Integrovaný operátor

V matematiky , An integrální operátor nebo jádro operátor je lineární operátor definovat s použitím parametrické integrál v určitých funkčních prostorů . Obraz funkce takovým operátorem je tedy další funkcí, jejíž doména se může velmi lišit.

Takoví operátoři představují základní objekty ve funkční analýze , kde umožňují zejména transformovat rovnici a získat tak verzi, která je a priori snadněji řešitelná. Prvními příklady jsou konvoluce a Fourierova nebo Laplaceova transformace , proto se název také setkal s integrální transformací .

Výraz

Obecná forma integrálního operátoru je dána následujícím výrazem:

S (f) (t) = \ int _ {{A}} {f (x) K (x, t) \, {\ mathrm {d}} \ mu (x)}

ve kterém se funkce $K$ nazývá jádro operátora.

V mnoha běžných příkladech je doménou integrace $A$ skutečný interval a přidruženým měřítkem je Lebesgue .

Speciální tvary jádra

O jádru $K$ se říká, že je oddělitelné nebo zdegenerované, a může být zapsáno ve formě

{\ displaystyle K (x, t) = \ součet _ {i = 1} ^ {p} a_ {i} (x) b_ {i} (t)}

s funkcemi $( a i )$ nezávislými.

O jádru $K$ se složitou hodnotou se říká, že je symetrické nebo hermitské, pokud to vyhovuje

{\ displaystyle \ forall x, t, \ K (x, t) = {\ overline {K (t, x)}}.}

Jádro $K$ se nazývá „ konvoluční jádro “, pokud má formu

{\ displaystyle K (x, t) = k (xt).}

O jádře $K$ se říká, že je pravidelné, pokud splňuje:

{\ displaystyle \ iint K (x, t) \ mathrm {d} x \ mathrm {d} t <+ \ infty.}

Pokud má jádro $K$ tvar, pro omezenou funkci $h$ ,

{\ displaystyle K (x, t) = {\ frac {h (x, t)} {| xt | ^ {m}}}, \ m \ in] 0; 1 [,}

pak se říká, že integrální rovnice je „slabě singulární“. Pro konstantu $h$ najdeme integrální rovnici Ábela.

Jádro $K$ se nazývá „Cauchyovo jádro“, pokud má formu

{\ displaystyle K (x, t) = {\ frac {h (x, t)} {xt}}.}

Objevuje se v definici hlavní hodnoty Cauchyho .

použití

Integrální operátory zasahují do jevů difúze, kde klasicky zasahují do integrálních rovnic . Existence a jedinečnost řešení nacházejí řešení s alternativou Fredholm , pokud je tato alternativa použitelná, to znamená, když je operátor kompaktní .

V mnoha případech v praxi již existuje komplexní studie operátorské spektrální analýzy.

Stává se, že takový operátor připustí inverzi, která je také integrálním operátorem. Jádro druhého se pak nazývá inverzní jádro.

Podívejte se také

[PDF] Gilles Leborgne, „Integrovaná jádra, Hilbertův prostor s reprodukujícím se jádrem: úvod“ , přednášky ISIMA,9. března 2016 (konzultováno s 25. července 2016)