Schurův polynom

V matematice , Schur polynomy , pojmenované po matematikovi Issai Schur , jsou zvláštní symetrické polynomy , indexované podle oddílů celých čísel , a které zobecnit elementární symetrické polynomy a komplexní homogenní symetrické polynomy . V teorie reprezentace , to jsou znaky z reprezentací polynom nesnížitelný na obecnou lineární skupinu . Schurovy polynomy tvoří základ prostoru všech symetrických polynomů. Produkt Schurových polynomů lze zapsat jako lineární kombinaci Schurových polynomů s přirozenými celočíselnými koeficienty ; hodnoty těchto koeficientů jsou dány pravidlem Littlewood-Richardson .

Existují také levé Schurovy polynomy, které jsou spojeny s dvojicemi oddílů a které mají vlastnosti podobné Schurovým polynomům.

Definice

Schurovy polynomy jsou indexovány podle oddílů celých čísel nebo přesněji podle klesajících konečných sekvencí přirozených celých čísel. Vzhledem k takové n -tuple $λ$ $= ($ $λ$ $1$ $,$ $λ$ $2$ $,\dots,$ $λ$ $n$ $)$ , kde $λ$ $j$ jsou celá čísla a $λ$ $1$ $\geq$ $λ$ $2$ $\geq\dots \geq$ $λ$ $n$ $\geq 0$ (tuto konečnou sekvenci lze považovat za „ oddílu“o celé číslo $d$ $= å$ $lambda$ $j$ , ale v širším smyslu od posledního $Á$ $j$ mohou být nula), následující polynom je střídavý (v) , to znamená, že, že se převede na jeho opaku o provedení z proměnné:

{\ displaystyle a _ {\ lambda} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = \ det {\ begin {pmatrix} x_ {1} ^ {\ lambda _ {1}} & x_ {2} ^ {\ lambda _ {1}} & \ dots & x_ {n} ^ {\ lambda _ {1}} \\ x_ {1} ^ {\ lambda _ {2}} & x_ {2 } ^ {\ lambda _ {2}} & \ dots & x_ {n} ^ {\ lambda _ {2}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ x_ {1} ^ {\ lambda _ {n}} & x_ {2} ^ {\ lambda _ {n}} & \ dots & x_ {n} ^ {\ lambda _ {n}} \ end {pmatrix}}.}

Je tedy dělitelný Vandermondeovým determinantem , který odpovídá n -tupletu $δ = ( n - 1, n - 2,\dots, 0)$ :

{\ displaystyle a _ {\ delta} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = \ det {\ begin {pmatrix} x_ {1} ^ {n-1} & x_ { 2} ^ {n-1} & \ dots & x_ {n} ^ {n-1} \\ x_ {1} ^ {n-2} & x_ {2} ^ {n-2} & \ dots & x_ {n} ^ {n-2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 1 & 1 & \ dots & 1 \ end {pmatrix}} = \ prod _ {1 \ leq j <k \ leq n} (x_ {j} - x_ {k}).}

Schurův polynom spojený s $λ$ je podle definice kvocientový polynom:

{\ displaystyle s _ {\ lambda} = {\ frac {a _ {\ lambda + \ delta}} {a _ {\ delta}}},}

kde n -uples $λ$ a $δ$ se sčítají člen po členu . Je symetrický jako podíl dvou střídavých polynomů.

Schurovy polynomy stupně $d$ v $n$ proměnných tvoří základ prostoru homogenních symetrických polynomů stupně $d$ v $n$ proměnných.

Ekvivalentní definice

Pro daný oddíl lze Schurův polynom také zapsat jako součet monomiálů ve tvaru: $\ lambda$ ${\ displaystyle s _ {\ lambda}}$

{\ displaystyle s _ {\ lambda} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {T} x ^ {T} = \ sum _ {T} x_ {1 } ^ {t_ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {t_ {n}}}

kde shrnutí týká semi-standardní Mladé pole z formy ; exponenty dávají váhu : jinými slovy každý počítá výskyty čísla v . Například monomial spojený s polem je . $T$ $\ lambda$ ${\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n}}$ $T$ $t_i$ $i$ $T$ ${\ displaystyle x_ {1} x_ {3} x_ {4} ^ {3} x_ {5} x_ {6} x_ {7}}$

Výraz jako součet hmotností Youngových polí je někdy považován za definici, například v Sagan 2001 .

Vztahy s jinými základnami jsou často výslovně vyjádřeny. Jedním z uvažovaných základů je základ monomiálních symetrických funkcí . Vzhledem k rozdělení je polynom podle definice: ${\ displaystyle m _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ mu = (\ mu _ {1}, \ mu _ {2}, \ ldots, \ mu _ {n})}$ ${\ displaystyle m _ {\ mu}}$

{\ displaystyle m _ {\ mu} = \ součet x_ {i_ {1}} ^ {\ mu _ {1}} x_ {i_ {2}} ^ {\ mu _ {2}} \ cdots x_ {i_ { n}} ^ {\ mu _ {n}}}

kde je součet přes všechny obměny celých čísel od 1 do . Například pro dostaneme: ${\ displaystyle (i_ {1}, i_ {2}, \ ldots, i_ {n})}$ $ne$ ${\ displaystyle \ mu = (2,1,0)}$

${\ displaystyle m _ {(2,1,0)} = x_ {1} ^ {2} x_ {2} + x_ {1} ^ {2} x_ {3} + x_ {1} x_ {2} ^ {2} + x_ {1} x_ {3} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} x_ {3} + x_ {2} x_ {3} ^ {2}}$ .

Schurovy polynomy jsou lineární kombinace symetrických monomálních polynomů s přirozenými celočíselnými koeficienty, které se označují a nazývají se číslami Kostka . Číslo Kostka (které závisí na dvou oddílech a ) se podle definice rovná počtu polostandardních Youngových polí tvaru a hmotnosti . ${\ displaystyle K _ {\ lambda \ mu}}$ ${\ displaystyle K _ {\ lambda \ mu}}$ $\ lambda$ $\ mu$ $\ lambda$ $\ mu$

Vyjádření Schurových polynomů jako kombinace monomiálních symetrických polynomů je:

{\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ součet _ {\ mu} K _ {\ lambda \ mu} m _ {\ mu}. \}

K úplné homogenní symetrické polynomy

{\ displaystyle h_ {k} (x_ {1}, x_ {2}, \ tečky, x_ {n}) = \ součet _ {1 \ leq i_ {1} \ leq i_ {2} \ leq \ cdots \ leq i_ {k} \ leq n} x_ {i_ {1}} x_ {i_ {2}} \ cdots x_ {i_ {k}},}

to znamená součet všech monomiálů stupně , poskytuje další příklad. Dva vzorce zahrnující determinanty jsou vzorce Jacobi- Trudi . První vyjadřuje Schurovy polynomy jako determinant, pokud jde o úplné homogenní symetrické polynomy : $k$

{\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ det _ {i, j} h _ {\ lambda _ {i} + ji}.}

Za přepážkou ze v jedné části, my prostě nemají $d)$ $d$

{\ displaystyle s _ {(d)} = h_ {d}}

Poslední vztah je snadno pochopitelný. Pokud oddíl obsahuje pouze jeden výraz, přidružené tabulky Young mají pouze jeden řádek s buňkami, vyplněný celými čísly, která se v širším smyslu zvětšují. Každá tabulka odpovídá termínu úplného homogenního symetrického polynomu . $ne$ ${\ displaystyle h_ {d}}$

Druhý vzorec vyjadřuje Schurovy polynomy jako determinant z hlediska elementárních symetrických polynomů . Označíme elementární symetrický polynom, který je součtem různých produktů různých proměnných mezi . My máme : $e_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})$ $k$ $ne$

{\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ det _ {i, j} e _ {\ lambda '_ {i} + ji}}

kde je duální oddíl . Pro oddíl, kde jsou všechny části rovny 1, dostaneme $\ lambda '$ $\ lambda$ ${\ displaystyle (1) ^ {d}}$

{\ displaystyle s _ {(1) ^ {d}} = e_ {d}}

I zde je snadno pochopitelný poslední vzorec. Youngovy tabulky jsou tvořeny jediným sloupcem buněk a celá čísla, která se v nich objevují, se přísně zvyšují. Každá tabulka proto poskytuje monomiál elementárního symetrického polynomu . $ne$ $e_ {d}$

Tyto vzorce se nazývají „determinující identity“. Další formou tohoto typu je vzorec Giambelliho (in) , který vyjadřuje Schurův polynom rozdělení, pokud jde o čtvercové oddíly obsažené v odpovídajícím Youngově diagramu. V notaci Frobenius je zaznamenáno skóre

{\ displaystyle (a_ {1}, ... a_ {r} | b_ {1}, ... b_ {r})}

kde pro každý diagonální prvek je v pozici celé číslo počet buněk vpravo a na stejném řádku a je počet buněk pod a ve stejném sloupci (respektive délka „paže“ a délky "noha"). ${\ displaystyle (i, i)}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ ${\ displaystyle b_ {i}}$

Giambelliho identita vyjadřuje skóre jako determinant

{\ displaystyle s _ {(a_ {1}, ... a_ {r} | b_ {1}, ... b_ {r})} = \ det (s _ {(a_ {i} | b_ {j })})}

Nakonec vyhodnocení Schurova polynomu v (1,1, ..., 1) udává počet polostandardních Youngových polí formuláře se záznamy v . Můžeme ukázat, například za použití na znak vzorec Weyl (en) , který ${\ displaystyle s _ {\ lambda}}$ $\ lambda$ $\ {1,2, \ ldots, n \}$

{\ displaystyle s _ {\ lambda} (1,1, \ tečky, 1) = \ prod _ {1 \ leq já <j \ leq n} {\ frac {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j } + ji} {ji}}.}

Příklad

Následující příklad ilustruje tyto definice. Zvažujeme případ . Ve většině částí jsou oddíly celku . My máme ${\ displaystyle n = 3, d = 4}$ ${\ displaystyle d = 4}$ $n = 3$ ${\ displaystyle (2,1,1), (2,2), (3,1), (4)}$

{\ displaystyle s _ {(2,1,1)} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ frac {1} {\ Delta}} \; \ det {\ start { pmatrix} x_ {1} ^ {4} & x_ {2} ^ {4} & x_ {3} ^ {4} \\ x_ {1} ^ {2} & x_ {2} ^ {2} & x_ { 3} ^ {2} \\ x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} \ end {pmatrix}} = x_ {1} \, x_ {2} \, x_ {3} \, (x_ { 1} + x_ {2} + x_ {3})}

{\ displaystyle s _ {(2,2,0)} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ frac {1} {\ Delta}} \; \ det {\ start { pmatrix} x_ {1} ^ {4} & x_ {2} ^ {4} & x_ {3} ^ {4} \\ x_ {1} ^ {3} & x_ {2} ^ {3} & x_ { 3} ^ {3} \\ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix}} = x_ {1} ^ {2} \, x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} \, x_ {3} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \, x_ {3} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} \, x_ {2} \, x_ {3} + x_ { 1} \, x_ {2} ^ {2} \, x_ {3} + x_ {1} \, x_ {2} \, x_ {3} ^ {2}}

A tak dále. Druhá ze vzorců Jacobi-Trudi dává výrazy:

${\ displaystyle s _ {(2,1,1)} = e_ {1} \, e_ {3}}$
${\ displaystyle s _ {(2,2,0)} = e_ {2} ^ {2} -e_ {1} \, e_ {3}}$
${\ displaystyle s _ {(3,1,0)} = e_ {1} ^ {2} \, e_ {2} -e_ {2} ^ {2} -e_ {1} \, e_ {3} + e_ {4}}$
${\ displaystyle s _ {(4,0,0)} = e_ {1} ^ {4} -3 \, e_ {1} ^ {2} \, e_ {2} +2 \, e_ {1} \ , e_ {3} + e_ {2} ^ {2} -e_ {4}.}$

Libovolný homogenní symetrický polynom stupně 4 ve třech proměnných je vyjádřen jedinečným způsobem jako lineární kombinace těchto čtyř Schurových polynomů. Zvažte například polynom:

{\ displaystyle \ phi (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = x_ {1} ^ {4} + x_ {2} ^ {4} + x_ {3} ^ {4}}

Je to skutečně homogenní symetrický polynom stupně 4 ve třech proměnných. Shledáváme :

{\ displaystyle \ phi = s _ {(2,1,1)} - s _ ​​{(3,1,0)} + s _ {(4,0,0)}. \, \!}

Vztah s teorií reprezentace

Schurovy polynomy zasahují do teorie reprezentací symetrických skupin, obecné lineární skupiny a jednotkových skupin . Weylova formule znaků naznačuje, že Schurovy polynomy jsou znaky konečných stupňů neredukovatelných reprezentací obecných lineárních skupin, což umožňuje zobecnit Schurovu práci na další kompaktní a polojednodušé Lieovy skupiny.

Několik výrazů je důsledkem tohoto vztahu. Nejdůležitější je rozšíření Schurovy funkce z hlediska Newtonových součtů . Pokud označíme znak symetrické skupiny indexované skóre vyhodnoceného v prvcích, jejichž typ cyklu je označen skóre , pak ${\ displaystyle s _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle p_ {k} = \ součet _ {i} x_ {i} ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho} ^ {\ lambda}}$ $\ lambda$ $\ rho$

{\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ součet _ {\ rho = (1 ^ {r_ {1}}, 2 ^ {r_ {2}}, 3 ^ {r_ {3}}, \ tečky)} \ chi _ {\ rho} ^ {\ lambda} \ prod _ {k} {\ frac {p_ {k} ^ {r_ {k}}} {r_ {k}! k ^ {r_ {k}}}}, }

kde znamená, že oddíl má části na délku . ${\ displaystyle \ rho = (1 ^ {r_ {1}}, 2 ^ {r_ {2}}, 3 ^ {r_ {3}}, \ tečky)}$ $\ rho$ $r_k$ $k$

Funkce levé Schur

Funkce levé Schur závisí na dvou oddílech a . To může být definováno vlastností: ${\ displaystyle s _ {\ lambda / \ mu}}$ $\ lambda$ $\ mu$

{\ displaystyle \ langle s _ {\ lambda / \ mu}, s _ {\ nu} \ rangle = \ langle s _ {\ lambda}, s _ {\ mu} s _ {\ nu} \ rangle.}

Stejně jako u běžných Schurových polynomů je možné je vypočítat různými způsoby. Odpovídající Jacobi-Trudi identity jsou:

{\ displaystyle s _ {\ lambda / \ mu} = (h _ {\ lambda _ {i} - \ mu _ {j} -i + j}), 1 \ leq i, j \ leq l (\ lambda) }

{\ displaystyle s _ {\ lambda '/ \ mu'} = (e _ {\ lambda _ {i} - \ mu _ {j} -i + j}), 1 \ leq i, j \ leq l (\ lambda)}

Existuje také kombinatorická interpretace levých Schurových polynomů, konkrétně jako součet nad všemi polostandardními Youngovými formovými poli : $\ lambda / \ mu$

{\ displaystyle s _ {\ lambda / \ mu} = \ součet x ^ {T}}

kde se součet tentokrát týká polostandardních tabulek formy . $\ lambda / \ mu$

Související články

Vláda Littlewood-Richardson , kde jsou identity dány nad Schurovými polynomy
Schubertovy polynomy (In) , zobecnění polynomů Schur

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Schurův polynom “ ( viz seznam autorů ) .

Poznámky

Podle Sagana 2002 jde o původní definici Schura.
Lascoux 1984 , str. 1.
(it) „ Nicola Trudi (1811 - 1884) “ , na Mathematica Italiana .
Stanley 1999 , lesní roh. 7.17.5.

Bibliografie

Alain Lascoux, „ Symetrické funkce “, Lotharingianův seminář o kombinatorice , sv. 8,1984, str. 37-58, článek n o B08f ( číst on-line )
(en) Ian G. Macdonald , Symetrické funkce a Hallovy polynomy , The Clarendon Press Oxford University Press, kol. "Oxfordská matematická monografie",1995, 2 nd ed. , 475 s. ( ISBN 978-0-19-853489-1 , Math Reviews 1354144 )
(en) Bruce E. Sagan (en) , The Symetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions , New York / Berlin / Heidelberg etc., Springer-Verlag , coll. " GTM " ( n o 203)2001, 2 nd ed. , 238 s. ( ISBN 0-387-95067-2 , online prezentace )
(en) Bruce E. Sagan , „Schur funguje v algebraické kombinatorice“ , Michiel Hazewinkel , Encyklopedie matematiky , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , číst online )
(en) Richard P. Stanley , Enumerative Combinatorics , sv. 2 [ detail vydání ] ( online prezentace )
(en) Bernd Sturmfels , Algorithms in Invariant Theory , New York, Springer,1993( ISBN 0-387-82445-6 )