Frakční Brownův pohyb
Frakční Brownův pohyb (FP), byl představen Kolmogorov v roce 1940 jako způsob, jak vytvářet „spirály“ v Gaussian Hilbertových prostorech.
V roce 1968 jej Mandelbrot a Van Ness proslavili zavedením do finančních modelů a studiem jeho vlastností.
Oblast použití mBf je obrovská.
Ve skutečnosti se používá například k obnově určitých přírodních krajin, zejména hor, ale také v hydrologii, telekomunikacích, ekonomice, fyzice ...
Základy matematiky
Definice mBf
Frakční Brownův pohyb se zaznamenaným Hurstovým exponentem je jedinečný centrovaný Gaussův proces, nula na nule a spojitý, jehož kovariance je dána vztahem:
α∈(0,1),{\ displaystyle \ alpha \ in (0,1),}{Bα(t)}t∈R,{\ displaystyle \ {B _ {\ alpha} (t) \} _ {t \ in \ mathbb {R}},}
E(Bα(s)Bα(t))=VSα2(|s|2α+|t|2α-|s-t|2α),{\ displaystyle \ mathbb {E} (B _ {\ alpha} (s) B _ {\ alpha} (t)) = {\ frac {C _ {\ alpha}} {2}} (| s | ^ { 2 \ alpha} + | t | ^ {2 \ alpha} - | st | ^ {2 \ alpha}),}
kde je kladná konstanta, která závisí pouze na , nazývá se Hurstův index.
VSα=PROTInar(Bα(1)){\ displaystyle C _ {\ alpha} = {\ rm {{Var} (B _ {\ alpha} (1))}}}α{\ displaystyle \ alpha}
Kdy dostaneme standardní mBf.
VSα=1{\ displaystyle C _ {\ alpha} = 1}
MBf je jednou z nejpřirozenějších zobecnění Brownova pohybu .
Ve skutečnosti, když:
-
α>1/2{\ displaystyle \ alpha> 1/2}, je zlomkový primitiv Brownova pohybu.Bα{\ displaystyle B _ {\ alpha}}
-
α<1/2{\ displaystyle \ alpha <1/2}, je to zlomková derivace Brownova pohybu.
-
B1/2{\ displaystyle B_ {1/2}} redukuje na Brownův pohyb.
Dvě ekvivalentní reprezentace mBf
Znázornění klouzavým průměrem mBf
V díle Mandelbrota a Van Nessa (1968) je frakční Brownův pohyb definován až do multiplikativní konstanty následujícím Wienerovým integrálem:
Bα(t): =∫R[(t-s)+α-1/2-(-s)+α-1/2]dB(s),{\ displaystyle B _ {\ alpha} (t) {\ mathrel {: =}} \ int _ {\ mathbb {R}} \ left [(ts) _ {+} ^ {\ alpha -1/2} - (-s) _ {+} ^ {\ alpha -1/2} \ right] \ mathrm {d} B (s),}
kde a je skutečný bílý šum.
X+=max{X,0}{\ displaystyle x _ {+} = \ max \ {x, 0 \}}dB{\ displaystyle dB}
Harmonizovatelné vyjádření mBf
Samorodnitsky a Taqqu (1994) ukázali, že frakční Brownův pohyb lze reprezentovat následujícím stochastickým integrálem:
Bα(s){\ displaystyle B _ {\ alpha} (y)}
Bα(s): =∫REisξ-1|ξ|α+1/2dB^(ξ).{\ displaystyle B _ {\ alpha} (s): = \ int _ {\ mathbb {R}} {\ frac {e ^ {je \ xi} -1} {| \ xi | ^ {\ alpha + 1 / 2}}} {\ widehat {\ rm {dB}}} (\ xi).}
nebo
Bα(s): =∫REisξ-1iξ|ξ|α-1/2dB^(ξ).{\ displaystyle B _ {\ alpha} (s): = \ int _ {\ mathbb {R}} {\ frac {e ^ {je \ xi} -1} {i \ xi | \ xi | ^ {\ alfa - 1/2}}} {\ widehat {\ rm {dB}}} (\ xi).}
dB^{\ displaystyle {\ widehat {\ rm {dB}}}} je Fourierova transformace z bílého šumu se skutečnými hodnotami:
dB{\ displaystyle {\ rm {dB}}}
za všechno ,
F∈L2(R){\ displaystyle f \ in L ^ {2} (\ mathbb {R})}
∫RF(s)dB(s)=∫RF^(ξ)dB^(ξ).{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} f (s) {\ rm {{dB} (s) = \ int _ {\ mathbb {R}} {\ hat {f}} (\ xi) { \ widehat {\ rm {dB}}} (\ xi).}}}
Hlavní vlastnosti mBf
Hurstův parametr mBf je podobný -auto proces :
α{\ displaystyle \ alpha}α{\ displaystyle \ alpha}
což znamená, že
∀na>0,{Bα(nat)}t∈R=lÓi{naαBα(t)}t∈R.{\ displaystyle \ forall a> 0, \ {B _ {\ alpha} (zavináč) \} _ {t \ in \ mathbb {R}} {\ stackrel {law} {=}} \ {a ^ {\ alpha } B _ {\ alpha} (t) \} _ {t \ in \ mathbb {R}}.}
MBf je proces stacionárního přírůstku:
to znamená
∀s∈R,{Bα(t+s)-Bα(s)}t∈R=lÓi{Bα(t)-Bα(0)}t∈R.{\ displaystyle \ forall s \ in \ mathbb {R}, \ lbrace B _ {\ alpha} (t + s) -B _ {\ alpha} (s) \ rbrace _ {t \ in \ mathbb {R}} {\ stackrel {law} {=}} \ lbrace B _ {\ alpha} (t) -B _ {\ alpha} (0) \ rbrace _ {t \ in \ mathbb {R}}.}
Kde má mBf vlastnost dlouhá závislost.
α>1/2{\ displaystyle \ alpha> 1/2}
Tato vlastnost je popsána následovně:
∀j∈Z,Zα(j)=Bα(j+1)-Bα(j);{\ displaystyle \ forall j \ in \ mathbb {Z}, Z _ {\ alpha} (j) = B _ {\ alpha} (j + 1) -B _ {\ alpha} (j);}
pak nastavme:
∀(i,j)∈Z2,Γ(i-j)=E{Zα(i)Zα(j)},{\ displaystyle \ forall (i, j) \ in \ mathbb {Z} ^ {2}, \ Gamma (ij) = \ mathbb {E} {\ Big \ {} Z _ {\ alpha} (i) Z _ {\ alpha} (j) {\ Big \}},}
tak :
∑p∈Z|Γ(p)|=+∞{\ displaystyle \ sum _ {p \ in \ mathbb {Z}} {\ Big |} \ Gamma (p) {\ Big |} = + \ infty}.
To znamená, že hodnoty mBf mezi dvěma časovými intervaly mají malou korelaci, ale nejsou zanedbatelné (nelze je shrnout!).
MBf je proces připouštějící kontinuální trajektorie , které nelze nikde odvodit .
Hölderianova pravidelnost mBf
Cílem této části je poskytnout prvky, které umožňují přesněji poznat pravidelnost mBf.
K tomu zavedeme následující množství:
Jednotný Hölderův exponent
Nechť je stochastický proces, který má spojité trajektorie, nikde neodvozitelné; a kompaktní interval .
{Y(t)}t∈R{\ displaystyle \ lbrace Y (t) \ rbrace _ {t \ in \ mathbb {R}}}[na,b]{\ displaystyle [a, b]}R.{\ displaystyle \ mathbb {R}.}
Definujeme jednotný Hölderův exponent over poznamenal (EHU), tím
Y{\ displaystyle Y}[na,b],{\ displaystyle [a, b],}
hY([na,b])=sup{h≥0:supX1,X2∈[na,b]|Y(X1)-Y(X2)||X1-X2|h<+∞}.{\ displaystyle h_ {Y} ([a, b]) = \ sup \ left \ {h \ geq 0: \ sup _ {x_ {1}, x_ {2} \ in [a, b]} {\ frac {| Y (x_ {1}) - Y (x_ {2}) |} {| x_ {1} -x_ {2} | ^ {h}}} <+ \ infty \ right \}.}
Tento exponent splňuje následující vlastnost: v libovolném kompaktním intervalu , s pravděpodobností 1[na,b]⊂R{\ displaystyle [a, b] \ podmnožina \ mathbb {R}}0≤hY([na,b])≤1.{\ displaystyle 0 \ leq h_ {Y} ([a, b]) \ leq 1.}
Výklad:
čím blíže je tento exponent ,, 1, tím pravidelnější je proces v segmentuhY([na,b]){\ displaystyle h_ {Y} ([a, b])}[na,b].{\ displaystyle [a, b].}
V případě mBf odpovídá jednotný Hölderův exponent s pravděpodobností 1 pro všechny ,
Bα,{\ displaystyle B _ {\ alpha},}hBα{\ displaystyle h_ {B _ {\ alpha}}}[na,b]⊂R{\ displaystyle [a, b] \ podmnožina \ mathbb {R}}
hBα([na,b])=α.{\ displaystyle h_ {B _ {\ alpha}} ([a, b]) = \ alfa.}
Následující grafy ukazují, že jednotnou pravidelnost mBf lze předepsat prostřednictvím jeho parametru Hurst .
α{\ displaystyle \ alpha}
Odhad jednotného Hölderova exponenta mBf
V této části představíme odhad jednotného Hölderova exponentu mBf z pozorování diskretizované trajektorie v daném intervalu . Přesněji řečeno, předpokládejme, že dodržujeme standardní mBf .
α{\ displaystyle \ alpha}Bα{\ displaystyle B _ {\ alpha}}[0,1]{\ displaystyle [0,1]}NE∈NE{\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}BH(i/NE),i=0,...,NE{\ displaystyle B_ {H} (i / N), i = 0, \ ldots, N}
Idea
Pro standardní mBf máme pro všechny ,
s,t∈R{\ displaystyle s, t \ in \ mathbb {R}}
E(|Bα(t)-Bα(s)|2)=|t-s|2α.{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Big (} | B _ {\ alpha} (t) -B _ {\ alpha} (s) | ^ {2} {\ Big)} = | ts | ^ {2 \ alpha}.}
Z ergodické věty az kontinuity trajektorie mBf vyplývá, že:
∑i=0NE-1(Bα(i+1NE)-Bα(iNE))2NE1-2α→NE→+∞p.s.1.{\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {N-1} {\ Big (} B _ {\ alpha} ({\ frac {i + 1} {N}}) - B _ { \ alpha} ({\ frac {i} {N}}) {\ Big)} ^ {2}} {N ^ {1-2 \ alpha}}} {\ xrightarrow [{N \ rightarrow + \ infty}] {ps}} 1.}
Konstrukce odhadce
Označme tím
PROTINE: =∑i=0NE-1(Bα(i+1NE)-Bα(iNE))2,{\ displaystyle V_ {N}: = \ sum _ {i = 0} ^ {N-1} {\ Big (} B _ {\ alpha} ({\ frac {i + 1} {N}}) - B_ {\ alpha} ({\ frac {i} {N}}) {\ Big)} ^ {2},}
tak
α^NE: =12(1-log(PROTINE)log(NE)){\ displaystyle {\ hat {\ alpha}} _ {N}: = {\ frac {1} {2}} {\ Big (} 1 - {\ frac {\ log (V_ {N})} {\ log (N)}} {\ Velký)}}
je silně konzistentním odhadcem :
α{\ displaystyle \ alpha}
My máme
α^NE→NE→+∞p.s.α.{\ displaystyle {\ hat {\ alpha}} _ {N} {\ xrightarrow [{N \ rightarrow + \ infty}] {ps}} \ alfa.}
Podívejte se také
Bibliografie
- Benassi, Albert a Cohen, Serge a Istas, Jacques, Identifikace a vlastnosti skutečných harmonizovatelných zlomkových Lévyho pohybů, Bernoulli, 8, 1, 97-115, 2002.
- Doukhan, Paul (ed.) A Oppenheim, George (ed.) A Taqqu, Murad S. (ed.), Theory and applications of long-range dependency., Boston, Birkhäuser. x, 2003.
- Embrechts, Paul a Maejima, Makoto, Selfsimilar processes, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2002.
- AN Kolmogorov, Wienerova spirála a některé další zajímavé křivky v Hilbertově prostoru, Dokl. Akad. Nauk SSSR. 26: 2 (1940), 115–118. (Ruština)
- Mandelbrot, BB a Van Ness, JW, Frakční Brownovy pohyby, frakční zvuky a aplikace., SIAM Rev., 10, 422-437, 1968.
- Samorodnitsky, Gennady a Taqqu, Murad S., Stabilní negaussovské náhodné procesy: stochastické modely s nekonečnou variací., Stochastické modelování. New York, NY: Chapman & Hall., 1994.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">