Delta notace ve vědě

Ve vědě jsou široce používány symboly ( velké delta písmeno), d ( malé písmeno d ), (malé delta písmeno) a ( kulatý symbol d). Odpovídají stejnému pojmu variace mezi dvěma body, konkrétněji pojmu diferenciálu . Tento článek se pokouší shrnout roli každé z těchto notací a jejich rozdíly. S deltou řeckého velkého písmene se setkáváme také v několika dalších vědeckých situacích (viz konkrétní článek ). $\Delta$ $\delta$ $\ částečné$

Δ (velká delta)

$\Delta$ odpovídá variaci v nejobecnějším smyslu, tedy rozdílu mezi dvěma veličinami. Pokud například změříme výšku (výšku H v cm ) dítěte ve dvou různých věkových skupinách, vidíme, že se změnila ze 120 cm na 140 cm. Jeden by pak poznamenal: ΔH = 20 cm (jednotka je zjevně stejná jako u porovnávaných veličin).

Podle konvence symbol Δ (velké řecké písmeno delta ) představuje tento typ takzvané globální odchylky . Například v matematice bychom si všimli, že pro funkci f (x) platí, že Δf = f (b) - f (a), takže Δf kvantifikuje rozdíl mezi dvěma hodnotami funkce f, vzatými v bodech b a a. Pojem rychlosti růstu je pak často definován z tohoto celkového rozdílu: což lze také poznamenat: T = Δf / Δx. Tato sazba je bez jednotek (pokud mají f (x) a x stejnou jednotku); jedná se o „průměrný sklon“, který se navíc v určitých praktických případech jako takový používá. Například na silnicích se jedná o procentuální hodnotu uvedenou na značkách ohlašujících zvláště označený kopec (nebo sjezd) (procento se rovná změně nadmořské výšky pro danou vodorovnou ujetou délku). $\ textstyle {\ mathrm {T} = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}}$

d (malé písmeno d)

Velikost se nutně nemění konstantní rychlostí. Například dítě roste pomaleji a pomaleji, potom se jeho výška stabilizuje. Rovněž sklon silnice není konstantní: na trase je řada kopců, sjezdů a rovin; svah navíc může ve skutečnosti zahrnovat různé více či méně strmé části atd.

Malé písmeno d představuje malou variaci, během krátké doby nebo mezi dvěma blízkými body . Vždy tedy jde o vyjádření rozdílu nebo rozdílu či variace, ale tentokrát lokálním způsobem a již globálně. Místní měřítko závisí na globálním měřítku: pro město s obvodem jednoho kilometru je vzdálenost 200 m určitě spíše odchylkou globálního měřítka, ale pokud vezmeme v úvahu Zemi (poloměr = 6400 km), je stejná vzdálenost velmi malá a v pořadí místního měřítka.

Vezmeme-li v úvahu například funkci f aplikovanou na proměnnou x, chceme-li explicitně vyjádřit místní sklon (tj. Lokalizovanou rychlost nárůstu), nesmíme uvažovat o žádné variantě Δx, ale brát ji „jako malou jak je to možné “, což v matematice znamená, že tato variace má sklon k nule (viz také pojem limita a derivace ). Pak řekneme, že dx je nekonečně malý : rozdíl, který představuje, je ve srovnání s rozsahem problému velmi malý a v ideálním případě nekonečně malý.

Tento pojem místní variace má také konkrétní aplikace. Fyzicky to hodně záleží na kontextu. V předchozím příkladu silničního řádu sklon označený dopravními značkami ve skutečnosti odpovídá sklonu několika příštích metrů, a nikoli odchylkám v nadmořské výšce po celé trase. Tyto informace související s délkovým měřítkem celé cesty se proto považují za místní.

Abychom označili tento pojem „malé variace“ nebo „infinitezimální variace“, upravíme notaci pomocí d namísto Δ. Volba jedné nebo druhé ze dvou notací závisí pouze na poměru stupnic (škála problému nebo variační škála). Abychom tedy definovali rychlost, pojďme na cestu v délce jedné hodiny (zaznamenáváme Δt = 1 h) mezi dvěma městy vzdálenými o ΔL = 50 km. Průměrná rychlost (globální rozdíl ve vzdálenosti nad globálním rozdílu v čase), bude muset být DL / Dt = 50 km / h, které mohou být označeny jako V průměru . Místní rychlost však nemusí být nutně konstantní: vozidlo během jízdy zrychlovalo a zpomalovalo. Pak nás může zajímat „okamžitá“ rychlost (v přesném okamžiku cesty), to znamená během „velmi krátké chvíle“: na tomto „nekonečně malém rozdílu“ času může být rychlost 60 km / h na počítadle kilometrů, tj. 1 km / min (přibližně 17 m / s ). Pak by se poznamenat: dl / dt = 17 m / s = 60 km / h = v okamžiku . Tato odlišná informace je platná pouze místně, kolem bodu považovaného za provádění výpočtu.

∂ (kulatý symbol d)

Množství nemusí nutně záviset pouze na jedné proměnné. Pro multiparametrickou veličinu symbol ∂ (vyslovuje se „d round“) představuje nekonečně malou variaci ve smyslu d, ale umožňuje podtrhnout, že se jedná pouze o částečnou variantu, to znamená generovanou variaci pouze jedna z proměnných, na kterých studovaná veličina závisí. V matematice spojujeme tento zápis s pojmem parciální derivace . Vždy nás může následně zajímat celková derivace, to znamená variace studované veličiny, když všechny proměnné, na kterých to závisí, zažijí nekonečně malou variaci.

Vezměte si například nádobu s vodou a vystavenou slunci. Předpokládejme, že ztrácí odpařováním E = 10 ml / min . Plní se však současně průtokovou rychlostí A = 30 ml / min. Celkový objem proto závisí na dvou proměnných, odpařování a přidávání vody - které se zde mění známou a konstantní rychlostí, ale není tomu tak vždy. Celkový objem vody V jako funkce času t („v čase“) je matematicky vyjádřen vztahem: V = 30t - 10t = (A - E) t. Protože průtoky jsou vyjádřeny po dobu jedné minuty, uvažujme o tomto časovém intervalu: za jednu minutu je ekvivalentní průtok D dán vztahem: D = A - E = 30 - 10 = 20 ml / min. Celkově se zde D nemění jako funkce času.

Pokud nyní nejsou průtoky odpařováním (E) a přídavkem (A) konstantní, ale mění se v čase, potom se ekvivalentní průtok bude od nynějška nutně měnit v průběhu času. Například pokud se A zvýší o 1 ml / min, zatímco E zůstane konstantní, pak D se zvýší o 1 ml / min. Potom označíme ∂D / ∂A = 1, protože přírůstek D se rovná přírůstku A, který se označuje dD = 1 · dA = (∂D / ∂A) · dA. V tomto posledním psaní představuje faktor 1 dobře ∂D / ∂A. Podobně, pokud je to tentokrát E, která se zvyšuje o 1 ml / min, zatímco A zůstává konstantní, pak D klesá o 1 ml / min (protože E je ztráta odpařováním). Poznamenali bychom: ∂D / ∂E = −1 a dD = −1 · dE. Byly zde definovány dílčí variace D: variace D podle variace A na jedné straně a podle variace E na straně druhé.

Pokud se nyní A a E mění současně ve velmi malém okamžiku, je celková variace D (vždy uvedena dD, právě d, protože celkem) zjevně součet těchto dvou efektů:

{\ mathrm d} D = (+ 1) \ cdot {\ mathrm d} A + (- 1) \ cdot {\ mathrm d} E = {\ frac {\ částečný D} {\ částečný A}} \ cdot { \ mathrm d} A + {\ frac {\ částečné D} {\ částečné E}} \ cdot {\ mathrm d} E

Zápis ∂D označuje infinitezimální a parciální variaci funkce D, generovanou evolucí pouze jedné z proměnných, na nichž D. Budeme ji jasně odlišovat od notace dD, která představuje celkovou infinitezimální variaci D, generovanou všemi částečný vývoj.

Pokud lze s rozdílem dD pracovat samostatně, jak je uvedeno výše, pro částečný rozdíl differential to již není možné. Vždy je prezentován ve formě poměru dvou členů (například ∂D / ∂A): není to však striktně řečeno zlomek , protože od něj nelze oddělit dva prvky. Ani v rovnici nemůžeme „zjednodušit o 1 / ∂A“. Připomeňme, že existuje tolik parciálních derivací ∂D, kolik je proměnných pro D. Samotná notace ∂D by proto neměla žádný význam.

Symbol se také používá k označení subdiferenciálu konvexní funkce ( pak je to množina ) nebo nediferencovatelných funkcí v obvyklém smyslu. $\ částečné$ $\ částečné f (x)$

δ (malá delta)

Variaci lze studovat jako výsledek postupné akumulace několika malých vstupů. Každý z těchto příspěvků není považován za přísně řečeno za variaci, ale za základní veličinu . Malá řecká písmena delta ( ) se používají k označení tak malého množství, které není variantou. Avšak změna ( , nebo ) z množství může záviset na tomto vstupu . $\delta$ $\Delta$ $d$ $\ částečné$ $\delta$

Zvažte například bankovní účet, ze kterého je provedeno několik malých výběrů peněz P (malý ve vztahu k součtu všech, které budou vybrány). Pokud má P hodnotu 10 eur, můžeme toto množství zapsat . Toto množství je jednoduše číselná hodnota, která neodpovídá rozdílu mezi dvěma částkami peněz, ziskem nebo ztrátou. Účet nyní prochází změnou hodnoty ( výběr číselného množství 10 eur), takže nyní můžeme hovořit o změně celkové částky T účtu. Částka však není variantou (10 euro bankovka má hodnotu, jakou má, je to množství, nikoli variace). Pokud bychom viděli účty (na vrub a příjemce) jako dvě nádoby spojené potrubím, mohli bychom hovořit o kolísání úrovně jedné z nádob. Ale nemluvili bychom o změnách hladiny vody v potrubí. Voda tam cirkuluje, ale potrubí je vždy plné. To je také případ našeho : jedná se o množství vytvořené nebo přesunuté, nikoli o variantu jako takovou. Zavedení notace tedy v zásadě odpovídá potřebě sémantického rozlišení mezi variací a amplitudou variace. $\ delta P = 10$ $- \ delta P$ $\ delta P$ $\ delta P$ $\delta$

Tento rozdíl se často vyskytuje ve fyzice . Například, pojďme zvážit práci síly F na malé posunutí dl: jeden poznámky základní práce na krátkém posunu a jeden má vztah - jeden obecně činí energetickou bilanci systému, z nichž jedna studie například v vývoj vnitřní energie . Tato základní práce, která je „mimo systém“, není variací veličiny, ale elementárním odběrem nebo ukládáním energie. To je jeden způsob, jak vidět věci, protože v jiném kontextu bychom se mohli rozhodnout, že se budeme zajímat o funkci f představující celkovou energii přinesenou prací této síly F: označili bychom df jako dříve. Obecně pro práci síly nepíšeme, ale W: nevidíme to jako variaci množství, ale jako množství energie. A tak je jeden z elementárních vstupů na cestě, část celkové částky. $\ delta Ž$ $\ delta W = F \ cdot dL$ $\ delta Ž$ $\ Delta W$ $\ delta Ž$

souhrn

Použití delta notací se vztahuje pokaždé k vyjádření buď variace, nebo malé lokální nebo elementární veličiny. To lze provést ve velkém nebo malém měřítku (nekonečně malá variace a kvantita) a při určování variací veličiny může zasahovat jedna nebo více proměnných. Různé použité notace umožňují mít na paměti, co tyto různé prvky představují v určitém kontextu: uvažuje se o variantě ? Částečné nebo celkové , globální nebo místní ? Nebo elementární množství ?

Hodnocení	Význam
$\Delta$	celková celková variace
$d$	celková místní variace
$\ částečné$	lokální dílčí variace
$\delta$	základní množství