Cassini ovál

V matematiky , je Cassiniho křivka je množina bodů v rovině tak, že produkt ze vzdáleností od každého bodu P z oválného na dalších dvou pevných bodech Q 1 a Q 2 je konstantní, tj. Takové, aby se produkt

{\ mbox {dist}} (q_ {1}, p) {\ mbox {dist}} (q_ {2}, p) \, (= b ^ {2}) \,

je konstantní. Body q 1 a q 2 se nazývají ohniska oválu.

Ovály Cassini jsou pojmenovány podle Giovanniho Domenica Cassiniho .

Označíme-li b 2 konstanty výrobků, které předchází a je tento:

a = {\ frac {1} {2}} {\ mbox {dist}} (q_ {1}, q_ {2}).

Tvar oválu závisí na poměru b / a .

Pokud je b / a větší než 1, je lokus jedinou souvislou smyčkou.
Pokud je b / a menší než 1, je lokus složen ze dvou neprotínajících se smyček.
Pokud je b / a rovno 1, je lokus Bernoulliho lemniscate .

Rovnice

Pokud jsou ohniska oválek ( a , 0) a (- a , 0), pak je rovnice křivky dána vztahem

((xa) ^ {2} + y ^ {2}) ((x + a) ^ {2} + y ^ {2}) = b ^ {4}. \,

Nebo v polárních souřadnicích

r ^ {4} -2a ^ {2} r ^ {2} \ cos 2 \ theta = b ^ {4} -a ^ {4}. \,

Vlastnosti

Ovály Cassini jsou trajektorie kolmé na rovnostranné hyperboly, se středem (0, 0) a procházejícím bodem (1, 0).

Rovnice takových hyperbolas skutečně jsou

y ^ {2} -x ^ {2} + \ lambda xy + 1 = 0, \, \ lambda \ in \ mathbb {R}.

Jejich diferenciální rovnice je napsána následovně:

(x ^ {2} + y ^ {2} +1) y \, dx- (x ^ {2} + y ^ {2} -1) x \, dy = 0.

Což dává rovnici ortogonálních trajektorií:

(x ^ {2} + y ^ {2} +1) y \, dy + (x ^ {2} + y ^ {2} -1) x \, dx = 0 = d \ vlevo ({\ frac 14 } (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {y ^ {2}} {2}} \ vpravo ).

Ortogonální trajektorie jsou tedy rovnice

(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} -2x ^ {2} + 2y ^ {2} = \ mu, \, \ mu \ in \ mathbb {R},

a najdeme Cassiniho rovnici oválek.

externí odkazy

(en) Eric W. Weisstein , „ Cassini Ovals “ , na MathWorld
Robert Ferréol, „ Oval de Cassini “ , v Encyklopedii pozoruhodných matematických forem