Normální (geometrie)

V matematice a přesněji v geometrii je přímkou ​​kolmou na křivku nebo na povrch v bodě přímka kolmá na tečnu nebo na tečnou rovinu v tomto bodě. Jakýkoli směrový vektor této přímky se nazývá vektor kolmý na křivku nebo na povrch v tomto bodě.

Častým pravidlem pro uzavřené povrchy je rozdělení jednotkového normálního vektoru, vektoru normy 1 a orientace směrem ven.

Příklady

Rovinné křivky

V případě rovinných křivek udává normální rotaci jednoduchá rotace π / 2 tečny; tento pojem proto hraje ve studii pouze druhoradou roli, snad s výjimkou stanovení středů zakřivení .

Levé křivky

U levých křivek je v každém bodě nekonečno normál, které v tomto bodě popisují rovinu kolmou k vektoru tečny. Preferujeme jeden, ten, který se nachází v oscilační rovině  ; tečný vektor, odpovídající normální vektor a jejich vektorový produkt (nazývaný binormální vektor) tvoří Frenetův souřadný systém , zvláště důležitý pro studium lokálního chování parametrizovaných křivek .

Normální k letadlu

Jako příklad neuzavřeného povrchu považujeme rovinu P definovanou její kartézskou rovnicí  :

naX+by+vs.z+d=0{\ displaystyle ax + by + cz + d = 0}.

V každém bodě A z P , vektor kolmý k P je . Tento vektor je směr vektor normály k P v A . ne→=(nabvs.){\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ začátek {pmatrix} a \\ b \\ c \ konec {pmatrix}}}

Jelikož plán není uzavřeným povrchem, jsou koncepty exteriéru a interiéru výsledkem konvence a nikoli definice. Jako jednotkový normální vektor s rovinou P si tedy můžeme vybrat:

ne→1=1na2+b2+vs.2(nabvs.){\ displaystyle {\ vec {n}} _ {1} = {\ frac {1} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}} {\ begin {pmatrix } a \\ b \\ c \ end {pmatrix}} \ quad}nebo .ne→2=-1na2+b2+vs.2(nabvs.){\ displaystyle \ quad {\ vec {n}} _ {2} = - {\ frac {1} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}} {\ start {pmatrix} a \\ b \\ c \ end {pmatrix}}}

Tyto dva vektory mají stejný směr a stejnou normu (rovnou 1), ale mají opačné směry (viz obr. 1).

Normální až uzavřený povrch

Nechť S je uzavřený povrch v trojrozměrném euklidovském prostoru . Najít jednotky normálový vektor (tj. Na jednotkový vektor čáry kolmé k této ploše, orientované směrem k vnějšku S ) v bodě , používáme součin dvou směrových vektorů tečné rovině k S v A . Na obrázku 2 je povrch zobrazen červeně a tečná rovina modře. NA(na1,na2,na3){\ displaystyle A (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}

Nechť P je tato tečná rovina. Nechť a dvou směrových vektorů P . Systém parametrických rovnic tečné roviny je pak: u→(u1u2u3){\ displaystyle {\ vec {u}} {\ začátek {pmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \\ u_ {3} \ konec {pmatrix}}}proti→(proti1proti2proti3){\ displaystyle {\ vec {v}} {\ začátek {pmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \\ v_ {3} \ konec {pmatrix}}}

M(λ,μ){X=na1+λu1+μproti1y=na2+λu2+μproti2z=na3+λu3+μproti3{\ displaystyle M (\ lambda, \ mu) \ quad {\ začátek {případů} x = a_ {1} + \ lambda u_ {1} + \ mu v_ {1} \\ y = a_ {2} + \ lambda u_ {2} + \ mu v_ {2} \\ z = a_ {3} + \ lambda u_ {3} + \ mu v_ {3} \ end {případů}}}

Dovolit je vektorem, který je výsledkem křížového součinu a . Podle definice, je normálový vektor k tečné rovině P . Normální vektor jednotky se potom rovná: w→=u→∧proti→{\ displaystyle {\ vec {w}} = {\ vec {u}} \ klín {\ vec {v}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}ne→{\ displaystyle {\ vec {n}}}

ne→=w→‖w→‖{\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ frac {\ vec {w}} {\ | {\ vec {w}} \ |}}}.

Směr tohoto vektoru je jasně definován, protože vnějšek uzavřeného povrchu je jasně definován.

Normální vektor v pravidelném bodě

Definice

Buď povrch definovaný parametrizací

M(λ,μ)=(X(λ,μ),y(λ,μ),z(λ,μ)){\ displaystyle M (\ lambda, \ mu) = \ doleva (x (\ lambda, \ mu), y (\ lambda, \ mu), z (\ lambda, \ mu) \ doprava)}

s funkcí x , y , z, z třídy C 1 . Pokud je dílčí odvozené vektory v tomto bodě nezávislé, říká se, že bod parametru (λ, μ) je pravidelný . Pak můžeme vytvořit jejich křížový produkt

NE(λ,μ)=∂M∂λ(λ,μ)∧∂M∂μ(λ,μ){\ displaystyle N (\ lambda, \ mu) = {\ frac {\ částečné M} {\ částečné \ lambda}} (\ lambda, \ mu) \ klín {\ frac {\ částečné \ mathrm {M}} {\ částečné \ mu}} (\ lambda, \ mu)}

což představuje normální vektor na povrchu (nemusí být nutně jednotný).

Propojte s přechodem

Je-li povrch dán karteziánské rovnice f ( x , y , z  ) = 0, s funkcí f třídy , bod povrchu se říká, že pravidelný v případě, že sklon o f není v tomto bodě nulová. Normální vektor pak tvoří samotný gradientový vektor: VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}

grad→F(∂F∂X∂F∂y∂F∂z){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} f {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} \\ {\ frac {\ částečné f} {\ částečné y} } \\ {\ frac {\ částečné f} {\ částečné z}} \ konec {pmatrix}}}

Formální důkaz tohoto výsledku zahrnuje teorém implicitních funkcí . Je však možné poskytnout zjednodušený přístup s využitím pojmu „nekonečně malé variace“.

Ve skutečnosti, pokud se umístíme do bodu M ( x , y , z  ) povrchu, na jeho sousedství, funkce f vždy udržuje stejnou hodnotu: 0. V důsledku toho jeho nekonečně malá variace během posunu na povrchu definovaném vektor je nula: d f = 0. dl→=(dX,dy,dz){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {d} l}} = (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y, \ mathrm {d} z)}

Podle definice přechodu to však máme . Protože tento skalární součin je nulový, gradient v M je v tomto bodě skutečně kolmý k povrchu. dF=grad→(F)⋅dl→{\ displaystyle \ mathrm {d} f = {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} (f) \ cdot {\ vec {\ mathrm {d} l}}}

Normální pole

Pole normál (normál v několika bodech) na povrchu umožňuje najít své trojrozměrného povrchu , prochází stupni integrace této oblasti .

Funkce, která spojuje svou směrovanou jednotku normálu s bodem, se nazývá Gaussovo mapování .

Zobecnění

Obecněji je možné považovat vektory za normální na hyperplochu v euklidovském prostoru , dokonce i v Riemannově varietě  ; normální čára v bodě je v tomto případě podprostor kolmý na tečnou nadrovinu v tomto bodě.

Aplikace

Optický

V optice určuje normál k dioptrii (povrch oddělující dvě média) zrcadlový odraz a perfektní lom (nedifúzní, dva jevy podle zákonů Snella-Descarta ).

Mechanické

V mechanice , když jsou dvě části v kontaktu, pak:

• relativní pohyb mezi oběma částmi je podle normálu nemožný;
• pokud má být kontakt dokonale klouzavý (bez adheze nebo tření ), je kontaktní síla vyvíjená jednou částí na druhou podle normály ke kontaktní ploše.

Normála vůči kontaktní ploše je proto důležitým prvkem při definování mechanického spojení .

Počítačová věda

V počítačovém zobrazování , a zejména v trojrozměrném modelování , znalost normálního vektoru orientovaného na fazetu umožňuje:

• k určení, zda je tato ploška viditelná nebo skrytá: v případě plochy ohraničující uzavřený objem, je-li normála orientována ven, je ploška viditelná, pokud normála směřuje k pozorovateli (virtuální kamera), skrytá, pokud ukazuje na opak;
• určit osvětlení plošky zákony optiky (viz výše);
• provést barevný přechod: pokud chceme představovat zakřivený a hladký povrch, jsme z praktických důvodů povinni jej rozřezat na rovné fazety, můžeme účinek fazetování zmírnit vytvořením barevného přechodu mezi fazetami, stanovení tohoto přechodu zahrnujícího normály.

Související články

• Vektor
• Tečna (geometrie)