Hlavní hodnota Cauchy
V matematice je hlavní hodnota Cauchy , tzv na počest Augustin Louis Cauchy , přidruží hodnotu s určitými nevlastní integrály , které by jinak zůstaly nedefinovaná.
Definice
Nechť c je singularita funkce reálné proměnné f a předpokládejme, že pro a < c < b platí následující limit
limε→0∫navs.-ϵF(X)dX+limη→0∫vs.+ηbF(X)dX=L{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ až 0} \ int _ {a} ^ {c- \ epsilon} f (x) \ mathrm {d} x + \ lim _ {\ eta \ až 0} \ int _ {c + \ eta} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x = L}![\ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int_a ^ {c- \ epsilon} f (x) \ mathrm dx + \ lim _ {\ eta \ to 0} \ int_ {c + \ eta} ^ bf (x) \ mathrm dx = L](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f8c9a264424fd48aa46e5fc67af1027402a1f2)
existuje a je konečný. Takže, říkáme, že nevlastní integrál f ( x ) v intervalu existuje a jeho hodnota je definována L .
Pokud výše uvedený limit neexistuje, je možné, že existuje, když ε a η mají tendenci k nule, zatímco zůstávají stejné , to znamená, že limit
limε→0(∫navs.-εF(X)dX+∫vs.+εbF(X)dX)=L{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ až 0} \ left (\ int _ {a} ^ {c- \ varepsilon} f (x) \ mathrm {d} x + \ int _ {c + \ varepsilon} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x \ vpravo) = L}![\ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ left (\ int_a ^ {c- \ varepsilon} f (x) \ mathrm dx + \ int_ {c + \ varepsilon} ^ bf (x) \ mathrm dx \ right) = L](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e44d4d6685b6fbd45049dc4bc46362ff44040ab9)
existuje a je konečný. V tomto případě, jeden volá limitu L v hlavní hodnotu Cauchym na nevlastní integrál, co člověk píše:
proti.p.∫nabF(X)dX=L{\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x = L}![{\ mathrm {vp}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ mathrm d} x = L](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b890f9e99e9009143d5b732b0c6d13c6482023bc)
Definice se rozšiřuje následovně v případě n singularit :
na<X1,...,Xne<b{\ displaystyle a <x_ {1}, ..., x_ {n} <b}![a <x_ {1}, ..., x_ {n} <b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa574b6398eb3ce1ff87cb514c5f5cbe0ebef147)
pokud pro ε> 0 integrály existují a jsou konečné a limit
∫naX1-εF(X)dX,...,∫Xne+εbF(X)dX{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {x_ {1} - \ varepsilon} f (x) \ mathrm {d} x, \ ldots, \ int _ {x_ {n} + \ varepsilon} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x}![\ int_ {a} ^ {x_1- \ varepsilon} f (x) \ mathrm dx, \ ldots, \ int_ {x_n + \ varepsilon} ^ {b} f (x) \ mathrm dx](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7625f88907104424973da57b35ff0b607e199b)
limε→0(∫naX1-εF(X)dX+⋯+∫Xne+εbF(X)dX)=L{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ až 0} \ left (\ int _ {a} ^ {x_ {1} - \ varepsilon} f (x) \ mathrm {d} x + \ dots + \ int _ { x_ {n} + \ varepsilon} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x \ vpravo) = L}![\ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ left (\ int_a ^ {x_1- \ varepsilon} f (x) \ mathrm dx + \ dots + \ int_ {x_n + \ varepsilon} ^ {b} f (x) \ mathrm dx \ right) = L](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75151d381d40d4d6c781c805063691f684b63618)
existuje, vzniká: .
proti.p.∫nabF(X)dX=L{\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x = L}![{\ mathrm {vp}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ mathrm d} x = L](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b890f9e99e9009143d5b732b0c6d13c6482023bc)
Příklady
Funkce napájení
Nechť funkce f definovaná znázorněním na obrázku 1 naproti tomu máme:
F(X)=X-3{\ displaystyle f (x) = x ^ {- 3}}![{\ displaystyle f (x) = x ^ {- 3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087e8371bd1eab2f4aefcd8d25d0fbfcddd25b26)
limε→0∫-∞-εdXX3+limη→0∫η+∞dXX3=limε→0-12ε2+limη→012η2{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ až 0} \ int _ {- \ infty} ^ {- \ varepsilon} {\ mathrm {d} x \ přes x ^ {3}} + \ lim _ {\ eta \ to 0} \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x ^ {3}} = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {- 1 \ nad 2 \ varepsilon ^ {2}} + \ lim _ {\ eta \ až 0} {1 \ nad 2 \ eta ^ {2}}}![\ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int _ {- \ infty} ^ {- \ varepsilon} {\ mathrm dx \ over x ^ 3} + \ lim _ {\ eta \ to 0} \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} {\ mathrm dx \ over x ^ 3} = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {-1 \ nad 2 \ varepsilon ^ 2} + \ lim _ {\ eta \ to 0 } {1 \ nad 2 \ eta ^ 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a70a58f905190816ce811783d8c547a123e8536)
Tento limit neexistuje, když ε a η mají tendenci se samostatně nulovat. Na druhou stranu, nastavením ε = η, limit existuje a rovná se nule. Proto máme:
proti.p.∫-∞+∞dXX3=0{\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ nad x ^ {3}} = 0}![{\ mathrm {vp}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} {{\ mathrm d} x \ nad x ^ {3}} = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8c5f5d7d14fd0c5f799da901e06bf82860c889)
To odpovídá intuici, protože funkce je lichá a integrujeme ji v symetrickém intervalu.
Integrální logaritmus
Funkce integrálního logaritmu hraje velkou roli v teorii analytických čísel . Je definován
li(X)=∫0Xdtln(t).{\ displaystyle \ mathrm {li} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ ln (t)}}.}![{\ mathrm {li}} (x) = \ int _ {{0}} ^ {{x}} {\ frac {{\ mathrm {d}} t} {\ ln (t)}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b54b34a822cca3345f67547e4326c861986eb24)
Tato notace je urážlivá, musíme skutečně vidět tuto definici pro x > 1 jako hlavní hodnotu Cauchyho:
li(X)=limε→0(∫01-εdtln(t)+∫1+εXdtln(t)).{\ displaystyle \ mathrm {li} (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ left (\ int _ {0} ^ {1- \ varepsilon} {\ frac {\ mathrm {d} t} { \ ln (t)}} + \ int _ {1+ \ varepsilon} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ ln (t)}} \ vpravo).}![{\ mathrm {li}} (x) = \ lim _ {{\ varepsilon \ to 0}} \ left (\ int _ {{0}} ^ {{1- \ varepsilon}} {\ frac {{\ mathrm {d}} t} {\ ln (t)}} + \ int _ {{1+ \ varepsilon}} ^ {{x}} {\ frac {{\ mathrm {d}} t} {\ ln (t )}} \ že jo).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ca5d0f0fbfee92d36b6d25e81394a6eeefb73e)
Souvislost s teorií distribuce
Nechť sadu hladkých funkcí s kompaktním nosičem z červů . Poté můžeme definovat aplikaci
VSvs.∞(R){\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}![\ mathbb {C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
proti.p.(1X):VSvs.∞(R)→VS{\ displaystyle \ operatorname {vp} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \,: {\ mathcal {C}} _ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R }) \ to \ mathbb {C}}![\ operatorname {vp} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \,: {\ mathcal {C}} _ {c} ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ) \ do {\ mathbb {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad18e679417d8953167d79e4956aea06c6faf9cd)
jako
proti.p.(1X)(F)=limε→0+(∫-∞-εF(X)XdX+∫ε∞F(X)XdX) pro všechny F∈VSvs.∞(R){\ displaystyle \ operatorname {vp} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) (f) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 +} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {- \ varepsilon} {\ frac {f (x)} {x}} \, \ mathrm {d} x + \ int _ {\ varepsilon} ^ {\ infty} {\ frac {f (x)} { x}} \, \ mathrm {d} x \ right) \ quad {\ text {pro všechny}} f \ in {\ mathcal {C}} _ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R })}![{\ displaystyle \ operatorname {vp} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) (f) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 +} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {- \ varepsilon} {\ frac {f (x)} {x}} \, \ mathrm {d} x + \ int _ {\ varepsilon} ^ {\ infty} {\ frac {f (x)} { x}} \, \ mathrm {d} x \ right) \ quad {\ text {pro všechny}} f \ in {\ mathcal {C}} _ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9c2e2ca0b639e680254e4d3cf4932728dfb205)
Tato mapa je dobře definovaná a je distribucí řádu 1.
Obecněji lze definovat hlavní hodnotu velkého počtu integrálních operátorů se singulárním jádrem. Nechť je funkce připouštějící singularitu na 0, ale pokračující dál . V některých případech je následující funkce dobře definovaná a jedná se o distribuci.
K.:R→VS{\ displaystyle K: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {C}}
R-{0}{\ displaystyle \ mathbb {R} - \ {0 \}}![{\ mathbb {R}} - \ {0 \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb32bc9a623e719607174610cc8db958062df85)
proti.p.(K.)(F)=limε→0+(∫-∞-εF(X)K.(X)dX+∫ε∞F(X)K.(X)dX) pro všechny F∈VSvs.∞(R){\ displaystyle \ operatorname {vp} (K) (f) = \ lim _ {\ varepsilon \ až 0 +} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {- \ varepsilon} f (x) K (x ) \, \ mathrm {d} x + \ int _ {\ varepsilon} ^ {\ infty} f (x) K (x) \, \ mathrm {d} x \ vpravo) \ quad {\ text {pro všechny} } f \ in {\ mathcal {C}} _ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}![\ operatorname {vp} (K) (f) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0+} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {- \ varepsilon} f (x) K (x) \, \ mathrm {d} x + \ int _ {\ varepsilon} ^ {\ infty} f (x) K (x) \, \ mathrm {d} x \ right) \ quad \ text {pro všechny} f \ in \ mathcal {C} _c ^ \ infty (\ mathbb {R})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2dc8fe2bb5361449c8777a135ededfc95cd1ab5)
Jiné notace
V literatuře je někdy také uvedena hlavní hodnota Cauchyho:
P∫F(X)dX,PPROTI∫F(X)dX,PROTIP∫F(X)dX,∫∗F(X)dX,∫ F(X)dX{\ Displaystyle P \ int f (x) \, \ mathrm {d} x, PV \ int f (x) \, \ mathrm {d} x, VP \ int f (x) \, \ mathrm {d} x , \ int ^ {*} f (x) \, \ mathrm {d} x, \ int \! \! \! \! \! \! \! {\ frac {} {\ \ \}} f (x ) \, \ mathrm {d} x}![{\ Displaystyle P \ int f (x) \, \ mathrm {d} x, PV \ int f (x) \, \ mathrm {d} x, VP \ int f (x) \, \ mathrm {d} x , \ int ^ {*} f (x) \, \ mathrm {d} x, \ int \! \! \! \! \! \! \! {\ frac {} {\ \ \}} f (x ) \, \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3025c21704e4de30ba5ceb41642b6bd9b256020)
kde PV znamená anglická hlavní hodnota .
Reference
-
(in) King, Frederick W. , Hilbert Transforms. Svazek 1. , Cambridge University Press ,2009( ISBN 978-0-511-72145-8 , 0511721455 a 9780521887625 , OCLC 776965734 , číst online ) , s. 14
Podívejte se také
Reference
-
(en) ET Copson , An Introduction to the Theory of Functions of a Complex Variable , Oxford University Press , 1955 ( ISBN 978-0-198-53145-6 )
-
Murray R. Spiegel (en) , Complex Variables , McGraw-Hill , 1991 ( ISBN 978-2-7042-0020-7 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">