Aplikace Gauss

V konvenčním diferenciální geometrie je mapa Gaussova je implementace přírodní diferencovatelná na povrchu části , s hodnotami v jednotkové oblasti , a jejichž rozdíl umožňuje přístup k druhé základní formy . Pojmenoval jej německý matematik Carl Friedrich Gauss . $\ mathbb {R} ^ {3}$ $S ^ {2}$

Aplikace Gauss

Nebo povrch orientovaný na třídě všech . $\ Sigma$ $C ^ {{k + 1}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

Pro bod existuje jedinečný jednotkový normální vektor kompatibilní s orientací . Aplikace Gauss je aplikace třídy : $P$ $\ Sigma$ ${\ displaystyle \ Gamma (P)}$ $\ Sigma$ $C ^ k$

{\ displaystyle \ Gamma: \ Sigma \ rightarrow S ^ {2}}

Máme přirozený identifikace mezi rovinou tečnou k v a tečné rovině koule v odpovídajícím bodě : $\ Sigma$ $P$ $S ^ {2}$ ${\ displaystyle \ Gamma (P)}$

{\ displaystyle T_ {P} \ Sigma = T _ {\ Gamma (P)} S ^ {2}}

Weingartenův endomorfismus

Rozdíl v mapě Gaussovy pohledu jako lineárního operátoru z , je symetrický operátor (označované jako operátor nebo endomorphism Weingarten) je kvadratická forma spojená je druhá základní forma o v P . $T_ {P} \ Sigma$ ${\ displaystyle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} _ {P}}$ $\ Sigma$

Přesněji řečeno, pro každý tangensový vektor máme: ${\ displaystyle w \ in T_ {P} \ Sigma}$

{\ displaystyle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} _ {P} (w) = - \ langle d \ gama (P) w | w \ rangle}

Vlastní čísla Weingartenova endomorfismu v daném bodě na povrchu jsou hlavními zakřiveními povrchu v tomto bodě a vlastní vektory generují hlavní směry.