V matematice , je Ramanujan prvočíslo je prvočíslo , který uspokojí výsledek svědčí Srinivasa Ramanujan vztahující se k funkci počítání prvočísel .
V roce 1919 vydal Ramanujan novou demonstraci Bertrandova postulátu, který, jak říká, poprvé demonstroval Čebyšev . Na konci dvou publikovaných stránek odvodil Ramanujan obecný výsledek, který je:
≥ 1, 2, 3, 4, 5, ... pro jakékoli x ≥ 2, 11, 17, 29, 41, ... vlastní A104272 na OEIS v tomto pořadí,kde (x) je funkce počítání prvočísel , což je počet prvočísel menší nebo rovný x .
Vyjádřením tohoto výsledku je Ramanujanova definice prvočísel a čísla 2, 11, 17, 29, 41 jsou prvočísla odpovídající této definici. Jinými slovy :
N th první Ramanujan je číslo R n , které je menší, ke splnění podmínky ≥ n , pro všechna x ≥ R n .Další způsob, jak tento výsledek vyjádřit, je:
Ramanujan prvočísla jsou celá čísla R n, která jsou nejmenší, aby zaručila, že existuje n prvočísel mezi x a x / 2 pro všechna x ≥ R n .Protože R n je nejmenší číslo vyhovující těmto podmínkám, musí být prvočíslo: a proto se musí zvýšit získáním dalšího prvočísla x = R n . Protože se může zvýšit alespoň o 1,
R n R n .První prvky sekvence prvočísel Ramanujan jsou:
2 , 11 , 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491 atd.
Pro všechna n ≥ 1,
2 n ln 2 n < R n <4 n ln 4 nPokud n > 1, pak
p 2n < R n < p 3n ,kde p n je n- té prvočíslo.
Pokud n tendenci růst do nekonečna, R n je rovno až 2 n th první, tedy
R n ~ p 2n ,a proto použití teorém prvočísla ,
R n ~ 2 n ln n .Všechny tyto výsledky jsou demonstrovány v knize „ Ramanujan prvočísla a Bertrandův postulát “, kromě výše uvedené nerovnosti R n < p 3n , kterou předpokládal Jonathan Sondow a demonstroval Shanta Laishram.