyle f _ {\ mathrm {max}}}Xm(t){\ displaystyle x _ {\ mathrm {m}} (t)}
Poznámka: Na frekvenční modulaci lze pohlížet jako na zvláštní případ fázové modulace, kdy fázová modulace nosné je časovým integrálem signálu, který má být vysílán.
V současné době je modulační frekvence vždy nižší než nosná frekvence, ale nedodržení tohoto pravidla může přinést zajímavé výsledky, zejména při zvukové syntéze .
Reference
- A. Spataru, Základy teorie přenosu informací , Presses Polytechniques romandes.
- R. Manneville, J. Esquieu, elektronika (komunikační systémy) , Dunod.
- J. Hervé, elektronika aplikovaná na přenos informací , Masson.
- J. Auvray, Elektronika vzorkovaných a digitálních signálů , Masson.
- M. Girard, smyčky fázového závěsu , McGraw-Hill.
- M. Schwartz, Přenos informací, modulace a šum , McGraw-Hill.
Podívejte se také
Související články
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">