Vlnka je funkce v základně vlnek rozkladu, rozkladu podobné krátkodobé Fourierovy transformace , který se používá ve zpracování signálů . Odpovídá intuitivní představě o funkci odpovídající malé oscilaci, proto její název.
Má však dva hlavní rozdíly s krátkodobou Fourierovou transformací :
Nejedná se však o odlišný formalismus od Fourierovy transformace , ale o doplňkový, rozklad vlnky pomocí Fourierova formalismu.
Vlnová technika se používá zejména pro kompresi počítačových dat a obrázků.
Vlnky vznikly, když určité studované subjekty vyžadovaly analýzu frekvence a času. V XIX th století, Fourierova analýza byla jedinou technikou umožňující rozklad signálu a jeho rekonstrukce bez ztráty informací; bohužel poskytuje frekvenční analýzu, ale neumožňuje časovou lokalizaci náhlých změn, jako je vzhled druhé noty po přehrání první noty. V roce 1909 , Alfréd Haar definované funkce složený z krátkého záporného impulsu a krátkém pozitivní impuls, je známo, že první vlnka ( Haar wavelet ). V roce 1946 , Dennis Gabor , je maďarský matematik vynalezl transformační funkci podobnou tomu Joseph Fourier , aplikovaný na časového okna vyjádřené Gaussovou funkcí . Nakonec termín wavelet zavedli do matematického jazyka Jean Morlet a Alex Grossmann v roce 1984 . Původně francouzský termín , byla přeložena do angličtiny by vlnky , ze termíny vlna (onde) a drobný let (malý). Yves Meyer ( Abel Prize 2017), uznávaný jako jeden ze zakladatelů teorie vln, shromáždil v roce 1986 všechny předchozí objevy (jich měl 16) a poté definoval ortogonální vlnky . Ve stejném roce vytvořil Stéphane Mallat spojení mezi vlnami a multirezoluční analýzou . A konečně, Ingrid Daubechies vyvinula v roce 1987 ortogonální vlnky zvané Daubechies wavelets , snadno implementovatelné a použité ve standardu JPEG 2000 .
V matematice, vlnka Ψ je funkce čtvercového integrovatelná funkce na Hilbertova prostoru , obvykle oscilující a nulovou střední hodnotou, které byly vybrány jako analýza a multi měřítku rekonstrukce nástroj. Vlnky jsou běžně vyskytují v rodinách, který se skládá z mateřského vlnky a sadu svých obrazů ze strany prvků podskupiny lambda na skupiny z afinních transformací z .
Definujeme tedy rodinu (kde ) vlnek z mateřské vlny avel :
V širším smyslu, rodiny funkcí na podvariety z invariants transformací skupiny místně izomorfní k afinní skupinou mohou být rovněž kvalifikován jako vlnka rodin.
Existují dva typy vlnkových transformací (en) v závislosti na tom, zda je podskupina Λ diskrétní nebo spojitá.
Analýza čtvercové funkce sčítatelné ve vlnkách spočívá ve výpočtu množiny jejích tečkových produktů s vlnami rodiny. Získaná čísla se nazývají vlnkové koeficienty a operaci spojující její vlnkové koeficienty s funkcí nazýváme vlnková transformace.
Definujeme tedy spojitou vlnkovou transformaci funkce pomocí:
Kde ψ s , τ je vlnka rodiny waveletů, označuje komplex konjugátu, je translační faktor a s expanzní faktor.
K nalezení původního signálu použijeme spojitou vlnkovou transformaci danou:
nebo
,je Fourierova transformace Ψ , mateřské vlnky.
Můžeme přizpůsobit vlnkovou transformaci, pokud jsme v diskrétní množině. Tato technika se používá zejména při kompresi digitálních dat se ztrátou nebo bez ztráty. Komprese se provádí postupnými aproximacemi počátečních informací od nejhrubší po nejjemnější. Velikost informací se poté zmenší výběrem úrovně podrobností.
Potom jde o vzorkování s na dyadické stupnici a τ Potom napíšeme:
.kde a jsou konstanty.
V případě, že ψ m , n tvoří základ Hilbertovy z (která je například případ Haar wavelet ), wavelet rozklad signálu g spočívá ve výpočtu na skalární součiny . Nové složení signálu se pak získá:
Waveletův rozklad se používá zejména při kompresi dat . Tato technika umožňuje zmenšit velikost digitální informace (kvalita informace komprimované z úplné informace), ale také zrychlit zobrazení informace (kvalita zobrazení z komprimovaného souboru). Druhé použití je nezbytné pro kartografické dokumenty, kde je kvalita a velikost užitečných informací značná.
Tato metoda komprese obrazu se používá hlavně ve dvou formátech:
Tato metoda komprese se také používá pro video:
Je založen na použití vlnky pro kompresi odstraněním vysokofrekvenčních informací, které nejsou viditelné pro oko.
Zejména to často umožňuje lepší analýzu funkcí vykazujících diskontinuity nebo místní jevy. To je například případ obrysů v obrazech, což vysvětluje přijetí vlnkového rozkladu ve standardu JPEG 2000.